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1、名师精编优秀教案利用基本不等式求最值 -习题课一、知识分析用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此 ,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键.此外，若两次连用均值不等式，要注意取等号的条件的一致性，否则可能会出错.因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立的条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法. 二、典例精讲（一题多解）例题：已知正数a
2、,b 满足311ba，求ba的取值范围。【思路点拨】一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用311ba将ba中的 b 用 a 表示， 然后用基本不等式求范围；另一种思路是对311ba变形， 获得ba与 ab 的关系， 然后利用解不等式消去ab 建立ba的不等式求解. 【方法总结】运用基本不等式求最值的技巧：1、 含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后，在运用基本不等式。2、妙用“ 1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1
3、”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值. 三、针对性练习1. 已知 a 0,b 0,131,ab则 a+2b 的最小值为 ( ) (A)72 6(B)2 3(C)72 3(D)14 2. 若-4 x1，则2x2x2f (x)2x2( ) (A) 有最小值 1 (B) 有最大值1 (C)有最小值 -1 (D) 有最大值 -1 3. 已知点 P(x， y) 在直线 x+y-4=0 上，则 2x+2y的最小值为 _. 4. 已知 0 x1，则4ylgxlgx的最大值为 _. 四、课后练习5. 已知 a0,b0
4、，a+b=2, 则14ab的最小值是 ( ) (A)72 (B)4 (C)92 (D)5 6. 若 a0,b0, 且 a+b=1，则 ab+1ab的最小值为 ( ) (A)2 (B)4 (C)174(D)2 27. 已知 f(x)=log2(x-2)，若实数m,n 满足 f(m)+f(2n)=3，则 m+n的最小值为 ( ) (A)5 (B)7 (C)8 (D)9 8. 已知函数2x2y(x2).xx1 (1)求1y的取值范围； (2)当 x 为何值时， y 取何最大值？第三章不等式（复习）导学案名师精编优秀教案一、复习目标1会用不等式（组）表示不等关系；2熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质
5、求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值. 二、自主复习1、知识链接2、复习自测练习 1. 已知15ab，13ab，求 32ab 的取值范围 . 练习 2.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000 元，运费500元，可得产品90 千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500 元，运费400 元，可得产品100 千克，如果每月原料的总成本不超过6 000 元，运费不超过2
6、 000 元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本1 000 1 500 6 000 运费500 400 2 000 产品90 100 三、合作复习- 典型例题例 1 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g，咖啡 2000g，糖 3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式. 例 2 比较大小 . （1）2(32) _ 62 6 ；（2）22(32)_( 61) ；（3）152165；（4）当0ab
7、时，1122log_ logab；（5） (3)(5)_(2)(4)aaaa； （ 6）22(1)x421xx；例 3 利用不等式的性质求取值范围：（1）如果 3042x， 1624y，则 xy的取值范围是，2xy 的取值范围是，xy的取值范围是，xy的取值范围是（2）已知函数2( )f xaxc ，满足4(1)1f，1(2)5f，那么(3)f的取值范围是. 例 4 已知关于x 的方程 (k-1)x2+(k+1)x+k+1=0 有两个相异实根，求实数k 的取例 5 已知 x、y 满足不等式22210,0 xyxyxy，求3zxy 的最小值 . 例 6 若0 x，0y，且281xy，求 xy 的
8、范围 . 四、当堂检测1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（）. A若,a bR ，则22ababbabaB若,a bR ，则 lglg2 lglgabab名师精编优秀教案C若 xR ，则22222xxxxD若 xR ，则 3323 32xxxx2. 已知54x，则函数14245yxx的最大值是（）. A2 B3 C1 D123. 若, x yR ，且1xy，则11xy的取值范围是（） . A (2,)B 2,)C (4,)D 4,)4. 若, x yR ，则14() ()xyxy的最小值为. 5. 已知3x，则1( )3f xxx的最小值为. 注： 知识拓展设一元二次方程20(0)axb
9、xca对应的二次函数为2( )(0)f xaxbxc a1方程( )0f x在区间 (, )k 内有两个不等的实根0,2bka且( )0f k；2方程( )0f x在区间 ( ,)k内有两个不等的实根0,2bka且( )0f k；3 方程( )0f x有一根大于k ，另一根 k( )0f k；4方程( )0f x在区间12(,)k k内有且只有一根（不包括重根）12()()0f kf k（12,k k 为常数）；5方程( )0f x在区间12(,)k k内有两不等实根120,2bkka且12()0,()0f kf k；6方程( )0f x在区间12(,)k k外有两不等实根12()0,()0f
10、 kf k五、课后练习1. 设0ab，下列不等式一定成立的是（）. A22aabbB22babaC22ababD22abba2. ,a bR ，且22ab，则 24ab的取小值是（）. A4 B2 C16 D8 3. 二次不等式的解集是全体实数的条件是（）. A00aB00aC00aD00a4已知变量x，y 满足x1，y1，xy 30，目标函数是z2xy，则有 () Azmax5，zmin3 Bzmax5，z 无最小值Czmin3，z无最大值Dz 既无最大值，也无最小值5. 不等式组438000 xyxy表示的平面区域内的整点坐标是. 6. 变量, x y满足条件430352501xyxyx，
11、设yzx，则 z 的最小值为. 7. 已知0,0 xy，满足21xy，求11xy的最小值 . 8. 已知 a， b，c，d都是正数，求证：()()4abcdacbdabcd . 9. 若0 x，0y，且281xy，求 xy 的最小值 . 10. 某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成. 已知木工做一张A、B型桌子分别需要1 小时和 2 小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3 小时和 1 小时； 又知木工、漆工每天工作分别不得超过8 小时和 9 小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2 千元和 3 千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？例
12、、已知正数a,b 满足311ba，求ba的取值范围。思路点拨：一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用311ba将ba中的 b 名师精编优秀教案用 a 表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对311ba变形，获得ba与 ab 的关系，然后利用解不等式消去ab 建立ba的不等式求解. 解 析 ： 方 法 一 ： 由311ba得abba3，13aab， 由 于a0,b0 ， 可 得31a，于是)31(9131131133113aaaaaaaaba3432)31(91)31(232)31(9131aaaa，当)31(9131aa，即32a时取等号，ba的取值范围是),34方法二：由311b
13、a得abba3. 又2)2(baab，所以2)2(3baba，即 4(a+b) 2)(3ba，所以34ba，即ba的取值范围是),34方法三：由311ba得13131ba，34332323332)3131)(abbaabbabababa，当且仅当abba33，即32ba时取等号，所以ba的取值范围是),34方法四：由311ba得abba3（1）设tba，则atb，代入（ 1）式得)(3atat整理得0332ttaa，又由311ba得31a，即方程0332ttaa在),31(上有解，令ttaaag33)(2，则0)31(31323034)3(33)(22gtttttaaag解得34t， 所以ba
14、的取值范围是),34运用基本不等式求最值的技巧：1、 含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后，在运用基本不等式。2、妙用“ 1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1” 的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值. 针对性练习：1. 已知 a0,b 0,131,ab则 a+2b 的最小值为 ( ) (A)72 6(B)2 3(C)72 3(D)1
15、4 解析： 选 A.133a2ba2ba2b ()1672 6,abbaa+2b 的最小值为72 6.2. 若-4x1，则2x2x2f (x)2x2( ) (A)有最小值 1 (B) 有最大值1 (C)有最小值 -1 (D) 有最大值 -1 解析： 选 D.2x2x211f (x)x1,2x22x1又 -4 x1, x-1 0,-(x-1)0. 11f (x)(x1)12(x1)，当且仅当1x1,x1即 x=0 时，等号成立 . 故选 D. 名师精编优秀教案3. 已知点 P(x，y) 在直线 x+y-4=0 上，则 2x+2y的最小值为 _. 解析】 点 P(x,y) 在直线 x+y-4=0
16、上， x+y=4 xyxy222 28( 当且仅当x=y=2 时等号成立 ). 4. 已知 0 x1，则4ylgxlgx的最大值为 _. 解析】 0 x1， lgx 0， -lgx 0. 4ylgx()2 44lgx，即 y-4. 当且仅当41lgxxlgx100，即时等号成立，故ymax=-4. 5. 已知函数2x2y(x2).xx1 (1)求1y的取值范围； (2)当 x 为何值时， y 取何最大值？解析】 (1) 设 x+2=t,x=t-2,t 0(x -2), 则2221xx1(t2)(t2)1t3t3yx2tt3t32 33t，所求范围为2 33,). (2)欲使 y 最大，必1y最
17、小，此时3t,t3, x32,t2 33y3，当x32时， y 取最大值为2 33.36. 已知 a0,b0 ，a+b=2, 则14ab的最小值是 ( ) (A)72 (B)4 (C)92 (D)5 解析】 选 C.由已知可得14ab1412ab()2ab2ab2b2a52ab922b2a2，当且仅当24ab33，时取等号，即14ab的最小值是92. 7. 若 a0,b0, 且 a+b=1，则 ab+1ab的最小值为 ( ) (A)2 (B)4 (C)174(D)2 2解析】 选 C.由 a+b=1， a0,b0 得112 abab1,ab,ab.24令 ab=t, 则 0t 14, 则11a
18、btabt，结合函数的图象可知t+1t在(0,14上单调递减，故当t=14时 ,t+1t有最小值为14+4=174. 8. 已知 f(x)=log2(x-2) ，若实数m,n 满足 f(m)+f(2n)=3，则 m+n的最小值为 ( ) (A)5 (B)7 (C)8 (D)9 解析】 选 B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3 ，即 log2(m-2)(2n-2)=3，因此m2,n1,(m2)(2n2)8.于是4n1.m2所以444mnm1m232 (m2)37.m2m2m2当且仅当4m2,m2即 m=4时等号成立，此时m+n取最小值 7. 1. 某工厂用两种不同原料均可生产
19、同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000 元，运费500 元，可得产品90 千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500 元，运费400 元，可得产品100 千克，如果每月原料的总成本不超过6 000 元，运费不超过2 000 元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析： 将已知数据列成下表：甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本1 000 1 500 6 000 运费500 400 2 000 产品90 100 解： 设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、 y 吨，生产z 千克产品，则名师精编优秀教案,2000400500,600015001000, 0, 0yxyxyx作出以上不等式组所表
20、示的平面区域，即可行域，如右图：由.2045,1232yxyx得.720,712yx令 90 x+100y=t ，作直线 :90 x+100y=0 ，即9x+10y=0 的平行线90 x+100y=t ，当90 x+100y=t过点M（712,720）时，直线90 x+100y=t 中的截距最大由此得出t 的值也最大，zm a=90712+100720答：工厂每月生产440 千克产品2. 某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成. 已知木工做一张A、B型桌子分别需要1 小时和 2 小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3 小时和 1 小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8 小时和 9 小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2 千元和 3 千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？解： 设每天生产A型桌子 x 张，B型桌子 y 张，则.0, 0,93,82yxyxyx目标函数为作出可行域：把直线l ：2x+3y=0 向右上方平移至l 的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时 z=2x+3y 取得最大值解方程, 93, 82yxyx得 M的坐标为（ 2，3）答：每天应生产A型桌子 2 张，B型桌子 3 张才能获得最大利润3. 课本 106 页习题 3.3A 组