《九年级数学下册 7.5解直角三角形教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册 7.5解直角三角形教材深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估pdf） 新人教版.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 解直角三角形学 习 目 标 导 航知道直角三角形中其余个元素的关系, 会运用勾股定理、 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形教 材 知 识 详 析要点直角三角形的边角关系() 边和边的关系, 可用式子表示为abc( 即勾股定理) ;() 锐角之间的关系, 可用式子表示为AB ( 互为余角) ;() 边角之间的关系, 可用三角函数来表示锐角A的个函数关系式为s i nAac,c o sAbc,t a nAab例在A B C中,C , 根据表中的数据求出其他元素的值abcAB 精析: 这是通过表格的形式来解直角三角形一个表格中包含道习题, 很有代表性应用的知识包括由两边求第三边的勾
2、股定理, 还包括把边角联系起来的三角函数, 尤其是特殊的锐角三角函数, 必须通过画相应的图形来完成解答: 填表略要点解直角三角形根据直角三角形的边角关系, 由已知元素求出未知元素的过程例在A B C中,C ,a,b,c分别为A、B、C的对边根据下列条件解这个三角形:()a,b ; ()a ,A 精析: () 根据条件可以先确定A或B的度数, 再求得边c的长度; () 由条件可以先得B的度数, 再根据三角函数求出边b,c的长度解答: ()在A B C中,C ,t a nBba ,B 则A B s i nAac,cas i nA ()在A B C中,C ,A ,B A t a nAab,a ,ba
3、t a nA s i nAac,a ,cas i nA 要点构造直角三角形解题解直角三角形的关键是要灵活选择恰当的方法, 找准恰当的关系式, 它可以使解题方便快捷只有对直角三角形中的边角关系熟练掌握了, 才能灵活应用例一幢房屋的侧面外壁的形状如图 () 所示, 它由等腰三角形O C D和矩形A B C D组成,O C D 外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹, 其中一块的形状是四边形E F GH, 测得F GEH,GH m,F G B 图 ()() 求证:G FO C;() 求E F的长( 结果精确到 m)( 参考数据:s i n c o s ,c o s s i n )精析: 通过作高来构造直角
4、三角形, 充分利用已知条件和利用矩形的性质来求出E F解答: () 设C D与F G交于点M, 由C DA B,F G B , 可得FMC , 又O C D , 于是在FMC中, 可得C FM , 即G FO C图 ()() 过点G作GNHE, 则GNE F,在R t GHN中,s i nEHGs i n F G B,即GNGHs i nEHG s i n m解直角三角形是本章的重点内容, 在历年中考中均占有一席之地, 尤其是利用解直角三角形来解决生活中的实际问题, 正是体现新课标的理念, 不可小视拉 分 典 例 探 究综合应用例( 要点,) 如图, 在直角梯形A B C D中,A ,B ,A
5、D,A B在底边A B上取点E, 在射线D C上取点F, 使得D E F () 当点E是A B的中点时, 线段D F的长度是;() 若射线E F经过点C, 则A E的长是图 精析: ()A EA B在R t AD E中,t a nAD EA EAD 所以AD E 所以D EADc o s AD E ,A E DE D FB E F 所以E DE F过点E作E GD C于点G, 则D FD GD Ec o s () 过点C作CH直线A B于点E, 那么CHAD , 由勾股定理, 得BH所以C D易知B C EE D C, 所以B EC EC EC D所以C EC DD C设B Ex, 则C Ex
6、在R t C EH中, 由勾股定理, 得C EEHCH,即(x)x, 解得x或当x时,A E; 当x时,A E故A E的长为或解答: ()()或分析对比: 本题考查梯形、 解直角三角形、 勾股定理、 相似三角形等知识, 应注意知识点的融会贯通本题具有一定的难度例( 要点) 机器人“ 海宝” 在某圆形区域表演“ 按指令行走” , 如图 所示,“ 海宝” 从圆心O出发, 先沿北偏西 方向行走 m至点A处, 再沿正南方向行走 m至点B处, 最后沿正东方向行走至点C处, 点B、C都在圆O上() 求弦B C的长;() 求圆O的半径长本题参考数据:s i n ,c o s ,t a n ()精析: 过点O
7、作O DA B构造直角三角形, 将勾股定理、 垂径定理结合起来解决问题图 解答: 过点O作O DA B, 则A O DA ON ,即s i n A O Dc o s A ON ADA O ,O DA Os i n A O 又沿正南方向行走 m至点B处, 最后沿正东方向行走至点C处,A BN S,A BB C点E是B C的中点, 且B ED O B C () 连接O B, 则O EB DA BAD ,在R t B O E中,B E ,则B OO EB E , 即圆O的半径长为 归纳演绎: 题目中的条件与图形中的元素对应起来例( 要点,) 周末, 小亮一家在东昌湖游玩, 妈妈在湖心岛P处观看小亮与
8、爸爸在湖中划船( 如图() ) , 小船从P处出发, 沿北偏东 方向划行 米到A处, 接着向正南方向划行一段时间到B处在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西 的方向上, 这时小亮与妈妈相距多少米? ( 精确到米)( 参考数据:s i n ,c o s ,t a n , , )()()图 精析: 题目相当求线段P B长, 需要把图形转化为解直角三角形来解决, 过点P作P CA B于点C, 先解R t A P C, 求出P C长, 再解R t P B C, 即可求出P B长解答: 过点P作P CA B于点C,在R t A P C中,A P m,A C P ,P A C P C s i n m在R t
9、 P B C中,s i n P CP B,P BP Cs i n (m)答: 小亮与妈妈相距约 米归纳演绎: 构造直角三角形, 找准直角三角形中的边角关系是解决此类题的关键探究创新例( 要点) 曙光中学有一块三角形形状的花园A B C, 现可直接测得A ,A C m,B C m, 请你求出这块花园的面积精析: 由于已知条件中没有给出图形, 故应根据题设条件画出A B C, 而满足条件的三角形有两种情况, 故应分类讨论解答:如图 () 所示, 过点C作C DA B于点D在R t AD C中,A ,A C m,C D mc o sAADA C,ADA Cc o sA c o s (m)在R t C
10、 D B中,D BC BC D (m)SA B CA BC D(ADD B) C D( ) ( )m()()图 如图 () 所示, 过点C作C DA B, 交A B的延长线于点D由可知C D m,AD m,D B m,SA B CA BC D(ADD B) C D( ) ( )m综上, 可知这块花园的面积是( )m或( )m技法规律: 画错草图, 而不能确定分类讨论例( 要点,) 新星小学门口有一直线马路, 为方便学生过马路, 交警在门口设有一定宽度的斑马线, 斑马线的宽度为米, 为安全起见, 规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于米, 现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下, 汽车里司机与斑马线前
11、后两端的视角分别为F A E 和F AD 司机距车头的水平距离为 米, 试问该旅游车停车是否符合上述安全标准? (E、D、C、B四点在平行于斑马线的同一直线上)( 参考数据:t a n ,s i n ,c o s , , )图 精析: 求出C D的长与m比较即可但C D不可直接求出, 可在R t A B D和R t A B E中利用 和 角的正切值用A B的代数式表示出B D、B E, 再列方程求解解答: 设A Bx, 在R t A B D中,AD BF AD ,B DAD x在R t A B E中,A E BF A E ,t a n A BB E,B Ex ( )xE DB ED B( )x
12、 xx,B D D CD BB C 该车路口停车符合规定的安全标准技法规律: 解题关键是利用方程思想先求出相关的量误 区 警 醒【 误区】边角关系理解不透致错例在R t A B C中,C ,A C c m,B Cc m, 求s i nA,t a nA错解: 在R t A B C中,C ,A C,B C,A CB CB A s i nA,t a nA 正解: 在R t A B C中,C ,A BA CB C s i nAB CA B ,t a nAB CA C警醒: 错误地应用了“ 若直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半, 则这条直角边对角为 ” , 没有分清斜边和直角边, 避免该错误的有效方
13、法是画出图形,利用“ 数形结合” 进行解答【 误区】解直角三角形时使用方法不当导致错误例在直角A B C中, 已知b ,B , 求a,c和A( 边长保留三个有效数字)错解: ()t a nBba,a t a n ()c o sBac,cac o sB c o s ()s i nAac ,A 正解: ()c t a nBab,abc t a nB c t a n ()s i nBbc,cbs i nB s i n ()A B 警醒: 把已知元素和未知元素联系起来选择适当的关系式求出未知元素, 这是解直角三角形的关键在选择关系式时应注意两点: () 计算力求简便; () 尽可能使用题中原有的已知数
14、据, 这样, 能够减少误差知 能 提 升 训 练夯基固本( 要点,) 如图,A、B两点在河的两岸, 要测量这两点之间的距离, 测量者在与A同侧的河岸边选定一点C, 测出A Ca米,A ,C , 则A B等于()( 第题)Aas i n 米Bac o s 米Cat a n 米Dat a n 米( 要点,) 在R t A B C中, 已知s i nA, 则A的对边长为()A B C D无法确定 ( 要点,) 如图, 在R t A B C中,A C B ,A ,A B , 则A CB C的值是()A B C D ( 第题)( 第题)( 要点,) 如图, 在R t A B C中,A C B ,A ,B
15、 C, 过点C作C CA B, 垂足为C, 过点C作CCA C, 垂足为C, 过点C作CCA B, 垂足为C, , 按此作法进行下去, 则A Cn ( 要点) 在A B C中, 若C ,b , 三角形的面积为, 则斜边c,A( 要点,) 在A B C中,C ,A B,c o sA, 则A C的长是( 要点,) 在R t A B C中,C , 若A ,a , 则B,b,c,SA B C综合应用( 要点,) 一副直角三角板如图放置, 点C在F D的延长线上,A BC F,FA C B ,E ,A ,A C , 试求C D的长( 第题)( 第题)( 要点) 如图,D是A B C的边A C上一点,C
16、DAD,A EB C交B C于点E若B D,s i n C B D, 求A E的长 ( 要点,) 如图, 在A B C中,A ,B ,A C , 求A B的长( 第 题)( 第 题) ( 要点,) 如图,MON , 矩形A B C D的对角线A CON, 边B C在OM内心开始的.上, 当A C时,AD的长是多少? ( 结果精确到 ) ( 要点,) 如图, 在R t A B C中,A C B ,D是边A B的中点,B EC D,垂足为E己知A C ,c o sA() 求线段C D的长;() 求s i n D B E的值( 第 题)( 第 题) ( 要点,) 如图, 在矩形A B C D中,E是
17、边B C上的点,A EB C,D FA E, 垂足为F, 连接D E() 求证:A BD F;() 若AD ,A B, 求t a n E D F的值探究创新 ( 要点,) 黄岩岛是我国南海上的一个岛屿, 其平面图如图() 所示, 小明据此构造出该岛的一个数学模型如图() 所示, 其中AD ,A BB C 千米,C D 千米, 请据此解答如下问题:() 求该岛的周长和面积; ( 结果保留整数, 参考数据: , , )() 求A C D的余弦值()()( 第 题) 答案全析全解 C D D()nn 过点B作BMF D于点M( 第题)在A C B中,A C B ,A ,A C , A B C ,B
18、CA Ct a n A BC F,B CM BMB Cs i n 在E F D中,F ,E ,E D F ,MDBM ,CM C DCMMD 过点D作DHB C, 垂足为H( 第题)在R t B DH中,DHB Ds i n C B D DHB C,A EB C,DHA E,C DHC A EDHA EC DC AADADA EDH 过点C作C DA B于点D,在R tA C D中,A ,A C , C DA Cs i nA ,A DA C c o sA 在R t B C D中,B , 则B DC D ,A BADB D 延长A C交ON于点E,A CON,O E C ,四边形A B C D是
19、矩形,A B C ,ADB CO C EA C B,B A CO 在R t A B C中,A C,B CA Cs i n AD ()A C ,c o sA,c o sA A BA B A C B为直角三角形,D是边A B的中点,C D ( 或 )()ADB DC D , 设D Ex,E By, 则yx ,x ()y ,解得x,s i n D B E () 在矩形A B C D中,ADB C,CAD C ( 第 题)内心开始的.A EB C,ADA EAD EA E D又 AD E C D E E D CD E C ,AD ED E CF E DD E C又D FA E, 即D F E CD F
20、 ED C ED FC DA BD F() 由() 可得E D FE D C,A EAD B EA EA BC EB CB E t a n E D F t a n E D CE CC D () 连接A C,A BB C 千米,B ,B A CA C B ,A C 千米又D ,ADA CC D( )( ) ( 千米)周长A BB CC DDA ( 千米)面积SA B CSA D C ( 平方千米)()c o s A C DC DA C 迷 你 数 学 世 界蝴 蝶 效 应气象学家L o r e n z提出过一篇论文, 名叫 一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在T a x a s州引起龙卷风?论述某系统如果
21、初期条件差一点点, 结果会很不稳定, 他把这种现象戏称做“ 蝴蝶效应”就像我们投掷骰子两次, 无论我们如何刻意去投掷, 两次投出的点数也不一定是相同的 L o r e n z为何要写这篇论文呢? 这故事发生在 年的某个冬天, 他如往常一般在办公室操作气象电脑平时, 他只需要将温度、 湿度、 压力等气象数据输入, 电脑就会依据三个内建的微分方程式, 计算出下一刻可能的气象数据, 因此模拟出气象变化图这一天,L o r e n z想更进一步了解某段纪录的后续变化, 他把某时刻的气象数据重新输入电脑, 让电脑计算出更多的后续结果当时, 电脑处理数据资料的速度不快, 在结果出来之前, 足够他喝杯咖啡并
22、和友人闲聊一阵在一小时后, 结果出来了, 不过令他目瞪口呆结果和原资讯相比较,初期数据还差不多, 越到后期, 数据差异就越大了, 就像是不同的两个资讯而问题并不出在电脑, 问题是他输入的数据差了 , 而这细微的差异却造成了天壤之别, 所以长期的准确预测天气是不可能的P 练习()acb ()s i nBbc ,B A 如 图, 作OMA B于 点M, 连 接O A、O B( 第题)圆内接正八边形每条边所对的圆心角都为 ,A O B 又O AO B,OMA B,A OM s i n AMA OAM A BAM P 习题 ()s i nBA CB C,s i n A CA Cs i n c o sBA BB C,c o s A BA Bc o s ()s i nAB CA C ,A 如图, 作O EB C于点E,( 第题)A B C是圆O的内接正三角形,B O C 又O EB C,B O E 又s i n B O EB EB O,B O ,B E s i n B CB E SA B CB CO E,O EB O SA B C