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1、3.3.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0, x(x-1)0, 得得x0 x1x1， 则则f(x)单增区间（单增区间（，0 0）, ,（1 1，+）令令x(x-1)0,x(x-1)0,得得0 x1, 0 x1, f(x)单减区单减区(0,2).(0,2).注意注意:求单调区间求单调区间: 1:首先注意首先注意 定义域定义域, 2:其次区间其次区间不能不能用用 ( U) 连接连接（第一步）（第一步）解：解：（第二步）（第二步）（第三步）（第三步）单调区间27x21-x31f(x)23 yxOabyf(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3
2、f(x3)x4 f(x4)在在x1 、 x3处函数值处函数值f(x1)、 f(x3) 与与x1 、 x3左右近旁左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比,有什么特点有什么特点?f (x2)、 f (x4)比比x2 、x4左右近旁左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比呢呢?观察图像观察图像：函数的极值定义函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大
3、值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值. (极值即极值即峰谷处峰谷处的值）的值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值值或极小值（2）极大值不一定比极小值大）极大值不一定比极小值大（3）可导函数可导函数f(x),点是极值点的点是极值点的必要条件必要条件是在该是在该 点的导数为点的导数为0例：例：y=x3 1理解极值概念时需注意的几点理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性
4、的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值总结总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1) (5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2导数为导数为0的点不一定是极值点的点不一定是极值点练习：练习：
5、下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.)(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy yxO探究：探究：极值点处导数值极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平的极值点处，如果有切线，切线水平的.即即: f (x)=0aby f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考;若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为极值点？x yO分析yx3是极值点吗？）（
6、处，在，得由0, 0003)( ,)(23xfxxxfxxf进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极大值极小值极小值即即: 极值点两侧极值点两侧单调性单调性互异互异 f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律有何规律?x2 xXx2 2 f (x) f(x) xXx1 1 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0注意注意:(1) f (x0) =0， x0不一定是极值点不一定是极值点(2)
7、只有只有f (x0) =0且且x0两侧单调性不同不同 ， x0才是极值点才是极值点. (3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f (x0) =0的点，的点，再再列表判断单调列表判断单调性性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x) =0因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.4431)(3xxxf解解:, 4431)(3xxxf. 4)(2xxf令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x. 2x当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .0)( xf0)( xf2x2x22x当当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2(2, 2)2
8、( 2, +)00f (x) )(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增3/283/4所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 28 / 3 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 4 / 3 .变式变式求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减 )121,(),121(1212
9、449所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121x.2449)121(f求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) )(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .求下列函数的
10、极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0312)( )3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）
11、确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况总结总结 例例2求函数f(x)x32x21在区间1,2上的最大值与最小值 分析首先求f(x)在(1,2)内的极值然后将f(x)的各极值与f(1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 解析f(x)3x24x. 故f(x)最大值1，
12、f(x)最小值2. 点评利用求最值的步骤求解 1、函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点 2、函数在区间a，b上连续是f(x)在a，b上存在最值的充分而非必要条件变式：变式：求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 法一法一 、 将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用配方，利用二次函数单调性处理二次函数单调性处理 故函数故函数f(x) 在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 法二、法二、解、解、 f (x)=2x-4令令f (x)=0
13、，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）50y-+3112y 例例3已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1， (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由 解析(1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0. 又f(1)1，abc1. 点评若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数 而x10，x1.再代入f(x1)或f(x2)，得a2. a2，b0.注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，是
14、局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间。因此一个函数在其整个定义区间上可能有上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来，并对同一个函数来说，在某说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值一点的极大值也可能小于另一点的极小值。思考思考1. 判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。 f (x0)=0,则则f (x0)必为必为极值；极值； f (x)= 在在x=0 处取处取极大值极大值0，函数的极小值函数的极小值一定小于一定小于极大值极大值函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极值即为最值函数
15、的极值即为最值3x1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值有极大值和极小值,求求a范围范围?思考思考2解析 :f(x)有极大值和极小值极大值和极小值 f(x)=0有2实根, 0已知函数已知函数解得 a6或a3练习练习1： 求求 在在 时极值。时极值。44xx31y3), 0 ( x练习练习2:若若f(x)=ax3+bx2-x在在x=1与与 x=-1 处有极值处有极值.(1)求求a、b的值的值(2)求求f(x)的极值的极值.练习练习3： 已知函数已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间在区间1,5内内的最小值为的最小值为2，求，求m的值的值 练习练习4 ： 设设f(x)=ax3+x
16、恰有三个单调区间，试确定实恰有三个单调区间，试确定实数数a的取值范围，并求出这三个单调区间的取值范围，并求出这三个单调区间. 小结：小结：1个定义: 极值定义2个关键： 可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0 。 极值点左右两边的导数必须异号。3 3个步骤：个步骤：确定定义域确定定义域求求f(x)=0的根的根并列成表格并列成表格 用方程用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个的根，顺次将函数的定义域分成若干个开开 区间，并列成表格由区间，并列成表格由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的的根左右的符号，来判断符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况