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1、7简单几何体的再认识,7.1柱、锥、台的侧面展开与面积,1.侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.,2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积,【做一做1】 已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面积之比为 ()A.12B.11C.14D.13解析:以长度为1的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为2,母线长为1,其侧面积S1=221=4.以长度为2的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为1,母线长为2,其侧面积S2=212=4,故S1S2=11.答案:B,3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积,
2、名师点拨1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加即得;对于正棱锥和正棱台,其侧面积也可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形.2.对于正棱锥和正棱台来说,其斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,它与正棱锥、正棱台的高是不同的.3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系:,【做一做2】 若圆锥的主视图是正三角形,则它的侧面积是底面积的()A. 倍B.3倍C.2倍D.5倍解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则由题意知l=2r,于是S侧=r2r=2r2,S底=r2.答案:C,4.几何体的表面积几何体的表面
3、积是指几何体的所有面的面积的和,即该几何体的侧面积与其底面的面积之和,也称为全面积.【做一做3】 一个高为2的圆柱,底面周长为2,则该圆柱的表面积为.解析:根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为r=1,所以该圆柱的表面积为S圆柱表=2rl+2r2=4+2=6.故填6.答案:6,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)侧面积公式S棱柱侧=cl(其中c为底面周长,l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱. ()(2)若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则一定有S圆锥侧=rl. ()(3)正棱锥侧面积公式S正棱锥侧= ch中c为底面周长,而h为正棱锥的高. (),探究一,
4、探究二,探究三,易错辨析,探究一简单旋转体的侧面积与表面积【例1】 (1)若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形,则该圆锥的表面积是(),(2)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于()A.72B.42C.67D.72分析:(1)由轴截面为等边三角形得到圆锥的底面半径和母线长,求出侧面积和底面积相加即得表面积;(2)直接套用公式可求表面积.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(2)S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=(3+4)6+32+42=67.答案:(1)D(2)C,反思感悟1.简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式,灵活套用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧
5、面展开图的形状以及展开图中各线段长(弧长)与原几何体有关量的关系.2.求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积,关键是求出它们的底面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长,其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.,变式训练1(1)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以BC边所在直线为轴旋转一周,则形成的几何体的侧面积为.(2)一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32,则母线长为.解析:(1)该几何体是底面圆的半径为2,母线长为3的圆柱体,故该几何体的侧面积是223=12.(2)设圆台的母线长为l,上、下底面半径分别为r,R,则l= (r+R
6、),又32=(r+R)l=2l2,l2=16,l=4.答案:(1)12(2)4,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究二简单多面体的侧面积与表面积【例2】 (1)如图所示为一个几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形,A1B1=2,AA1=4,则该几何体的表面积为 (),探究一,探究二,探究三,易错辨析,(2)已知正四棱锥的底面边长为4 cm,高与斜高的夹角为30,则该正四棱锥的侧面积等于 cm2.分析(1)由三视图知该几何体是正三棱柱,套用表面积公式计算可得;(2)画出图形,由已知条件求出斜高,套用公式计算.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:(1)由三
7、视图可知,该几何体是一个正三棱柱,其底面边长为2,侧棱长为4,因此其侧面积S1=324=24,其两个底面的面积,(2)如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成RtPOE.,答案:(1)C(2)32,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.对于直棱柱、正棱锥、正棱台,求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量,如底面边长、高、斜高等,然后套用公式计算.2.对于一般的棱柱、棱锥、棱台,求其侧面积时,一般是将其每一个侧面的面积分别求出来,然后相加即得侧面积.3.注意合理运用多面体的特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、侧棱、底面
8、边长的桥梁,也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(),A.180B.200C.220D.240(2)若正三棱台的侧面均是上、下底边长分别为2和4,腰长为3的等腰梯形,则该正三棱台的表面积等于.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:(1)几何体为直四棱柱,只不过是倒放的,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的等腰梯形,易知其腰为5,故两个底面面积的和为2 (2+8)4=40,四个侧面面积的和为(2+8+5+5)10=200,所以直四棱柱的表面积为S=40+200=240.
9、故选D.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究三简单组合体的表面积【例3】根据几何体的三视图(如下图所示),则该几何体的表面积为.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:先根据三视图还原该几何体的形状,如右图所示,则该几何体的表面积为圆锥的侧面积S1、圆台的侧面积S2以及底面积S3的和.S1=23=6,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟怎样求组合体的表面积1.求组合体的表面积的基本步骤:(1)弄清楚它是由哪些简单几何体构成的,组成形式是什么;(2)根据组合体的组成形式设计计算思路;(3)根据公式计算求值.2.求组合体的表面积的解题策略:(1)对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼
10、接面重合对组合体表面积的影响;(2)对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体,要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练3如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为.解析:由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积.故其表面积S=622-0.522+20.52=24-0.5+2=24+1.5.答案:24+1.5,探究一,探究二,探究三,易错辨析,对几何体认识不清而致误【典例】如图所示,从底面半径为2a,高为 a的圆柱中
11、,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,纠错心得本题中挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积,但同时增加了一个圆锥的侧面的面积,而错解未考虑到增加的部分.几何体的表面积是各个面的面积之和,因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式,而应先分析该几何体由几部分组成,几何体各个面间有无重叠,再结合相应几何体选择公式求解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积.,1,2,3,4,1.某几何体的三视图如图所示,则该
12、几何体的侧面积是(),A.6 cm2B. cm2C.42 cm2D.6 cm2,1,2,3,4,解析:该几何体是底面半径为1 cm,母线长为3 cm的圆柱,则其侧面积为2rl=213=6(cm2).答案:D,1,2,3,4,2.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为()A.6B.12C.24D.48,答案:D,1,2,3,4,3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3解析:设圆台较小底面的半径为r,则圆台较大底面的半径为3r,圆台的侧面积为(r+3r)3=84,解得r=7.答案:A,1,2,3,4,4.已知长方体的对角线长为2 ,长、宽、高的比为321,则它的表面积为.,解析:设长,宽,高分别为3x,2x,x,x=2.表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.答案:88,