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1、新人教版新人教版- -七年级（下）七年级（下）- -数学数学- -第七章第七章7.3.2 7.3.2 多边形的内角和、外角和多边形的内角和、外角和(1)(1)掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题；和知识解决一些较简单的问题；(2)(2)通过多边形内角和的计算公式的推导，培养探通过多边形内角和的计算公式的推导，培养探索和归纳的能力；索和归纳的能力；(3) (3) 体验转化的数学思想方法。体验转化的数学思想方法。学习目标学习目标重点与难点：重点与难点： (1) (1)重点重点: :多边形内角和以及外角和；多边形内角和以及外角和；
2、 (2) (2)难点难点: :多边形内角和以及外角和的推导多边形内角和以及外角和的推导。、三角形的内角和是、三角形的内角和是_度度、在多边形中连接、在多边形中连接_ _ 的线段叫做多边形的对角线。的线段叫做多边形的对角线。1 1、在平面内，、在平面内，_ _ 叫做多边形。叫做多边形。由一些线段首尾顺次相接组成的图形由一些线段首尾顺次相接组成的图形多边形不相邻的两个顶点多边形不相邻的两个顶点1804 4、正方形的内角和是、正方形的内角和是 度，长方形度，长方形的内角和是的内角和是 度。度。36003600知识回顾知识回顾ABCD任意一个四边形的内角和都等于任意一个四边形的内角和都等于360思路：
3、思路：把求四边形内角和的问题转化为三角形问题把求四边形内角和的问题转化为三角形问题来解决！来解决！想一想：想一想：一般的四边形的内角和是多少度？一般的四边形的内角和是多少度？五边形的内角和为五边形的内角和为540七边形的内角和为七边形的内角和为900六边形的内角和为六边形的内角和为720四边形、五边形、六边形、七边形从一个顶点出四边形、五边形、六边形、七边形从一个顶点出发分别可以引多少条对角线？分别把多边形分成发分别可以引多少条对角线？分别把多边形分成多少个三角形？你能从中探索出规律吗？多少个三角形？你能从中探索出规律吗？试求五边形、六边形、七边形的内角和试求五边形、六边形、七边形的内角和探索
4、与思考探索与思考多边形边数多边形边数n n从一个顶点引从一个顶点引对角线的条数对角线的条数分成的三角分成的三角形个数形个数多边形的内多边形的内角和角和n-24321054321n-31801800 03603600 05405400 07207200 09009000 0(n-2) (n-2) 1801800 0从从n n边形的一个顶点可以引对角线，把边形的一个顶点可以引对角线，把多边形分成个三角形多边形分成个三角形n n边形的内角和等于边形的内角和等于n-3n-3n-2n-2(n-2)(n-2)1801800 0探索与思考探索与思考完成下表完成下表AEDCBO154325 5180180 3
5、60 360= 3= 3180180在五边形内任取一点在五边形内任取一点O O，连接，连接OAOA、OBOB、OCOC、ODOD、OEOE。探索与思考探索与思考除了上述我们利用对角线，将一个多边形分割成除了上述我们利用对角线，将一个多边形分割成几个三角形外，还有其它的分割方法吗几个三角形外，还有其它的分割方法吗AEDCBO12 344 4180180180180=3=3180180在在CDCD上取一点上取一点O O，连接，连接OBOB、OAOA、OEOE探索与思考探索与思考AEDCBO15432AEDCBO12 34ABCDE探索与思考探索与思考1. 1. 求下列图形中求下列图形中 x x 的
6、值的值 . .（1）（2）巩固练习巩固练习2x+140+90=360360-80-120-75=180-xx=65x=95（2 2）七边形的内角和等于七边形的内角和等于_度度.2 2、填空题、填空题900（7 72 2）180180（3 3）一个多边形的内角和等于一个多边形的内角和等于720 ,那么这个多边那么这个多边形是形是_边形边形.六六（4 4）如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组）如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角对角_也互补也互补（1 1）多边形的内角和随着边数的增加而多边形的内角和随着边数的增加而_，边数增，边数增加一条时，它的内角和增加加一条时，它的内角和增加_度度
7、 .增加增加180巩固练习巩固练习 多边形内角的一边与另一边的反向延长线多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个所组成的角叫做这个多边形的外角多边形的外角. . 在每个顶点处取这个多边形的一个外在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个角，它们的和叫做这个多边形的外角和多边形的外角和. . 一般地，在多边形的任一顶一般地，在多边形的任一顶点处按顺点处按顺( (逆逆) )时针方向可作外时针方向可作外角，角，n边形有边形有n个外角个外角. . 54321如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做角的和叫做六边形
8、的外角和六边形的外角和. . 六边形的外角和等于多少六边形的外角和等于多少度？度？解：如图，六边形解：如图，六边形ABCDEFABCDEF中，中， 1+7=180 ，2+8=180 ， 3+9=180 ，4+10=180 ， 5+11=180 ，6+12=180 . 7+ 8+9+ 10 +11+ 12 =（62）180 = 720, 1+ 2+3+ 4 +5+ 6 = 6180 720 = 360.例题讲解例题讲解分别求出下列多边形的外角和的度数分别求出下列多边形的外角和的度数. .32143215432165432187654321360 360 360 360 360 探索探索: :如果
9、广场的形状是六边形、八边形，那么还有如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？类似的结论吗？ 推论：推论：任意多边形的外任意多边形的外 角和等于角和等于360360 。 类比前边的做法，你能归纳出类比前边的做法，你能归纳出n n 边形的外角和是多少吗？边形的外角和是多少吗？ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_ n边形的内角和加外角和等于边形的内角和加外角和等于 _ n 边形的内角和等于边形的内角和等于 _A1A2A3AnA4证明：证明： n 边形的外角边形的外角和和等于等于1 1、n n边形的内角和等于边形的内角和等于_，九边形的内角和等于
10、九边形的内角和等于_。2 2、一个多边形的内角和等于、一个多边形的内角和等于14401440，那么它是，那么它是_ _边形，它的外角和为。边形，它的外角和为。3 3、正五边形的每一个内角的度数是、正五边形的每一个内角的度数是_，每个，每个外角度数为。外角度数为。4 4、从六边形的一个顶点出发可画、从六边形的一个顶点出发可画_条对角线，条对角线，这些对角线把六边形分成这些对角线把六边形分成_个三角形。个三角形。(n - 2) (n - 2) 180 1803603600 072720 0随堂练习随堂练习ABCDEF2 2、四边形、四边形ABCDABCD的内角的内角ABCD = ABCD = 12
11、341234，求各个角的大小。，求各个角的大小。ABCD解：设解：设A=xA=x则则B=2xB=2x,C=3x,C=3x,D=4x,D=4x因为因为A+ B+C+D=360A+ B+C+D=360所以所以x+2x+3x+4x=360 10 x=360 x=36A=36, B=72,C=108,D=144例题讲解例题讲解3 3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个多边形分成5 5个三角形。这个多边形是几边形？个三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少？它的内角和是多少？解：由题意得：由题意得：n-2=5设这个多边形的边数为设这个多边形的
12、边数为n n，n=7内角和为内角和为(n-2)x180=(7-2)x180=900答：这个多边形是七边形，它的内角和是答：这个多边形是七边形，它的内角和是900900例题讲解例题讲解4 4、一个多边形的内角和等于外角和的、一个多边形的内角和等于外角和的 ，求，求这个多边形的边数。这个多边形的边数。29n=11n=11解： 设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n n， 根据题意得：根据题意得：36029180)2(n答：这个多边形的边数为答：这个多边形的边数为1111。例题讲解例题讲解1 1、在四边形的四个内角中，最多有、在四边形的四个内角中，最多有_个钝角个钝角, ,最多能有最多能有_个锐
13、角个锐角. . 2 2、一个多边形的每个内角都是、一个多边形的每个内角都是150150, ,它是它是_边边形。形。3 3、已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内、已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的角和的2 2倍，这个多边形是倍，这个多边形是_边形边形4 4、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的的对角线的条数的2 2倍倍, ,则此多边形是则此多边形是_边形边形. .5 5、一个多边形的边数增加、一个多边形的边数增加1 1，则内角和增加的度，则内角和增加的度数是数是( ( ) )A.60A.60 B.90 B.90 C.1
14、80 C.180 D.360 D.3603 33 3十二十二八八六六C C随堂练习随堂练习6 6、如图、如图: :某居民小区搞绿化某居民小区搞绿化, ,分别在三角形、四边分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为形、五边形的广场各角修建半径为1 1米的花坛米的花坛. .小区小区绿化组长想先求花坛的面积绿化组长想先求花坛的面积, ,再根据面积买花苗再根据面积买花苗. .你你能帮绿化组长求出花坛的面积吗能帮绿化组长求出花坛的面积吗? ?（结果保留（结果保留）随堂练习随堂练习解解: :假设这个多边形的边数是假设这个多边形的边数是n n，那个内角的度数为，那个内角的度数为x x则有则有：(n-2
15、)x180=2750+x因为因为n n是正整数是正整数, ,所以所以2750+x2750+x也是也是180180的倍数的倍数因为因为x180所以所以x=130所以所以(n-2).180=2880所以所以n=181 1、已知一个多边形除了一个内角外，其余各内角、已知一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和是的和是27502750，求这个多边形的边数。，求这个多边形的边数。拓展练习拓展练习DCBEAFF=36F=360 0解：因为五边形是正五边形解：因为五边形是正五边形所以所以BAE=DEABAE=DEA5180)25(=108所以所以FAE=72FAE=72，FEA=72FEA=722 2、 如
16、图：我国的国旗上的五星是正五角星，正五如图：我国的国旗上的五星是正五角星，正五角星中的五边形角星中的五边形ABCDEABCDE是正五边形，你能求出五角是正五边形，你能求出五角星中星中F F的度数？的度数？拓展练习拓展练习3 3、把一个五边形锯去一个内角后得到是什么图形？、把一个五边形锯去一个内角后得到是什么图形？此时，多边形的内角和与外角和有什么变化？此时，多边形的内角和与外角和有什么变化？解：五边形锯去一个内角后得到的图形可能是四边解：五边形锯去一个内角后得到的图形可能是四边形，如图；五边形，如图；六边形，如图形，如图；五边形，如图；六边形，如图拓展练习拓展练习其内角和分别是其内角和分别是3
17、60360，540540，720720。是原来的多边形内角和度数本身是原来的多边形内角和度数本身, ,少少180180度或多度或多180180度度在四边形的四个内角中，最多能有几个在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？钝角？最多能有几个锐角？ 解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.理由是：设四边形的四个内角的度数分别为：理由是：设四边形的四个内角的度数分别为：， ， 则则+=360，、的值最多能有三个大于的值最多能有三个大于90，否则，否则、都大于都大于90.+360.同理最多能有三个角小于同理最多能有三个角小于90. 思考题思考题
18、自测题自测题:1.1.一个多边形的外角都等于一个多边形的外角都等于6060，这个多边形是几边形？，这个多边形是几边形？ 解：因为多边形的外角和等于解：因为多边形的外角和等于360，所以根据题意，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：可知道这个多边形的边数是：36060=6 .答答: :这个多边形是六边形这个多边形是六边形. 2.2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？ 解：设：这个正多边形的一个内角为解：设：这个正多边形的一个内角为x x，则由题图得
19、：则由题图得：3 3x x=360=360. . x x=120=120. .再根据多边形的内角和公式得：再根据多边形的内角和公式得：n 120120=(=(n n2) 2) 180180. . 解得解得n n=6 . =6 . 答答: :这个多边形是正六边形这个多边形是正六边形. .3若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是的边数是_ _4如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为内角和为2880，那么它的内角为，那么它的内角为_5一个多边形的每个外角都是一个多边形的每个外角都是12，则这个
20、多边形，则这个多边形是是_ _边形边形6正正n边形的一个内角为边形的一个内角为120，那么，那么n为（为（ ） A5 B6 C7 D8 自测题自测题:416030B小结小结1 1、n n（n3n3）边形的的内角和为）边形的的内角和为（n-2)x1802 2、任意多边形的外角和等于、任意多边形的外角和等于3603604 4、多边形的边数与内角和及外角和的关系：、多边形的边数与内角和及外角和的关系：内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加，边数减少，内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少，每增加一条边，内角和增加内角和减少，每增加一条边，内角和增加180180（反过来也（反过来也成立），边数的内角和是成立），边数的内角和是180180的整数倍。多边形的外角和的整数倍。多边形的外角和恒等于恒等于360360，与边数多少无关。，与边数多少无关。5 5、正、正n(n3n(n3）边形的的每个内角为）边形的的每个内角为nn180)2(每个外角都等于每个外角都等于n360