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1、第一章第一章1.1 全排列及其逆序数全排列及其逆序数一、全排列的定义一、全排列的定义 当某两个元素的先后次序与标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数逆序的总数叫做这个排列的逆序数。例例 (1) 求排列求排列3412中逆序数中逆序数 . 定义定义 对于对于n n 个不同的元素，规定各元素之间个不同的元素，规定各元素之间由小到大为由小到大为标准次序标准次序. .二、排列的逆序数二、排列的逆序数 321212 nnn逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称
2、为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.三、排列的奇偶性三、排列的奇偶性定理：对换改变排列的奇偶性定理：对换改变排列的奇偶性. 1.2 行列式的定义行列式的定义用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x例1;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当0211222
3、11 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.一、二阶行列式一、二阶行列式 111211 2212 212122.aaa aa aaa则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数构成的行列式分母都为原方程组的系数构成的行列式. .2221121122111122aaaababaDDx .12,12232121xxxx求求解解二二元元线线性性方方程程组组解解12
4、23 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 一个三元线性方程组的解问题一个三元线性方程组的解问题111122133121122223323113223333,.a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 二、三阶行列式二、三阶行列式11 22 331223 3113 21 3211 23 321221 3313 22 31, a a aa a aa a aa a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa(对角线法则) 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性二阶
5、和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的方程组引入的. .对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa小结三、三、n n阶行列式的定义阶行列式的定义322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa （1 1）每项都是位于不同行不同列的三个元素）每项都是位于不同行不同列的三个元素 的乘积共的乘积共
6、6 6项项. . （2 2）每项的行标为标准次序时，正负号都取）每项的行标为标准次序时，正负号都取 决于列标的逆序的奇偶性决于列标的逆序的奇偶性.2112221122211211aaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa123123111213()212223123313233( 1).t p p ppppaaaaaaaaaaaa 12121112()122122( 1).t p pppaaaaaa 为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaa
7、aaD212121212122221112111 n阶行列式的定义阶行列式的定义说明说明nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111n阶行列式的定义阶行列式的定义为这个排列的逆序数的全排列，为自然数其中njjjn, 2 , 111例例5 5计算三角形行列式的值计算三角形行列式的值112211121222000答 案：nnnnnna aaaaaaaa(1)上三角行列式上三角行列式4000830059201871(2)下三角行列式下三角行列式112211212212000答案：nnnnnna aaaaaaaa 1000940037501
8、896D(3)斜上三角行列式斜上三角行列式11212/ )1()1(nnnnnaaa （4）斜下三角行列式）斜下三角行列式11212/ )1()1(nnnnnaaa n 21 .1212/ )1(nnn ;21n n 21对角行列式对角行列式 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位项，每项都是位于不同行、不同列于不同行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定.nn!n小 结1.3 行列式的性质行列式的性质D DT T行列式称为行列式行列式称为行列式D D的转置行列式的转置行列式. .性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它
9、的转置行列式相等. . ( (故行列式对行有的性质对列也有故行列式对行有的性质对列也有) )性质性质2 2 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号. .性质性质3 3 如果行列式两行（列）完全相同，则此行列式为如果行列式两行（列）完全相同，则此行列式为0.0.性质性质4 4 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面。提到行列式符号的外面。 性质性质5 5 行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此则此 行列式等于行列式等于0.性质性质6 6 若行列式中某一行（列）
10、元素均为两数之和，若行列式中某一行（列）元素均为两数之和， 则行列式可按照该行分拆成两个行列式之和，则行列式可按照该行分拆成两个行列式之和， 其他各行保持不变其他各行保持不变. . （每次只能按照一行或者一列分拆每次只能按照一行或者一列分拆）性质性质7 7 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数 然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列 式值不变式值不变. . （注意哪一行的数在变，哪一行的数没变（注意哪一行的数在变，哪一行的数没变.）行列式计算的思路：行列式计算的思路：任一任一n n阶行列式均可以只经过阶行列式
11、均可以只经过行（列）变换化为上（下）三角形行列式行（列）变换化为上（下）三角形行列式例例4例例5例例 7 1.4 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 1122 3323 321223 3121 331321 3222 31222323212122111213323333313132222321232122111213323331333132()()()a a aa aa a aa aa a aa aaaaaaaaaaaaa
12、aaaaaaaaaaaaaaaaaa二、有关定理二、有关定理计算计算划边使得代数余子式易于辨认划边使得代数余子式易于辨认12111210000100000100011+-答案 ： （ 1）nnnnaaaaa aa例3 计算行列式 方法方法: :利用性质将行列式利用性质将行列式D D化为某行（某列）只有化为某行（某列）只有一个非零元素，然后按该行（列）将行列式展开一个非零元素，然后按该行（列）将行列式展开. .推广：推广：拉普拉斯公式拉普拉斯公式 例例 *1111123461214916182764答案例 （：）D 2227例 bcacabDabcabc ()()()()abc ba ca cb 222+=()()()()bc aacbabcDabcabcabcbacacb 方法方法:利用利用递推法递推法 例例10 计算行列式计算行列式521000121006012100012100012答案：D证明证明1212112211000010000000001 nnnnnnnxxxa xa xaxaxaaaaa 例例11 证明证明n阶行列式阶行列式2121211212112121()nnnnnnnnnnnnnnnnnDxDax xDaax DaxaxDa xaxaa xa xaxa1.5 克莱姆法则克莱姆法则