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1、 第一节第一节 静矩和形心静矩和形心 第二节第二节 惯性矩、极惯性矩和惯性积惯性矩、极惯性矩和惯性积 第三节第三节 平行移轴公式平行移轴公式第十章第十章 平面图形的几何性平面图形的几何性质质v平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要因平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要因素之一。如何确定平面图形的几何性质的量值，是素之一。如何确定平面图形的几何性质的量值，是本章讨论的内容。本章主要介绍了形心、静矩、惯本章讨论的内容。本章主要介绍了形心、静矩、惯性矩、惯性积等几何量，学习时要掌握其基本的概性矩、惯性积等几何量，学习时要掌握其基本的概念和计算方法，同时要掌握平行移轴公式及其应用。念和计算方
2、法，同时要掌握平行移轴公式及其应用。教学目的和要求教学目的和要求v静矩和形心的概念和计算方法；静矩和形心的概念和计算方法；v惯性矩、极惯性矩和惯性积的概念和计算方法；惯性矩、极惯性矩和惯性积的概念和计算方法；v平行移轴公式。平行移轴公式。教学重点教学重点v组合图形的静矩和形心；组合图形的静矩和形心；v平行移轴公式的应用。平行移轴公式的应用。教学难点教学难点一、静矩一、静矩 面积与它到轴的距离之积（用面积与它到轴的距离之积（用S S表示）。表示）。yASz ddzASy ddAAzzAAyyAySSAzSSdddd微面积微面积dAdA对对Y Y轴的静矩轴的静矩微面积微面积dAdA对对Z Z轴的静
3、矩轴的静矩yzCyASzASzy或或单位为单位为L L3 3。第一节第一节 静矩和形心静矩和形心dAyzzy形心形心dAyzzyAAzzAAyyAAdd二、形心二、形心平面图形的形心就是其平面图形的形心就是其几何中心几何中心。yzC形心与静矩的关系为形心与静矩的关系为AzSAySASzASyyzyz或 图形对某一轴的静矩为零，图形对某一轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某则该轴一定过图形的形心；某一轴过图形的形心，则图形对一轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零该轴的静矩为零。22byzazy例例10-1 图中的曲线OB为一抛物线，其表达式为 。试求该抛物线、直线OA和直线AB所围图形OA
4、B的形心C坐标和 。 zyOABC2图11-2 例题11-1图解解 取与y轴平行的窄条，宽为dz。故微面积dA=ydz，微面积dA的形心坐标为z和y/2，可求得图形OAB的形心坐标为2220022003443aaAaaAba bzz dzzydzzdAazababdAydzz dza22222002200321022103aaAaaAbbabyyzz dzdAydzaaybbabdAydzz dza三、组合图形的静矩与形心三、组合图形的静矩与形心AAzzAAyyiiiiyAyASzAzASiiniziiniy11整个图形对某轴的静矩，整个图形对某轴的静矩， 等于组成等于组成图形各部分对同轴静图
5、形各部分对同轴静矩的代数和。矩的代数和。则则iniAA1组合图形的形心公式为组合图形的形心公式为 例例10-210-2 求图示图形对水平形心轴求图示图形对水平形心轴x x的形心。的形心。解解 该图形有一个对称轴，形心一定在对称轴该图形有一个对称轴，形心一定在对称轴y上，先建立参考坐标轴上，先建立参考坐标轴x1、y，只需求出截面形心，只需求出截面形心C距参考轴距参考轴x1的距离的距离yc，也就确定了该图形，也就确定了该图形的形心的位置。的形心的位置。将该截面分解为两个矩形，各矩形截面的面积将该截面分解为两个矩形，各矩形截面的面积A1和和A2，及自身水平形心及自身水平形心轴距参考轴轴距参考轴x1的
6、距离的距离yc1和和yc2分别为分别为 211000050200mmAmmymmymmACC2515010050750015050212243431 101507.5 102596.4mm1 107.5 10iciciA yyA一、惯性矩、惯性半径一、惯性矩、惯性半径 AzAyAyIAzIdd22dAyzzyr图形对图形对y轴的惯性矩轴的惯性矩图形对图形对z轴的惯性矩轴的惯性矩单位为单位为L L4 4。第二节第二节 惯性矩、极惯性矩和惯性积惯性矩、极惯性矩和惯性积惯性矩惯性矩面积与它到轴的距离的平方之积。面积与它到轴的距离的平方之积。 图形对图形对y轴的惯性半径轴的惯性半径图形对图形对z轴的惯
7、性半径轴的惯性半径AIiAIizyy/z惯性半径惯性半径单位为单位为L L。dAyzzyr二、惯性积二、惯性积AyzAyzId如果如果 y 或或 z是对称轴，则是对称轴，则Iyz =0图形对图形对yz轴的惯性积轴的惯性积单位为单位为L L4 4。极惯性矩极惯性矩面积对极点的二次矩。面积对极点的二次矩。zyAIIAId2rr图形对图形对O点的极惯性矩点的极惯性矩单位为单位为L L4 4。惯性积惯性积面积与其到两轴距离之积。面积与其到两轴距离之积。可正可负可正可负例例10- -3 求图示矩形对通过其形心且与边平行的求图示矩形对通过其形心且与边平行的y轴、轴、z轴的轴的惯性矩惯性矩Iy、Iz和惯性积
8、和惯性积Iyz。zyOzyOzyOzyOdzdAdAdA(b ) (a)(c)(d)zyOzyOzyOzyOdzdAdAdA(b ) (a)(c)(d) 解解 平行平行y轴取一窄长条，其面积为轴取一窄长条，其面积为dA=hdz，则，则同理可得同理可得33220033hzAhbybhIy dAy bdy22004hbyzAAb hIyzdAzdydzzdz ydy 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到注意到I=Ix+Iy，得到，得到例例10-4 求图示直径为求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对
9、圆心的极惯性矩及对圆心的极惯性矩I和惯性积和惯性积Ixy。dCxydr rr 解解 首先求对圆心的极惯性矩。首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心在离圆心O为为r r处作宽度为处作宽度为dr r的薄圆环，其面的薄圆环，其面积积dA=2prprdr r，则，则32)d2(d42/022dAIdAprprrrr64214dIIIyxpr由于轴由于轴X、Y是圆形的对称轴是圆形的对称轴0 xyIOzyCdAz0y0abyxz0y0AzdAyI2AAdAyayadAya)2()(200220AAAdAydAyadAa20022AaIIz2z0所以AbIIyy20同理0z2000IdAydAyAdAAAA，因为
10、第三节第三节 平行移轴公式平行移轴公式ayy0公式推导公式推导平面图形对任一轴的惯性矩，等于平面图形对与该轴平行的形心平面图形对任一轴的惯性矩，等于平面图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上平面图形的面积与二轴间距离平方的乘积。轴的惯性矩加上平面图形的面积与二轴间距离平方的乘积。 AyzyzdAIAAdAyzbyazabdAyazb)()(000000AAAAdAyzdAybdAzadAab000000000000zyAAAAIdAyzdAydAzAdA，因为abAIIzyyz00所以平面图形对任何二互相垂直轴的惯性积，等于平面图形对平平面图形对任何二互相垂直轴的惯性积，等于平面图形对平行于该二
11、轴的形心轴的惯性积与图形面积乘以两对平行轴间行于该二轴的形心轴的惯性积与图形面积乘以两对平行轴间距离的乘积之和。距离的乘积之和。 20cm3173例例10-5 T字形截面字形截面,求其对形心轴的惯性矩。求其对形心轴的惯性矩。解解(1)求形心求形心zyC1yczcz1y任选参考坐标系任选参考坐标系,如如cyzAS1IIIIIyIyySSS111而而IIIAAAASzyc1IIIIIyIyAASS11173203)5 . 83(173)5 . 1(203-cm1 . 6-y1,zcIycI(2)求求IIzcIzczcIII3331712120312142048 cmIIycIycycIII20cm
12、3173zyC1yczczIII) 5 . 1(32032012123-cz) 5 . 8(31717312123-cz44030 cm本章小结 本章给出了平面图形的几何性质的定义和计算公式，它对本章给出了平面图形的几何性质的定义和计算公式，它对于研究杆件的强度、刚度都有重要的意义。于研究杆件的强度、刚度都有重要的意义。v1. 微面积微面积dA对某轴的静矩等于对某轴的静矩等于dA与该面积形心至该轴距与该面积形心至该轴距离的乘积。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。离的乘积。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。计算公式为计算公式为v2.形心的形心的 计算公式为计算公式为AzAyAyS
13、AzSddAAzZAAyyAAdd本章小结v3 微面积微面积dA对某轴的惯性矩等于对某轴的惯性矩等于dA与该面积形心至该轴与该面积形心至该轴距离平方的乘积。惯性矩恒为正。计算公式为距离平方的乘积。惯性矩恒为正。计算公式为 v4. 微面积的惯性积等于微面积的惯性积等于dA与该面积形心至两轴距离的乘积。与该面积形心至两轴距离的乘积。惯性积的数值可能为正，可能为负，也可能为零。计算公式惯性积的数值可能为正，可能为负，也可能为零。计算公式为为AzAydAyIdAzI22AyzAyIzd本章小结v5.平行移轴公式主要用于求由简单图形组合的复杂图形的几平行移轴公式主要用于求由简单图形组合的复杂图形的几何性质，注意平行移轴的二轴是相互平行的，并有一轴为形何性质，注意平行移轴的二轴是相互平行的，并有一轴为形心轴，两轴的距离心轴，两轴的距离a、b有正有负，随取坐标位置而定。计有正有负，随取坐标位置而定。计算公式为算公式为AzyIIAyIIAzIIcccczyyzzzyy22 谢谢大家！