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1、3.3垂径定理（垂径定理（1）知识回顾知识回顾下列图形中，哪些是轴对称图形？下列图形中，哪些是轴对称图形？ 直径垂直于弦合作学习合作学习C CD DA AB BE E在透明纸上任意作一个圆和这个圆的一条弦在透明纸上任意作一个圆和这个圆的一条弦ABAB，再，再作一条和弦作一条和弦ABAB垂直的直垂直的直径径CDCD，CDCD和和ABAB相交于点相交于点E.E.然后沿然后沿着直径着直径CDCD所在的直线把纸折叠所在的直线把纸折叠. .（1 1）你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？（小组交流）你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？（小组交流结果）结果）（2）你发现有哪些线段、圆弧相等？（小组交流结果）你发
2、现有哪些线段、圆弧相等？（小组交流结果） EA=EB， AC= BC， AD=BD（3）你能证明你发现的结论吗）你能证明你发现的结论吗?（四人小组讨论）（四人小组讨论）点点A A与点与点B B，AEAE与与BE,BE,半圆半圆 CADCAD与半圆与半圆 CBD,CBD,ACAC与与BC,ADBC,AD与与BDBD重合。重合。 已知：如图，已知：如图，CDCD是是O O的直径，的直径，ABAB是是O O的弦，的弦，且且ABCDABCD，垂足为，垂足为E E。求证：求证： EA=EB， AC= BC， AD=BD如何证明两条弧相等？如何证明两条弧相等？分析：分析：要证明要证明 只要证明两个只要证明
3、两个点重合？点重合？ AC= BCAC= BC， AD=BDAD=BDA AB BE EC CD D证明过程请同学们看书本第证明过程请同学们看书本第7676页倒数第二段页倒数第二段. .点点A A和点和点B B重合重合垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧所对的弧.直径垂直于弦直径垂直于弦A AB BC CD DE E直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧直径平分弦直径平分弦2.2.分一条弧成相等的两条弧的点分一条弧成相等的两条弧的点, ,叫做这条叫做这条弧的中点弧的中点. .例如例如, ,点点C C是是ABAB的中点的中点, ,点点D
4、 D是是ADBADB的中点的中点. .（条件）（条件）（结论）（结论）在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？ 辩一辩辩一辩EODABCE ED DC CO OA AB BE EC CO OA AB BD DC CO OE EB BA AO OA AB BE ED DO OA AB BE E不能不能能能能能 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣（优）弧平分弦所对的劣（优）弧一条直线具有：一条直线具有： 经过圆心经过圆心条件条件结论结论D作法：作法： 连结连结ABAB. 作作ABAB的垂直平分线的垂直平分线 CDCD，交弧，交弧ABAB于点于
5、点E.E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点的中点CDABE例例1 1 已知已知 AB ,AB ,用直尺和圆规求作这条弧的中点用直尺和圆规求作这条弧的中点变式：变式： 求弧求弧ABAB的四等分点的四等分点应用应用1 1：利用垂径定理作已知弧的中点：利用垂径定理作已知弧的中点强调：强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线错误错误正确正确例例2 2 一条排水管的截面如图所示排水管的半径一条排水管的截面如图所示排水管的半径OB=10OB=10，水面宽，水面宽AB=16AB=16，求截面圆心，求截面圆心O O到水面的距离到水面的距离 B BO OA
6、AC C应用应用2：垂径定理的有关计算：垂径定理的有关计算1.圆心到圆的一条弦的距离叫圆心到圆的一条弦的距离叫做做弦心距弦心距r rd d题后小结题后小结2作作弦心距弦心距和和半径半径是圆中常见的辅助线是圆中常见的辅助线.3 半径（半径（r)、半弦、弦心距、半弦、弦心距(d)组成的直角组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：们之间的关系：22.2ABrd弦长一条排水管的截面如图所示一条排水管的截面如图所示B BO OA AC C变式（变式（1）1.1.已知圆心已知圆心O O到水面的距离到水面的距离OCOC =6=6，半径，半径OB=1
7、0OB=10，求水面宽求水面宽AB.AB.2.2.已知圆心已知圆心O O到水面的距离到水面的距离OCOC =6=6，水面宽，水面宽AB=16AB=16，求半径求半径OB.OB.B BO OA AC CD D3.3.一条排水管的截面如图所示排水管的半径一条排水管的截面如图所示排水管的半径OB=10OB=10，水面宽，水面宽AB=16AB=16，求管内水面的最大深度，求管内水面的最大深度CD.CD.x10-x108变式（变式（2）变式（变式（3） 已知：如图，若以已知：如图，若以O O为圆心作一个为圆心作一个O O的同心圆，的同心圆，交大圆的弦交大圆的弦ABAB于于C C，D D两点两点. .求证
8、：求证：ACACBD.BD.DCABO.E（1 1）圆的轴对称性；（）圆的轴对称性；（2 2）垂径定理）垂径定理； （3 3）垂径定理的应用垂径定理的应用3 3解题的主要方法：解题的主要方法：课堂小结课堂小结（2 2）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；2.2.应用垂径定理要注意哪些问题？应用垂径定理要注意哪些问题？（1 1）在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，）在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。 . .这节课我们主要学了哪些内容？这节课我们主要学了哪些内容？ 平分弦平分弦
9、 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣（优）弧平分弦所对的劣（优）弧一条直线具有：一条直线具有： 经过圆心经过圆心条件条件结论结论（3 3）方程思想；方程思想；1.1.如图，如图，O的半径为的半径为5，弦，弦AB的长为的长为8，M是弦是弦AB上的上的动点动点，则线段，则线段OM的长的的长的最小值最小值为为_._.最大值最大值为为_._. 358N 2已知已知O O的直径是的直径是 cmcm，O O的两条平的两条平行弦行弦AB=AB= cm cm ，CD=CD=cmcm，求弦求弦ABAB与与CDCD之间的距离。之间的距离。 .EABOCD20152525247.AEBOCDFFAB、在点、在点O两侧两侧AB、在点、在点O同侧同侧过点作直线过点作直线，交于。，交于。作业布置：（课本作业布置：（课本P78作业题）作业题）1.必做题：必做题：1,2,3,4题题2.选做题：选做题：5,6题题课后思考题：第课后思考题：第7题题