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1、 锐角三角函数锐角三角函数sinA 、cosA、tanA 、cotA分别等于直角三角形分别等于直角三角形中哪两条边的比？中哪两条边的比？回顾回顾ABC重点：重点：直角三角形的解法直角三角形的解法难点：难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用三角函数在解直角三角形中的灵活运用 直角三角形直角三角形ABC中，中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量这五个元素间有哪些等量关系呢？关系呢？ ABCabc5个个6个元素个元素三边三边两个锐角两个锐角一个直角一个直角（已知）（已知）ABCabc（1）三边之间的关系）三边之间的关系a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；（2）锐角之间的关系）锐
2、角之间的关系 A B 90（3）边角之间的关系）边角之间的关系解直角三角形的依据解直角三角形的依据ABCabcasin Acbcos Acatan Abbcotaa ABC中，中，C为直角，为直角，A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，且，且b3，A30，求求B，a，cABCabc3 33030? 在下图的在下图的RtABC中，中， （1）根据）根据A=60，斜边，斜边AB=6，试求出这，试求出这个直角三角形的其他元素个直角三角形的其他元素CABB30；AC3，BC33探究探究 （2）根据）根据AC=3，斜边，斜边AB=6，试求，试求出这个直角三角形的其他元素？出这个直角三角形的其
3、他元素？CABB30；A 60 ，BC33 在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可求出其余的元素结论结论知识要点知识要点 解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求未知在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫元素的过程，叫解直角三角形解直角三角形 【例【例1】在在ABC中，中，C90，c8，B40，解这个直角三角形，解这个直角三角形(精确到精确到0.1) CBAabc解：解：A90 4050 400 60 684 8sin Asin. ,aasin A. ,ca. .222284 86 4bca. 【例例2 】在在ABC中，中，C
4、90，a5， ，求，求A、B、c边边 b 11解：解：22225116cab()50 86asin A.cA56.1，B9056.132.9CBAabc （1）在在ABC中，中，C90，b30，c40，解直角三角形解直角三角形a 10 7A41.4B48.6CBAabc （2） ABC中，中，C90，a、b、c分别分别为为A、B、C的对边，的对边， a6，sinA ，求，求b，c，tanA； ac12，b8，求，求a，c，sinB25 b c153 212 2121tan A 26103312 2613a,c,sinBCBAabc （3） 在在ABC中，中，C为直角，为直角，A、B、C所对的边
5、分别为所对的边分别为a、b、c，且，且c=287.4，B=426，解这个三角形，解这个三角形 a2133 b1927A4754已知已知两边两边两直角边一斜边，一直角边一边一角一边一角一锐角，一直角边一锐角，一斜边归纳归纳已知斜边求直边，已知斜边求直边，正弦余弦很方便；正弦余弦很方便；已知直边求直边，已知直边求直边，正切余切理当然；正切余切理当然；已知两边求一角，已知两边求一角，函数关系要选好；函数关系要选好；已知两边求一边，已知两边求一边，勾股定理最方便；勾股定理最方便；已知锐角求锐角，已知锐角求锐角，互余关系要记好；互余关系要记好；已知直边求斜边，已知直边求斜边，用除还需正余弦；用除还需正余
6、弦；计算方法要选择，计算方法要选择，能用乘法不用除能用乘法不用除优选关系式优选关系式问题一：问题一： 我校准备在学校东面建我校准备在学校东面建两幢学生公寓，已知两幢学生公寓，已知每幢公寓的高为每幢公寓的高为1515米，太阳光线米，太阳光线ACAC的入射角的入射角ACD=55ACD=550 0，为使为使公寓的第一层起照到阳光，现请你设计一下，两幢公寓的第一层起照到阳光，现请你设计一下，两幢公寓间距公寓间距BCBC至少是至少是( ) ( ) 米。米。A、15sin550 B、15cos550 C、15tan550 D、15sin350ABCDC问题二问题二： 一次大风将一棵大树刮断，经测量，大树刮
7、断一端一次大风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点的着地点A到树根部到树根部C的距离为的距离为4米，倒下部分米，倒下部分AB与地平与地平面面AC的夹角为的夹角为450，则这棵大树高是，则这棵大树高是 米米.（4 +4）2问题三：问题三： 如图如图,太阳光与地面成太阳光与地面成60度角度角,一棵倾斜的大树一棵倾斜的大树AB与地面成与地面成30度角度角,这时测得大树在地面上的影长为这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高请你求出大树的高AB的长的长.ABC30地面地面太阳光线太阳光线6010D问题四：问题四：2003年年10月月15日日“神舟神舟”5号载人飞船发射成功，当飞船完
8、成变轨号载人飞船发射成功，当飞船完成变轨后，就在离地球表面后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运的圆形轨道上运行，如图，当飞船运行到地球表面上行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少（地球半径点的距离是多少（地球半径约为约为6400km， 取取3.142，结果保留整数）？，结果保留整数）？问题五：问题五： 20052005年年“麦莎麦莎” ” 台风中心从我市的正东方向台风中心从我市的正东方向300km300km处向北偏西处向北偏西60
9、60度方向以度方向以25km/h25km/h移动，移动，距台风中心距台风中心250km的范围内的范围内均受台风的影响。均受台风的影响。请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间有多长？则影响的时间有多长？分析分析: : 若若AD250kmAD250km，则受台风影响；，则受台风影响； 若若ADAD250km250km，则不会受台风影响。，则不会受台风影响。 EF解：会受到影响。解：会受到影响。以以A为圆心，为圆心，250km长为半径画圆交直线长为半径画圆交直线BC于于E、F，则则DF=DE=200km，1625400t （小时）（小时）答：
10、影响时间为答：影响时间为16小时。小时。250连结连结AF，AE，DNBA600C则则ADB=900，AB=300km，ABD=300，AD=150km，作作ADBC于于D，150250，会受到台风影响会受到台风影响仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时：在进行测量时：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角1201、如图，小明想测量塔、如图，小明想测量塔CD的高度。他在的高度。他在A处处仰望塔顶，测得仰角为仰望塔顶，测得仰角为45，再往塔的
11、方向前，再往塔的方向前进进50m至至B处，测得仰角为处，测得仰角为60，那么该塔有，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）ABCD456050m练习二：练习二：2、如图，大楼高、如图，大楼高30m，远处有一塔，远处有一塔BC，某人，某人在楼底在楼底A处测得塔顶的仰角为处测得塔顶的仰角为60，爬到楼顶，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为测得塔顶的仰角为30，求塔高，求塔高BC及大楼与塔及大楼与塔之间的距离之间的距离AC（结果精确到（结果精确到0.01m）。）。ADCBE6030 3 3、山顶上有一旗杆，在地面上一点、山顶上有一旗杆，在地面上一点A A
12、处测得杆顶处测得杆顶B B的仰角为的仰角为 60600 0，杆底，杆底C C的仰角为的仰角为45450 0，已知旗杆高，已知旗杆高BC=20BC=20米，求山高米，求山高CDCD。4560ABCD20 x4560ABCD 3 3、山顶上有一旗杆，在地面上一点、山顶上有一旗杆，在地面上一点A A处测得杆顶处测得杆顶B B的仰角为的仰角为 60600 0，杆底，杆底C C的仰角为的仰角为45450 0，已知旗杆高，已知旗杆高BC=20BC=20米，求山高米，求山高CDCD。方向角如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东
13、东西西北北南南例例 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离灯方向，距离灯塔塔80海里的海里的A处，它沿正南方处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位向航行一段时间后，到达位于灯塔于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上方向上的的B处，这时，海轮所在的处，这时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（精确到有多远（精确到0.01海里）？海里）？6534PBCA6534PBCA例例 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离灯方向，距离灯塔塔80海里的海里的A处，它沿正南方处，它沿正南方向航行向航行了了40分钟分钟后，到达位后，到达
14、位于灯塔于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上方向上的的B处，试求，海轮的航行速处，试求，海轮的航行速度（精确到度（精确到0.01海里）？海里）？ 例例 如图，海岛如图，海岛A四周四周45海里周围内为暗海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛处见岛A在北偏西在北偏西60，航行，航行18海里到海里到C，见岛，见岛A在在北偏西北偏西45，货轮继续向西航行，有无触礁，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？的危险？ABDCPP14560答：货轮有触礁危险答：货轮有触礁危险 PBA= 60， P1CA= 30， ABC=30， ACD= 30，在在RtADC中，中， C
15、D=ADcotACD= xcot60， 在在RtADB中，中， BD=ADcot45= xcot45， BDCDBC，BC18 xcot45- xcot60=18 x9(31.732)=42.588 15 （2）正午）正午8点整，一渔轮在小岛点整，一渔轮在小岛O的北偏东的北偏东30方向，距离等于方向，距离等于20海里的海里的A处，正以每小时处，正以每小时10海里的速度向南偏东海里的速度向南偏东60方向航行那么渔轮到方向航行那么渔轮到达小岛达小岛O的正东方向是什么时间？（精确到的正东方向是什么时间？（精确到1分）分） 10时时44分分3060AOBC （3）如图，海岛）如图，海岛A的周围的周围1
16、5海里内有暗礁，鱼海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛处测得海岛A位于位于北偏东北偏东60，航行，航行16海里到达点海里到达点C处，又测得海岛处，又测得海岛A位于北偏东位于北偏东30，如果鱼船不改变航向继续向东航，如果鱼船不改变航向继续向东航行有没有触礁的危险？行有没有触礁的危险？ 有触礁的危险有触礁的危险 坡面的铅直高度坡面的铅直高度h h和水平宽度的比叫做和水平宽度的比叫做坡坡度度（或叫做（或叫做坡比坡比），一般用），一般用i i表示把坡面与表示把坡面与水平面的夹角水平面的夹角叫做叫做坡角坡角坡度、坡角h ta n()hi 坡坡 角角 【例【
17、例6 】（1）如图，温州某公园入口处原有）如图，温州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为三级台阶，每级台阶高为30cm，深为，深为30cm为方为方便残废人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起便残废人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为始点为A，斜坡的起始点为，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角，现将斜坡的坡角BCA设计为设计为12，求，求AC的长度的长度 （sin12 0.2079）解：解：在在RtBDC中，中，C=12 AC=28260=222（cm）由题意得，由题意得，BD=60 tanBDCCD60tantan12BDCDC602820.2126 （2）如图，在山坡上种树，要求株距）如
18、图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜，测得斜坡的倾斜角是坡的倾斜角是24，求斜坡上相邻两树的坡，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到面距离是多少（精确到0.1m）上述问题可以归结为：上述问题可以归结为： 在在RtABC中，中，C=90，AC=5.5，A=24，求，求AB 5.56.0()cos0.9135ACABA米米解：在解：在RtABC中，中，ACcos AAB答：斜坡上相邻两树的坡面距离是答：斜坡上相邻两树的坡面距离是6米米 （1）如图，沿）如图，沿AC方向开山修渠，为了加方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施
19、工，从快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD=140，BD=500m，D=50，那么开挖点，那么开挖点E离离D多远（精确到多远（精确到0.1m），正好能使），正好能使A、C、E成一条直线？成一条直线？解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，则在同一直线上，则ABD是是BDE的一个外角的一个外角BED=ABDD=90DE=BDcosD=5000.6428 =321.400321.4（m） 答：开挖点答：开挖点E离离D为为321.4米，正好能使米，正好能使A、C、E成一直线成一直线 （2）如图）如图 ，水库大坝的横断面是梯形，坝顶，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽宽
20、6m，坝高，坝高23m，斜坡，斜坡AB的坡度的坡度i=1 3，斜坡，斜坡CD的坡度的坡度i=1:2.5，求斜坡，求斜坡AB的坡面角的坡面角，坝底宽，坝底宽AD和斜坡和斜坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m） 坝底坝底AD的宽为的宽为132.5m，斜坡，斜坡AB的的长为长为72.7m （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；
21、（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案 利用解直角三角形的知识解决实际问利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：题的一般过程是：归纳归纳（1）三边之间的关系）三边之间的关系 a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；（2）锐角之间的关系）锐角之间的关系 A B 90（3）边角之间的关系）边角之间的关系1解直角三角形的依据解直角三角形的依据ABCabcasin Acbcos Acatan Abbcot Aa （1）将实际问题抽象为数学问题（画出）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐
22、角三）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案 2利用解直角三角形的知识解决利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：实际问题的一般过程是：1在在ABC中，中，C=90，解这个直角三角形，解这个直角三角形A=60，斜边上的高，斜边上的高CD = ；3A=60，a+b=3+ 302460ACABcos Acos解：（解：（1）B = 90-A = 3003260C DsinA sinAC=2222422 3BCABAC60ABCD2在在RtABC中中C90，
23、AD=2AC=2BD，且且DEAB（1）求）求tanB；（2）若）若DE=1，求，求CE的长的长ACBED24tanB CE53如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC=13，BC=10，求：求：sinB，cosB，tanB的值的值ABCD解解: :过点过点A作作ADBC于于D，垂足为，垂足为DAB=AC=13， ADBC，BC=10BD=CD=5AD=12222ADBDAB12sin13ADBAB512cos135BDADBtanBABBD 4为测量松树为测量松树AB的高度，一个人站在距的高度，一个人站在距松树松树20米的米的E处，测得仰角处，测得仰角ACD=56，已知，已知人的高度是人的高
24、度是176米，求树高（精确到米，求树高（精确到0.01米）米）解：在解：在RtACD中，中，tgC=AD/CD，AD=CDtanC=BEtanC=20tan56=201.482629.65(米米)AB=AD+BD=29.65+1.76=31.41(米米)答：树高答：树高31.41米米56ADBCED75450ABC 5如图，在如图，在ABC中，已知中，已知AC=8，C=75，B= 45，求，求ABC的面积的面积8解解:过过C作作CDAB于于D， B=45，ACB=75 A=60 sinA= cosA= C DA CA DA C BDC = 90SABC=114 344 3248 322AB C
25、DBCD=45 BD=CD= 4 3CD=ACsin60=4 3AD=ACcos60=4AC1000米米570米米B 6我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为米，山高为580米，如果这辆坦克能够爬米，如果这辆坦克能够爬30的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？A 30这辆坦克不能通过这座小山这辆坦克不能通过这座小山tan 30=330.577 tan30tanA = BCAC=5801000解：解： BCAC ， BC=570米米 ， AC=1000米米= 0.58 1. 42 32 AB = 6.18m，AD = 3.63m.3 143m.4 4 221m.