《281锐角三角函数》课件.ppt

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1、 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并度，并已知目高为已知目高为1米然后他很快就算出旗杆的高米然后他很快就算出旗杆的高度了度了1米米303010米米? 你想知道小明怎样算你想知道小明怎样算出的吗？出的吗？【知识与技能知识与技能】1了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念；正切的概念；2 掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比

2、的对应关系；两边之比的对应关系；3掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值的三角函数值【过程与方法过程与方法】1通过经历三角函数概念的形成过程通过经历三角函数概念的形成过程,丰富自己的数学活动经验；丰富自己的数学活动经验； 2渗透数形结合的数学思想方法渗透数形结合的数学思想方法【情感态度与价值观情感态度与价值观】1感受数学来源于生活又应用于生活，感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历；体验数学的生活化经历；2培养主动探索，敢于实践，勇于发现，培养主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神合作交流的精神重点：重点：锐角三角函数的概念锐角

3、三角函数的概念难点：难点：锐角三角函数概念的形成锐角三角函数概念的形成 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30，高为，高为7m，扶梯的长度是多少，扶梯的长度是多少?BAC307m实际问题解解:这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C=90 ，A=30 ，BC=7m，求，求AB在直角三角形中，在直角三角形中， 由于由于A=30 ,所以所以12ABCAB的的对对边边斜斜边边可得可得AB=2BC=7214m所以，扶梯的长度是所以，扶梯的长度是14m 在上面的问题中，如果高为在上面的问题中，如果高为10m ，那么需要准备多长的水管？那么需要准备多长的水

4、管？解解:这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C=90 ，A=30 ，BC=10m，求，求AB在直角三角形中，在直角三角形中， 由于由于A=30 ,所以所以ABCAB12的的对对边边斜斜边边想一想想一想可得可得AB=2BC=10220m所以所以,扶梯的长度是扶梯的长度是20m 已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形ABC，C=90 ，计，计算算A的对边与斜边的比的对边与斜边的比 ，你能得出什么结，你能得出什么结论？论？BCABABC解：因为解：因为ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， C=90 ，所以，所以A=45 由勾股定理得由勾股定理得ABACBCBC2222

5、22ABBC12222BCBCABBCABC22即直角三角形中，当一个角等于即直角三角形中，当一个角等于45时，这个角的对边与斜边的比时，这个角的对边与斜边的比都等于都等于 因此因此在在RtABC中中, C90当当A30时时,当当A45时时,12ABCAB的的对对边边斜斜边边ABC2AB2的的对对边边斜斜边边固定值固定值固定值固定值归纳归纳 对于锐角对于锐角A的每一个确定的值，其对的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是惟一确定的边与斜边的比值也是惟一确定的 吗？吗？想一想想一想所以所以_B CAB111B CAB333RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3 所以，在所以，在RtABC中，

6、在直角三角形中，当锐中，在直角三角形中，当锐角角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，的度数一定时，不管三角形的大小如何， A的对边与斜边的比是一个固定值的对边与斜边的比是一个固定值 观察右图中的观察右图中的RtAB1C1、RtAB2C2和和RtAB3C3，A的对边与的对边与斜边有什么关系？斜边有什么关系？B CAB222 直角三角形直角三角形ABC可以简记为可以简记为RtABC，直，直角角C所对的边所对的边AB称为斜边，用称为斜边，用c表示，另两表示，另两条直角边分别叫条直角边分别叫A的对边与邻边的对边与邻边，用，用a、b表表示示CAB斜边斜边c邻边邻边对边对边abCABCAB 在在RtAB

7、C中，中， C=90 ，我们把，我们把锐角锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做 A的的正弦正弦（sine），记作），记作sinA，即，即sinAaAc 的的对对边边斜斜边边一个角的正弦一个角的正弦表示表示定值定值、比比值值、正值正值知识要点知识要点正弦正弦 【例例1】如图，在如图，在RtABC中，中， C=90 ，求求sinA和和sinB的值的值ABCABC68610(1)(2)ABC68(1)解解:设如图所示设如图所示,在在RtABC中中,22226810ABACBC8410563105BCsin A,ABACsinB.AB因此因此ABC610(2)解解:设如图所示设如图所示,在在

8、RtABC中中,22226104ABACBC()()10464BCsin A,ABACsinB.AB因此因此如图，求如图，求sinA和和sinB的值的值ABCABC10(1)(2)26940sin A, sinB.1251313sin A, sinB.4094141 对于锐角对于锐角A的每一个确定的值，其邻的每一个确定的值，其邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？定的吗？想一想想一想RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3所以所以_ 观察右图中的观察右图中的RtAB1C1、RtAB2C2和和RtAB3C3，A的邻边与的邻边与斜边、斜边、 A的对边与

9、邻边之的对边与邻边之间有什么关系？间有什么关系？_B CAC111B CAC222B CAC333ACAB11ACAB22ACAB33 在在RtABC中，在直角三角形中，当锐角中，在直角三角形中，当锐角A的的度数一定时，不管三角形的大小如何，度数一定时，不管三角形的大小如何， A的的A的邻边与斜边的比、的邻边与斜边的比、 A的对边与邻边的比都是的对边与邻边的比都是一个固定值一个固定值 在在RtABC中，在直角三角形中，当锐角中，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边边与斜边的比、的对边边与斜边的比、A的邻边与斜边的比、的邻边与斜

10、边的比、 A的对边与邻边的的对边与邻边的比都是一个固定值比都是一个固定值归纳归纳 在在RtABC中，中， C=90 ，我们把，我们把锐角锐角A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做 A的的余弦余弦（cosine），记作），记作cosA，即，即cosAbAc 的的邻邻边边斜斜边边一个角的余弦一个角的余弦表示表示定值定值、比比值值、正值正值知识要点知识要点余弦余弦 在在RtABC中，中， C=90 ，我们把，我们把锐角锐角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做 A的的正切正切（tangent），记作），记作tanA，即，即AatanAAb 的的对对边边的的邻邻边边一个角的余切一个角的余切表示

11、表示定值、比定值、比值、正值值、正值知识要点知识要点正切正切 在在RtABC中，中， C=90 ，我们把，我们把锐角锐角A的邻边与对边的比叫做的邻边与对边的比叫做 A的余切，的余切，记作记作cotA，即，即AbcotAAa的的邻邻边边的的对对边边一个角的余切一个角的余切表示表示定值、比定值、比值、正值值、正值知识要点知识要点余切余切tan30=?33ABC锐角锐角A的正切值可以等的正切值可以等于于1吗？为什么？吗？为什么？可以大于可以大于1吗？吗？tan 45=tan 60=?13 锐角三角函数锐角三角函数 锐角锐角A的正弦、余弦、正切、余切都的正弦、余弦、正切、余切都叫做叫做A的的锐角三角函

12、数锐角三角函数（trigonometric function of acute angle）知识要点知识要点 1sinA、cosA、tanA 、 cotA是在是在直角三角直角三角形形中定义的，中定义的，A是是锐角锐角(注意注意数形结合数形结合，构造直，构造直角三角形角三角形) 2sinA、 cosA、tanA 、 cotA是一个是一个比值比值（数值数值） 3sinA、 cosA、 tanA 、 cotA的大小只与的大小只与A的大小的大小有关，而与有关，而与直角三角形的边长直角三角形的边长无关无关归纳归纳【例例2】如图，在如图，在RtABC中，中， C=90 ，BC=24，sinA= ，求，求c

13、osA、tanB的值的值1213ABC24解解：又又BCsin AAB13242612BCABsin A2222262410ACABBCACcos A,ABACtanB.BC10526131052412ABC24 分别求出下列直角三角形中的锐角的正分别求出下列直角三角形中的锐角的正弦值、余弦值和正切值、余切值弦值、余弦值和正切值、余切值ABC（1）ABC5（2）25 741247(1)sin,sin;2525724cos,cos;2525247tan,tan;724724,.247ABABABcotAcotB54(2)sin41,sin41;414145cos41,cos41;414154ta

14、n,tan;4545,.54ABABABcotAcotB 如图如图,在在RtABC中中,锐角锐角A的邻边和斜边同时扩大的邻边和斜边同时扩大100倍，倍，tanA的值（的值（ ） A扩大扩大100倍倍 B缩小缩小100倍倍 C不变不变 D不能确定不能确定ABCC 如图如图,观察一副三角板观察一副三角板:它们其中有几个锐它们其中有几个锐角角?分别是多少度分别是多少度?分别求出这几个锐角的三角分别求出这几个锐角的三角函数函数ABC30123sin30=cos30=tan30=cot30=1233332ABC4511sin45 =cos45=tan45=cot45=2211222ACB6012sin6

15、0=cos60=tan60=cot60=3312333230 45 60 sincostancot1222121223232333333特殊角的三角函数值表特殊角的三角函数值表1自变量自变量的取值范围是的取值范围是：各因变量的取值范围是：各因变量的取值范围是： 0 90正弦正弦 0 sin1余弦余弦 0 cos1正切正切 tan0余切余切 cot0 根据上面表格，思考以下问题：根据上面表格，思考以下问题： 各个函数值随着自变量各个函数值随着自变量的增大而怎样的增大而怎样变化？变化？tan与与cot有怎样的关系？有怎样的关系？ sin、tan随着自变量随着自变量的增大而增大的增大而增大 cos、

16、cot随着自变量随着自变量的增大而减小的增大而减小tancot =1 当两角互余时，这两角的正弦和余弦有当两角互余时，这两角的正弦和余弦有怎样的关系？正切和余切呢？怎样的关系？正切和余切呢？sin= cos（90）cos= sin（90）tan= cot（90）cot= tan（90） sin2+cos2=1【例例3】求下列各式的值：求下列各式的值：( )cossincos()cotsin22130453024560 2222325(1)3045;224cossin 3033(2)4510.6022coscotsin解：解：2230303030表示(即:(coscos) ,cos) (cos)

17、(1)sin60+cos45;(2) sin230+cos245+tan60解解: (1)sin30+cos4532222231122(2) sin260+cos260-cot4531144322.0. 如果知道一个角的三角函数的数值，如果知道一个角的三角函数的数值，你能求出这个角是多少度吗？你能求出这个角是多少度吗？(1)已知已知 ，则则A_;sin A12(2)已知已知 ，则，则B_;cosB 12(3)已知已知 ，则，则C_;tanC 3(4)已知已知 ，则，则D_;cot D 3330606030探究探究由锐角的三角函数值反求锐角A=A=A=A=A=A=A=A=A=12sinA12co

18、sA33tanA3032sinA6022cosA303tanA22sinA32cosA1tanA45归纳归纳4545306060 【例例4】 如图如图:一个小孩荡秋千，秋千链子的一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为为60，且两边摆动的角度相同，求它摆至最，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果结果精确到精确到0.01m)最高位置与最低位置的高度差约为最高位置与最低位置的高度差约为0.34mAOD OD=2.5m, 160302,解解: :如图如图, ,

19、根据题意可知根据题意可知, , 30OCcos,ODAC=2.5-2.1650.34(m) 3cos302.52.165().2OCODm 如图，在如图，在RtABC中中,C=90,A，B ，C的对边分别是的对边分别是a，b，c求证求证:sin2A+cos2A=1证明：证明：222222222222sin,cos,sincos( )( )sincos22222abAAccababAAcccABCa +b = ca +bcAA1cc三三角角形形是是直直角角三三角角形形，bABCac 如图如图,当登山缆车的吊箱经过当登山缆车的吊箱经过点点A到达点到达点B时，它走过了时，它走过了200m已知缆车行驶

20、的路线与水已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为平面的夹角为=17，那么缆，那么缆车垂直上升的距离是多少车垂直上升的距离是多少?解：在解：在RtABC中中,C=90, BC=ABsin17 你知道你知道sin17等于多少吗等于多少吗? ?用科学计算器求锐角的三角函数值：用科学计算器求锐角的三角函数值： sincostan 用计算器求用计算器求sin18，cos53， tan72, cot65和和sin72 3825的三角函数的三角函数按键的顺序按键的顺序显示结果显示结果sin18cos53tan72cot62sin72 3825sin180.309 016 994cos530.601 815 02

21、3tan723.732 050 808sin7238250.954 450 312=cot62=0.531 709 432 用计算器求三角函数值时用计算器求三角函数值时,结果一般有结果一般有10个数位本书约定个数位本书约定,如无特别声明如无特别声明,计算结果一般精计算结果一般精确到万分位确到万分位 所以我们可以用计算器求得缆车上升的垂直距所以我们可以用计算器求得缆车上升的垂直距离：离： BC=ABsin172000.292458.48（m） 如图，为了方便行人，市政府在如图，为了方便行人，市政府在10m高的高的天桥两端修建了天桥两端修建了40m长的斜道这条斜道的倾长的斜道这条斜道的倾斜角是多少

22、斜角是多少?如图，在如图，在RtABC中中,101sin.404BCAACA是多少度是多少度?ABC40m10m 如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在接受放射性治疗时瘤在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效为了最大限度地保证疗效,并并且防止伤害器官且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤已知肿瘤射线必需从侧面照射肿瘤已知肿瘤在皮下在皮下6.3cm的的A处处,射线从肿瘤右侧射线从肿瘤右侧9.8cm的的B处进入处进入身体，求射线的入射角度身体，求射线的入射角度解解:如图，在如图，在RtABC中，中，AC=6.3cm，BC=9.8cmAC.tanB.BC

23、.6 30 64299 8B324413因此，射线的入射角度约为因此，射线的入射角度约为324413 已知三角函数值求角度已知三角函数值求角度, ,要用到三个键要用到三个键, , 和第二功能键和第二功能键 和和 sincostan按键的顺序按键的顺序显示结果显示结果sinA=0.9816cosA=0.8607tanA=0.1890tanA=56.78shiftsin-10 sin-1=0.9816=78.99184039shiftcos-10 cos-1=0.8607=30.60473007shifttan-10 tan-1=0.1890=10.70265749shifttan-156 78t

24、an-1=56.78=88.99102049981=sin-1cos-1tan-1shift8 1 6 =60 7 =89 0 = 上表的显示结果是以度为单位的,再按 键即可显示以“度,分,秒”为单位的结果dms根据下列条件计算器求根据下列条件计算器求的大小的大小:(1)tan=2.9888;(2)sin=0.3957;(3)cos=0.7850;(4)tan=0.897271.523.338.341.91锐角锐角A的的正弦、余弦、正切、余切函数正弦、余弦、正切、余切函数，统称为统称为 锐角锐角A的三角函数的三角函数230、45、60角的三角函数值角的三角函数值3锐角锐角的三角函数值的取值范围

25、的三角函数值的取值范围 4三角函数的增减性：三角函数的增减性：正弦正弦 0 sin1 正切正切 tan0余弦余弦 0 cos1 余切余切 cot0sin、tan随着自变量随着自变量的增大而增大的增大而增大cos、cot随着自变量随着自变量的增大而减小的增大而减小tancot（90-） =1 sin2 +cos2 （90-） =1sin= cos（90-）cos= sin（90-）tan= cot（90-）cot = tan（90-）1 1当当A A为锐角，且为锐角，且tanA的值大于的值大于 时，时，A（ ）3A小于小于30 B大于大于30C小于小于60 D大于大于60D2当当A为锐角，且为锐

26、角，且cotA的值小于的值小于 时，时， A（ ）A小于小于30 B大于大于30C小于小于60 D大于大于60D333. 当当A为锐角，且为锐角，且cosA= 那么（那么（ ）15A0A 30 B 30A45C45A 60 D60A 90 D4当锐角当锐角A45时，时，sinA的值（的值（ ）A小于小于 B大于大于C小于小于 D大于大于22223232BA小于小于 B大于大于C小于小于 D大于大于121232325当锐角当锐角A30时，时，cotA的值（的值（ ）C(1) 2sin30+3cos30+cot45(2) cos230+ tan60sin30603034530oooocossinc

27、ossin（）304456030）costansincot（3 32233420332 3cosA =7已知已知3tanA = 0 ,求锐角求锐角A的度数的度数 3解：解：3tanA = 0 33cosA= A= 6033 8求出如图所示的求出如图所示的RtABC中中A的四个的四个三角函数值三角函数值 2228917ABBCAC解解： sinA = 817BCABcosA = tanA = cotA = 1517ACAB815BCAC158ACBC17158CBA 9如图，在直角坐标平面中，如图，在直角坐标平面中，P是第一象限是第一象限的点，其坐标是（的点，其坐标是（3，y），且），且OP与与x轴的正半轴轴的正半轴的夹角的夹角a的正切值是的正切值是 ，求：，求： （1） y的值；（的值；（2） a的正弦值的正弦值 43（1）y =4（2）sina=45OxyP(3，y)1. （1）sinA= ，cosA= ， tanA= ，sinB= ， cosA= ，tanB= ，132 23242 23132 22. 确定确定.因为一个锐角确定的直角三角形都相似因为一个锐角确定的直角三角形都相似.