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1、二次函数二次函数基础回顾基础回顾 什么叫函数什么叫函数? ? 在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量x x、y y，当变量，当变量x x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y y总有唯一的值与它对应。总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。做函数关系。 对于上述变量对于上述变量x x 、y y，我们把，我们把y y叫叫x x的函数。的函数。 x x叫自变量。叫自变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二次函数二次函数变量之间的关系变量之间的关系函数函数一次函数一次函数y=kx+
2、b (k0)正比例函数正比例函数y=kx (k0) 直线可用一次函数来表直线可用一次函数来表示，那么上面的这些曲线可示，那么上面的这些曲线可用什么函数来描述呢？用什么函数来描述呢？篮球运行的路线是什么曲线？篮球运行的路线是什么曲线？怎样出手才能把球投进篮圈？怎样出手才能把球投进篮圈？起跳多高才能成功盖帽？等起跳多高才能成功盖帽？等 1. 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设设正方体的棱长为正方体的棱长为x,表面积为表面积为y,则则y 关于关于x的关的关系式为系式为.y=6x2此式表示了正方体的表面积此式表示了正方体的表面积y y与棱长与棱长x x之间的之间的关系关系,
3、,对于对于x x的每一个值的每一个值,y,y都有一个对应值都有一个对应值, ,即即y y是是x x的函数的函数. .x活动活动:学习新课，合作探究学习新课，合作探究 2. 2.多边形的对角线数多边形的对角线数d d与边数与边数n n有什么关系？有什么关系？问题探究问题探究由图可以想出由图可以想出, ,如果多边形有如果多边形有n n条边条边, ,那么它有那么它有 _个顶点个顶点, ,从一个顶点出发从一个顶点出发, ,连接与这点不相连接与这点不相邻的各顶点邻的各顶点, ,可以作可以作 条对角线条对角线. .n(n-3) 因为像线段因为像线段MN与与NM那样那样,连连接相同两顶点的对角线是同一条接相
4、同两顶点的对角线是同一条对角线对角线,所以多边形的对角线总数所以多边形的对角线总数MN321nnd即即nnd23212 式表示了多边形式表示了多边形的对角线数的对角线数d d与边数与边数n n之之间的关系间的关系, ,对于对于n n的每一的每一个值个值,d,d都有一个对应值都有一个对应值, ,即即d d是是n n的函数的函数. . 3. 3.某工厂一种产品今年的年产量是某工厂一种产品今年的年产量是2020件件, ,计计划明后两年增加产量划明后两年增加产量. .如果每年的增长率为如果每年的增长率为x x, ,那么两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y y将随计划所定的将随计划所定的x x
5、的值而确定的值而确定, ,y y与与x x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？问题探究问题探究 这种产品的原产量是这种产品的原产量是20件件, 一年后的产量是一年后的产量是 件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是 件件,即两即两年后的产量为年后的产量为20(1+x)20(1+x)2xy1202即即xxy2040202 式表示了两年后的产量式表示了两年后的产量y y与增长率与增长率x x之间的之间的关系关系, ,对于对于x x的每一个值的每一个值, , y y都有一个对应值都有一个对应值, ,即即y y是是x x的函数的函数. .观察观察与与发现发现y=6x2ndn23212 x
6、yx2040202 以上三个函数关系式有什么结构特征，以上三个函数关系式有什么结构特征，与一次函数有什么区别？谈谈你的看法与一次函数有什么区别？谈谈你的看法.1.都是等式都是等式.2.左右两边都是整式左右两边都是整式.3.函数都是用自变量的二次式表示的函数都是用自变量的二次式表示的.这些函数有什这些函数有什么共同点？么共同点？ 2. 定义：一般地，形如定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫做二次函数。其中，的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。次项系数、一次项系数和
7、常数项。归纳概括是学习数学的最高境界归纳概括是学习数学的最高境界 你能根据以上三个函数的结构特征，你能根据以上三个函数的结构特征，仿照学过的一次函数给他们下一个确切仿照学过的一次函数给他们下一个确切的定义吗的定义吗? 值得同学们注意的是这里的值得同学们注意的是这里的a,为什么不为什么不能等于零，如果能等于零，如果a等于零会是什么情况？等于零会是什么情况？2.2.定义：一般地，形如定义：一般地，形如y=axy=ax+bx+c+bx+c(a,b,c(a,b,c是是常数常数,a 0),a 0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数。二次函数。1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右
8、边是关于自变量x的的3 ）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项，可以没有一次项和常数项，但和常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。注意注意：2）a,b,c为常数，且为常数，且4）x的取值范围是的取值范围是 。整式整式.a0.2任意实数任意实数二次函数的一般形式二次函数的一般形式: :y yaxax2 2bxbxc (c (其中其中a a、b b、c c是常数是常数,a0),a0)二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b b0 0时，时， y yaxax2 2c c当当c c0 0时，时， y yaxax2 2bxbx当当b b0 0，c c0 0时，时， y y
9、axax2 2观察观察与与总结总结 例例1 1 下列函数中，哪些是二次函数？若是下列函数中，哪些是二次函数？若是, ,分别指分别指出二次项系数出二次项系数, ,一次项系数一次项系数, ,常数项常数项. .(1) s=3(1) s=32t2t (2) y=3(x (2) y=3(x1) 1)+1+1(3) y=(x+3)(3) y=(x+3)x x (4)y= (4)y=(5) v= r (5) v= r x1_ (6) y=x (6) y=x+x+25+x+25(7)y=2(7)y=2+2x+2x(是是)(是是)(否否)(否否)(是是)(否否)(否否)(8)y=mx(8)y=mx+nx+p (
10、m,n,p+nx+p (m,n,p为常数）为常数）3(否否)抓住机遇抓住机遇 展示自我展示自我先化简后判断先化简后判断 如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1y=(k-3) +kx+1是二次函是二次函数数, ,则则k k的值一定是的值一定是_ _ 2 2k k - - 3 3k k+ + 2 2x x0 如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1y=(k-3) +kx+1是一次函是一次函数数, ,则则k k的值是的值是_ _ 2 2k k - - 3 3k k+ + 2 2x x如果函数如果函数y= +kx+1y= +kx+1是二次函数是二次函数, ,则则k k的值是的值是_ _ 2 2k
11、 k - - 3 3k k+ + 2 2x x0或或33521，2，3或已知函数已知函数 (1) k(1) k为何值时，为何值时，y y是是x x的一次函数？的一次函数？ (2) k(2) k为何值时，为何值时，y y是是x x的二次函数？的二次函数？解解（1 1）根据题意得）根据题意得 200kkk22()2ykk xkxk当时数2 2( (2 2) )k k- - k k 0 0, ,即即 k k 0 0且且 k k 1 1y y是是 x x的的 二二 次次 函函k=1时时,y是是x的一次函数。的一次函数。 例例2 关于关于x的函数的函数 是二次函数是二次函数, 求求m的值的值.mmxmy
12、2) 1(解解: 由题意可得由题意可得时，函数为二次函数。当解得，22mm注意注意:二次函数的二次项系数不能为零二次函数的二次项系数不能为零.0122mmm 变式变式1 1：关于关于x x的函数的函数 y=(m+3)x y=(m+3)x (1)m(1)m取什么值时取什么值时, ,此函数是正比例函数此函数是正比例函数? ? (2)m(2)m取什么值时取什么值时, ,此函数是二次函数此函数是二次函数? ?mm2 27 7满足什么条件时当，是常数其中函数cb,a,)cb,a,c(bxaxy201a）解：（0, 0)2(ba0, 0, 0) 3(cba(2)它是一次函数？它是一次函数？(3)它是正比例
13、函数？它是正比例函数？(1)它是二次函数它是二次函数?超级链接超级链接变式变式2：1.下列函数中，（下列函数中，（x是自变量），是二是自变量），是二次函数的为次函数的为( ).A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 D y=2+ x2 +1C2.函数函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的是二次函数的条件是条件是( ) A . m,n是常数是常数,且且m0 B . m,n是常数是常数,且且n0 C . m,n是常数是常数,且且mn D. m,n为任何实数为任何实数C3.3.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径, ,写出它写出它的表面积的表面积 s
14、s 与半径与半径 r r 之间的关系式之间的关系式. .4. n4. n支球队参加比赛支球队参加比赛, ,每两队之间进行每两队之间进行一场比赛一场比赛, ,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m m与球队与球队数数n n之间的关系式之间的关系式. .S=4r2)1n(n21m x x 5.5.用用2020米的篱笆围一个矩形的花圃米的篱笆围一个矩形的花圃( (如图如图),),设连墙设连墙的一边为的一边为x x, ,矩形的面积为矩形的面积为y y, , 求：求： (1)(1)写出写出y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式. .（写出（写出X X的取值范围）的取值范围）(2) (2) 当当x=3
15、x=3时时, ,矩形的面积为多少矩形的面积为多少? ?(1)(20 2 )yxx解：2220 xx222 320 3 42ym (2)(2)当当x=3x=3时时(ox10)答：当答：当x x3 3时，矩形的面积为时，矩形的面积为42m42m2 2。自变量的取值范自变量的取值范围在实际问题中围在实际问题中应考虑符合实际应考虑符合实际意义意义! !回味无穷回味无穷小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常是常数数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数. .其中其中, ,是是x x自自变量
16、变量,a,b,c,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项一次项系数和常数项. . y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表的几种不同表示形式示形式: : (1)y=ax (1)y=ax(a0,b=0,c=0,). (a0,b=0,c=0,). (2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0). +c(a0,b=0,c0). (3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整
17、式是整式, ,自变量自变量x x的最的最高次数是二次高次数是二次, ,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数. .探究延伸探究延伸 用用2020米的篱笆围一个矩形的米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为花圃（如图），设连墙的一边为x x, ,矩形的面矩形的面积为积为y y, , 当当x x取多少时，花圃的面积最大取多少时，花圃的面积最大？x x解解:由（由（1）知）知 y=-2x2+20 x = -2(x2-10 x)=-2(x2-10 x+25-25)=-2( x-5)2+50=50 - 2( x-5)2. ( x-5)20， 当当x=5时，时， y的最大值为的
18、最大值为50.答：答：当当x=5x=5时，花圃的面积最大时，花圃的面积最大. 在一个变化过程中在一个变化过程中, ,如果有两个变量如果有两个变量x x与与y,y,并且对于并且对于x x的每一个确定的值的每一个确定的值,y,y都有唯一都有唯一确定的值与其对应确定的值与其对应, ,那么就说那么就说y y是是x x的函数的函数, x, x是是自变量自变量. .二次函数二次函数函数函数一次函数一次函数y=kx+by=kx+b (k0) (k0)( (正比例函数正比例函数) ) y=kxy=kx (k0)函数函数: :函数及函数的类型函数及函数的类型: : y=ax+bx+c (a0)结束寄语结束寄语生活是数学的源泉生活是数学的源泉. .下课了!探索是数学的生命线探索是数学的生命线. .