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1、第二节 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质( (一一) )第一章 反比例函数一、知识回顾：一、知识回顾：1 1什么是反比例函数？什么是反比例函数？2 2反比例函数的定义中需要注意什么？反比例函数的定义中需要注意什么？（1 1）常数）常数 k k 称为比例系数，称为比例系数，k k 是非零常数；是非零常数；（3 3）除）除 k k、x x 、y y三字母以外，不含其他字母。三字母以外，不含其他字母。一般地，形如一般地，形如 y = ( k是常数是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。的函数叫做反比例函数。kx（2 2）自变量）自变量 x x 次数不是次数不是 1; x 1; x
2、 与与 y y 的积是非零常数，的积是非零常数， 即即 xy = kxy = k，k = 0k = 0；二、合作交流：二、合作交流：xky问题问题1 1：对于一次函数：对于一次函数 y = kx + b ( k 0 )y = kx + b ( k 0 )，我们是，我们是如何研究的？如何研究的？答答: : 我们先研究一次函数的定义，再研究一次函数图我们先研究一次函数的定义，再研究一次函数图 象的画法，最后研究一次函数的性质。象的画法，最后研究一次函数的性质。问题问题2 2：对于反比例函数：对于反比例函数 ( k( k是常数是常数,k 0 ),k 0 )，我们能否像一次函数那样进行研究呢？我们能否
3、像一次函数那样进行研究呢？答答: :能能. .1.1.什么是函数的图象？什么是函数的图象？建立平面直角坐标系，以自变量建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，相应的取的每一个值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出对应的点，函数值为纵坐标，描出对应的点，由所有这些点组成的图形称为这由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象个函数的图象一次函数的图象是一次函数的图象是一条直线一条直线2.一次函数一次函数 的图象是什么样子？的图象是什么样子？(0)ykxb k反比例函数反比例函数 的图象是什么样子呢？的图象是什么样子呢？(kykx为常数，k0)2yx列表：由于自变量列表：由于自变量x x的取
4、值范围是所有非零实数，因此，的取值范围是所有非零实数，因此，让让x x取一些负数和一些正数值，并且计算出相应的函数值，取一些负数和一些正数值，并且计算出相应的函数值，列成下表：列成下表： 我们来画反比例函数我们来画反比例函数 的图象的图象246246246246x542112450.40.5124664210.50.4121313122yx描点：在平面直角坐标系内，以描点：在平面直角坐标系内，以x取取的值为横坐标，相应的函数值为纵的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图坐标，描出相应的点如图连线：我们可以把连线：我们可以把y轴右边的各点轴右边的各点左边的各点，分别用一条光滑的曲左边
5、的各点，分别用一条光滑的曲线连起来线连起来(左边也如此左边也如此)列表列表246246246246 观察和分析观察和分析y轴右边的点，当横坐标轴右边的点，当横坐标x逐渐逐渐增大时，纵坐标增大时，纵坐标y反而减小反而减小y轴左边的点也有这一性质轴左边的点也有这一性质自变量自变量x的变化与函数的变化与函数y值的关系？值的关系？当当k0 时时 ，反比例函数，反比例函数 的图象也有上述性质的图象也有上述性质，于是我们以后在，于是我们以后在画反比例函数画反比例函数 的图象时，就只要的图象时，就只要“列表、描点、连线列表、描点、连线”三个三个步骤就可以了，不用每次都写步骤就可以了，不用每次都写“观察分析观
6、察分析”kyx(0)kykx例题精讲：例题精讲：例例1 1画出函数画出函数 y = y = 的图象。的图象。4x思考：思考：（1 1）这个函数中自变量的取值范围是什么？）这个函数中自变量的取值范围是什么？（2 2）画函数图象的三个步骤是什么？）画函数图象的三个步骤是什么？ 因为分母不能为零，所以因为分母不能为零，所以 x = 0 x = 0。列表、描点、连线。列表、描点、连线。解：解：1 1列表：列表：x -8 -4 -3 -2 -112348xy434211248-8-4-2-121342121三三. . 探求新知探求新知2描点：描点：xy013245 6123456-6-6-5-3-4-1
7、-2-4-5-3 -2 -1x -8 -4 -3 -2 -112348xy434211248-8-4-2-121342121.3连线：连线：y = 4xx -8 -4 -3 -2 -112348-1-2 -4 -8 8-4 21xy4342121342121.xy013245 6123456-6-6-5-3-4-1-2-4-5-3 -2 -1.思考：思考：1 1、你认为作反、你认为作反比例函数图象是应注比例函数图象是应注意哪些问题？意哪些问题？议一议议一议:你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?与同伴交流与同伴交流.答答:1.在列表时在列表时,自变量的值
8、可以选取绝对值相等而符号相自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值反的一对一对的数值,这样既可简化计算这样既可简化计算,又便于描点又便于描点.2.列表、描点时列表、描点时,要尽量多取一些点要尽量多取一些点,这样方便连线这样方便连线.3.连线时必须用光滑的曲线连接各点连线时必须用光滑的曲线连接各点.5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交但不能和坐标轴相交.练一练练一练:作反例函数作反例函数.4的图象xy4.描点时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线描点时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线, 从中体会函数的增减性；从中体会函数的增减
9、性；1画出函数画出函数 y = 的图象。的图象。4x解：解： 1列表：列表：2描点：描点：3连线：连线：x -8 -4 -3 -2 -112348xy4342121-1-2-4-88421213421以表中各组对应值作为点的坐标以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐在直角坐标系内描出相应的点标系内描出相应的点.用光滑的曲线顺次连接各点用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到就可得到的图象的图象.xy4123456-4-1-2-3-5-61 245 63-6 -5-1-3-4-20 yxy = 4xxy4342121-1-2-4-8 8421213421x -8 -4 -3 -2 -112348.xy
10、01324 5 613456-6-6-5-3-4-1-2-4-5-3-2 -1.123456-4-1-2-3-5-61 24 5 63-6-5-1-3-4-20 yx .讨论与交流：讨论与交流：(1)(1) 反比例函数函数 的图象在哪两个象限？的图象在哪两个象限？ (2) (2) 反比例函数反比例函数 的图象在哪两个象限？由什么确定？的图象在哪两个象限？由什么确定？xy4xy4xy4xy42答：相同点答：相同点: :1.1.图象分别都是由两支曲线组成图象分别都是由两支曲线组成. .它们都不与坐标轴相交它们都不与坐标轴相交2.2.两个函数图象自身都是轴对称图形两个函数图象自身都是轴对称图形, ,
11、它们各有两条对称轴它们各有两条对称轴. .3.3.两个函数图象自身都是中心对称图形两个函数图象自身都是中心对称图形, ,对称中心是坐标原对称中心是坐标原点点. .不同点不同点: : 两支曲线分别位于第一、三象限两支曲线分别位于第一、三象限内内; ; 两支曲线分别位于第二、四象限内，两支曲线分别位于第二、四象限内，xy4xy4xyxy44和想一想：观察想一想：观察 的图象，它的图象，它们有什么相同点与不同点？们有什么相同点与不同点？四归纳与概括：四归纳与概括：反比例函数反比例函数 y = y = 有下列性质：有下列性质：k x反比例函数的图象反比例函数的图象 是由两支曲线组成的。是由两支曲线组成
12、的。(1)(1)当当 k0 k0 时，两支曲线分别位于第时，两支曲线分别位于第_、_象限，象限，一一三三(2)当当 k0时，双曲线两分支时，双曲线两分支各在哪个象限？在每个象限各在哪个象限？在每个象限内，内，y随随x的增大如何变化？的增大如何变化？当当k0?请大家结合反比例函数请大家结合反比例函数 和和 的函数图象，围绕以下的函数图象，围绕以下两个问题分析反比例函两个问题分析反比例函数的性质。数的性质。 y =x6y = x6 实验实验y =x6xy0yxyx6y =01.函数函数 的图象在第的图象在第_象限，在每象限，在每个象限内，个象限内，y 随随 x 的增大而的增大而_ .2. 双曲线双
13、曲线 经过点（经过点（-3，_）y = x5y =13x3.函数函数 的图象在二、四象限，则的图象在二、四象限，则m的的取值范围是取值范围是 _ .4.对于函数对于函数 ，当，当 x0时，时，y 随随x的的_而增大，这部分图象在第而增大，这部分图象在第 _象限象限.5.函数函数 , y 随随 x 的减小而增大，的减小而增大，则则m= _. y =12xm-2xy =y =(2m+1)xm+2m-16 2 练习练习1二二,四四减小减小m 2三三3增大增大91xy 练练 习习 21. 已知已知k0,则函数则函数 y1=kx+k与与y2= 在同一坐标系中在同一坐标系中的图象大致是的图象大致是 ( )
14、xk3.设设x x为一切实数，在下列为一切实数，在下列函数中，当函数中，当x x减小时，减小时，y y的的值总是增大的函数是值总是增大的函数是( )( )(A) y = -5x -1 ( B)y = (C)y=-2x+2； (D)y=4x.2xxy0 0 xy0 0 xy0 0 xy0 0(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)(A)(A)xy0 0 xy0 0(B)(B)(C)(C)(D)(D)xy0 0 xy0 0DCC函数函数正比例函数正比例函数反比例函数反比例函数表达式表达式图象形状图象形状K0K0位位置置增增减减性性位位置置增增减减性性y=kx ( k0 ) ( k是常数是常数,k0 )y =xk直线，经过原点直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点双曲线，与坐标轴没有交点一三一三象限象限 y随随x的增大而增大的增大而增大一三一三象限象限每个象限内，每个象限内， y随随x的增大而减小的增大而减小二四二四象限象限二四二四象限象限 y随随x的增大而减小的增大而减小每个象限内，每个象限内， y随随x的增大而增大的增大而增大 填表分析正比例函数和反比例函数的区别填表分析正比例函数和反比例函数的区别结束寄语 函数来自现实生活,函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型. 函数的思想是一种重要的数学思想,它是刻画两个变量之间关系的重要手段.下课了!