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1、不利用任何工具，请找出一张长方形的不利用任何工具，请找出一张长方形的纸的对称轴纸的对称轴.你有什么办法？你有什么办法？（对折对折） (1)实验：将这张长方形的纸对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为一条直角边,长方形的纸的一边为另一条直角边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？两个直角三角形的斜边相等两个直角三角形的斜边相等.再按上述步骤折出另一个直角三角形，展开观再按上述步骤折出另一个直角三角形，展开观察，你能得到相同的结论么？察，你能得到相同的结论么？（2）猜想：线段的垂直平分线上的点到这线段的两个端点的距离相等.NABPM(3)验证猜想已知：如图，MNAB,垂足
2、为点N，AN=BN,点P是直线MN任一点.求证: PA=PB.注意：这里的点注意：这里的点P是是MN任一点任一点.思考：证明两条线段相等有哪些方法？对于本题可以用哪种方法？请大家把证明的过程写在练习本上请大家把证明的过程写在练习本上.（4）得出结论线段的垂直平分线上的点到这条线段线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等的两个端点的距离相等. 此性质的推理过程此性质的推理过程:点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上PA=PBNABPM到一条线段的两个端点到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. .线段的垂直平分线段
3、的垂直平分线上的点到这条线上的点到这条线段两个端点的线段两个端点的距离相等距离相等. .逆命题逆命题你能根据图形写出已知、你能根据图形写出已知、求证，并进行证明吗？求证，并进行证明吗？逆定理可以用来证明逆定理可以用来证明点在直线上点在直线上(或或直线经直线经过过某一某一点点).定理可以用来证明定理可以用来证明两条线段相等（或两条线段相等（或三角形是等腰三角三角形是等腰三角形）形）.通过学习，你对这两个通过学习，你对这两个定理有什么认识定理有什么认识?PAB命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点点到线段两个到线段两个端点端点的距离相等的距离相等.线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABP
4、MNCPA=PB 直线直线MNAB,垂足为垂足为C, 且且AC=CB. 已知：如图，已知：如图，点点P在在MN上上.求证：求证：证明：证明：MNAB PCA= PCB=90度度 在在 PAC和和 PBC中，中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC PA=PB性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等。距离相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点到这条线段两个端点的距离相等点的距离相
5、等几何语言叙述几何语言叙述: : PCAB AC=BC PA=PB 线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPC性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点线段垂直平分线上的到这条线段两个端点 的距离相等的距离相等.PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上?到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上.逆命题逆命题:几何语言叙述几何语言叙述:PA=PB PCAB AC=BC例：例：已知：如图，已知：如图，P为线段为线段AB外的一点，且外的一点，且PA=PB。求证，点求证，点P在线段在线段AB的垂直平分线上的
6、垂直平分线上.FABPEO点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.证明：过点证明：过点P作直线作直线EFAB，垂足为，垂足为O，则，则POAPOB90(垂直的定义垂直的定义)。在在RtPAO和和RtPBO中，中，PAPB(已知已知 )，POPO(公共边公共边)，RtPAO RtPBO (HL ).AOBO(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等).EF是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线(线段垂直平分线的定义线段垂直平分线的定义 ) .利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发现了什么？现了什么？发现：发现：三角形三边
7、的垂直平分线三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等顶点的距离相等 做一做做一做怎样证明这个怎样证明这个结论呢结论呢? ?点拨：点拨：要证明三条直线相交于一要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可点在第三条直线上即可 A AB BC CP P命题命题: :三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点. .已知：如图已知：如图, ,在在ABCABC中中,AB,BC,AB,BC的垂直平分线相交的垂直平分线相交于点于点P, P, 求证：点求证：点P P也在也在ACAC的垂
8、直平分线上的垂直平分线上证明：证明：连接连接AP,BP,CP.AP,BP,CP.点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,PA=PB PA=PB 同理同理,PB=PC.,PB=PC.PA=PC.PA=PC.点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平分线相交于一点的垂直平分线相交于一点. .定理定理: :三角形三条边的垂直平分线相交于一三角形三条边的垂直平分线相交于一点点, ,并且这一点到三个顶点的距离相等。并且这一点到三个顶点的距离相等。如图如图, ,在在ABCABC中中, ,c,a,bc,a,b分别是分别是A
9、B,BC,ACAB,BC,AC的垂直平分线的垂直平分线( (已知已知),),c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P,且且PA=PB=PC(PA=PB=PC(三角形三条三角形三条边的垂直平分线相交于一点边的垂直平分线相交于一点, ,并且这一点到三并且这一点到三个顶点的距离相等个顶点的距离相等).). A AB BC CP Pa ab bc c二、逆定理：二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等点的距离相等.PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上到线段两个端点距离相等的点，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等三、三、 线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合离相等的所有点的集合课堂小结课堂小结