第二十八章-2822应用举例.ppt

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1、第二十八章第二十八章锐角三角函数锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例 新知新知1 1 解直角三角形的知识在实际问题中的应用解直角三角形的知识在实际问题中的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型问题转化为数学模型.将某些实际问题中的数量关系化归将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般步骤是：解这类问题的一般步骤是： （1 1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、）弄清题中名

2、词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型形，建立数学模型. . （2 2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. . （3 3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形. . （4 4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实）

3、得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得出实际问题的解际意义，从而得出实际问题的解. . 要点诠释：要点诠释： 1. 1. 解直角三角形实质是利用三角函数知识，通过解直角三角形实质是利用三角函数知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，求数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，求解时最好画出它的示意图解时最好画出它的示意图. . 2. 2. 非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，适当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解适当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. .（如图（如图28-2-1628-2-16所示）

4、所示） 3. 3. 解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解进而根据条件选择合适的方法求解. . 【例【例1 1】为解决停车难的问题，在如图为解决停车难的问题，在如图28-2-1728-2-17一段一段长长56 m56 m的路段开辟停车位，每个车位是长的路段开辟停车位，每个车位是长5 m5 m、宽、宽2.2 2.2 mm的矩形，矩形的边与路的边缘成的矩形，矩形的边与路的边缘成4545角，那么这个路角，那么这个路段最多可以划出段最多

5、可以划出_个这样的停车位个这样的停车位. . （ 1.4 1.4） 例题精讲例题精讲 解析解析 如图如图28-2-1828-2-18，根据三角函数可求，根据三角函数可求BCBC，CECE，由由BEBE= =BCBC+ +CECE可求可求BEBE，再根据三角函数可求，再根据三角函数可求EFEF，再根据，再根据停车位的个数停车位的个数= =（56-56-BEBE）EFEF+1+1，列式计算即可求解，列式计算即可求解. . 答案答案 1717 1. 1. 如图如图28-2-1928-2-19，为安全起，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由角由4545降至降至3030

6、. .已知滑梯已知滑梯ABAB的的长为长为3 m3 m，点，点D D，B B，C C在同一水平在同一水平地面上，那么加长后的滑梯地面上，那么加长后的滑梯ADAD的长是（的长是（ ） 举一反三举一反三C C 2. 2. 如图如图28-2-2028-2-20，ACAC是电线杆是电线杆ABAB的一根拉线，的一根拉线，测得测得BCBC的长为的长为6 m6 m， ACBACB=50=50，则拉线，则拉线ACAC的长为的长为（ ）D D 3. 3. 如图如图28-2-2128-2-21，两条宽度均为，两条宽度均为40 m40 m的公路相交的公路相交成成 角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中角，那么这

7、两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（阴影部分）的路面面积是（ ）A A 新知新知2 2 与坡度、坡角相关的实际问题的常见图形与坡度、坡角相关的实际问题的常见图形及解题策略及解题策略 如图如图28-2-2228-2-22，坡面的铅垂高度坡面的铅垂高度（h h）和水平长度）和水平长度（l l）的比叫做坡面）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作坡度（或坡比），记作i i，即，即i i= .= .坡面与水平面的夹坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作角叫做坡角，记作. . 有有i i= =tan= =tan ， 显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.

8、 . 【例【例2 2】如图如图28-2-2328-2-23，一水库大坝的横断面为梯，一水库大坝的横断面为梯形形ABCDABCD，坝顶，坝顶BCBC宽宽6 m6 m，坝高，坝高20 m20 m，斜坡，斜坡ABAB的坡度的坡度i=i=12.512.5，斜坡，斜坡CDCD的坡角为的坡角为3030，求坝底，求坝底ADAD的长度的长度. .（精（精确到确到0.1 m0.1 m，参考数据：，参考数据： 1.414 1.414， 1.732.) 1.732.) 例题精讲例题精讲 解析解析 过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解

9、即可两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可. 解解 作作BEBEADAD，CFCFADAD，垂足分别为点，垂足分别为点E E，F F，则四，则四边形边形BCFEBCFE是矩形，是矩形，如图如图28-2-2428-2-24所示所示. . 1. 1. 如图如图28-2-2528-2-25，将一个将一个RtRt ABCABC形状形状的楔子从木桩的底端的楔子从木桩的底端点点P P沿水平方向打入沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动木桩底下，使木桩向上运动. .已知楔子斜面的倾斜角已知楔子斜面的倾斜角为为1515，若楔子沿水平方向前进，若楔子沿水平方向前进6 cm6 cm（如箭头所示），（如箭

10、头所示），则木桩上升了（则木桩上升了（ ） A. 6sin15A. 6sin15 cm cm B. 6cos15B. 6cos15 cm cm C. 6tan15C. 6tan15 cm cm D. cmD. cm 举一反三举一反三C C 2. 2. 某人沿坡度某人沿坡度i i=13=13的坡面向上走的坡面向上走50 m50 m，则此人，则此人离地面的高度为（离地面的高度为（ ）A A 新知新知3 3 与方向角相关的实与方向角相关的实际问题的常见图形及解题策略际问题的常见图形及解题策略 方向角：指北或指南方向线方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于与目标方向线所成的小于9090的的平面

11、角，叫做方向角平面角，叫做方向角. . 如图如图28-2-2628-2-26中的目标方向线中的目标方向线OAOA，OBOB，OCOC，ODOD的方向角分别表示北偏东的方向角分别表示北偏东3030，南偏东，南偏东4545，南偏西，南偏西8080，北偏西北偏西6060 . . 特别地，东南方向指的是南偏东特别地，东南方向指的是南偏东4545，东北，东北方向指的是北偏东方向指的是北偏东4545，西南方向指的是南偏西，西南方向指的是南偏西4545，西，西北方向指的是北偏西北方向指的是北偏西4545 . . 【例【例3 3】如图如图28-2-2728-2-27所示，一艘观光游船从港口所示，一艘观光游船从

12、港口A A以北偏东以北偏东6060的方向出港的方向出港观光，航行观光，航行8080海里至海里至C C处时处时发生了侧翻沉船事故，立即发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东求救信号，测得事故船在它的北偏东3737方向，马上以方向，马上以4040海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C C处所需的大约时间处所需的大约时间. .（温馨提示：（温馨提示：sin53sin53 0.80.8，cos53cos53 0.60.6） 例题精讲例题精讲

13、解析解析 过点过点C C作作CDCD ABAB交交ABAB延延长线于点长线于点D D. .先解先解RtRt ACDACD得出得出CDCD= = ACAC=40=40海里，再解海里，再解RtRt CBDCBD中，得出中，得出BCBC= = 5050，然后根据时间，然后根据时间= =路程路程速度即可求出海警船到达事故船速度即可求出海警船到达事故船C C处所需的时间处所需的时间. . 解解 如图如图28-2-2828-2-28，过点，过点C C作作CDCD ABAB交交ABAB延长线于延长线于D D. . 在在RtRt ACDACD中，中， ADCADC=90=90， CADCAD=30=30，AC

14、AC=80=80海里，海里， CDCD= = ACAC=40=40海里海里. .在在RtRt CBDCBD中中CDBCDB=90=90， CBDCBD=90=90 -37-37 =53=53， BCBC= = =50 =50（海里），（海里）， 海警船到达事故船海警船到达事故船C C处所需的时间大约为：处所需的时间大约为：5050 40=5440=54（h h）. . 1. 1. 如图如图28-2-2928-2-29，在一笔直的海岸线，在一笔直的海岸线l l上有上有A A，B B两两个观测站，个观测站，ABAB=2 km=2 km，从，从A A测得测得船船C C在北偏东在北偏东4545的方向，

15、从的方向，从B B测得船测得船C C在北偏东在北偏东22.522.5的方向，的方向，则船则船C C离海岸线离海岸线l l的距离（即的距离（即CDCD的长）为（的长）为（ ） 举一反三举一反三B B 2. 2. 如图如图28-2-3028-2-30，马航，马航370370失联后，失联后，“ “海巡海巡31”31”船匀船匀速在印度洋搜救，当它行驶到速在印度洋搜救，当它行驶到A A处时，发现它的北偏东处时，发现它的北偏东3030方向方向有一灯塔有一灯塔B B，海巡船继续向北航行，海巡船继续向北航行4 h4 h后到达后到达C C处，发现灯塔处，发现灯塔B B在它的在它的北偏东北偏东6060方向方向.

16、.若海巡船继续向若海巡船继续向北航行，那么要再过多少时间海北航行，那么要再过多少时间海巡船离灯塔巡船离灯塔B B最近？（最近？（ ）B B 新知新知4 4 与仰角、俯角相关的实际问题的常见图形与仰角、俯角相关的实际问题的常见图形及解题策略及解题策略 如图如图28-2-3128-2-31，在进行测量时，从下向上看，视线，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角的夹角叫做俯角. . 常见图形如图常见图形如图28-2-3228-2-32中的中的. .解题策略解题策略均为：从仰角、俯角入手建立它们所在的

17、直角三角形，均为：从仰角、俯角入手建立它们所在的直角三角形，再利用三角函数求出物体的高再利用三角函数求出物体的高. . 【例【例4 4】如图如图28-2-3328-2-33，在电线杆在电线杆CDCD上的上的C C处引拉线处引拉线CECE，CFCF固定电线杆，拉线固定电线杆，拉线CECE和地面所成的角和地面所成的角 CEDCED= =6060，在离电线杆，在离电线杆6 m6 m的的B B处处安置高为安置高为1.5 m1.5 m的测角仪的测角仪ABAB，在，在A A处测得电线杆上处测得电线杆上C C处的处的仰角为仰角为3030，求拉线，求拉线CECE的长（结果保留小数点后一位，的长（结果保留小数点

18、后一位，参考数据：参考数据： 1.41 1.41， 1.73 1.73）. . 例题精讲例题精讲 解析解析 此题主要考查此题主要考查解直角三角形的应用解直角三角形的应用. .要求要求学生借助仰角关系构造直学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形三角函数解直角三角形. . 由题意可先过点由题意可先过点A A作作AHAH CDCD于点于点H H，如图，如图28-2-3428-2-34所所示示. .在在RtRt ACHACH中，可求出中，可求出CHCH，进而，进而CDCD= =CHCH+ +HDHD= =CHCH+ +ABAB，再在，再在RtRt C

19、EDCED中，求出中，求出CECE的长的长. . 1. 1. 如图如图28-2-3528-2-35，线段，线段ABAB，CDCD表示甲，乙两幢居民楼的高，表示甲，乙两幢居民楼的高，两楼间的距离两楼间的距离BDBD是是60 m.60 m.某人站某人站在在A A处测得处测得C C点点的俯角为的俯角为3737，D D点的俯角为点的俯角为4848（人的身高忽（人的身高忽略不计），求乙楼的高度略不计），求乙楼的高度CDCD. .（参考数据：（参考数据：sin37sin37 ，tan37tan37 ，sin48sin48 ，tan48tan48 ） 举一反三举一反三解：过点解：过点C C作作CECE AB

20、AB交交ABAB于点于点E E，如答图如答图28-2-728-2-7，则四边形则四边形EBDCEBDC为矩形，为矩形， BEBE= =CDCD, ,CECE= =BDBD=60 m.=60 m.根据题意可得，根据题意可得， ADBADB=48=48， ACEACE=37=37， 利用解直角三角形的知识来解决生活中的实际问利用解直角三角形的知识来解决生活中的实际问题，其关键是将实际问题转化为数学模型，而将实际题，其关键是将实际问题转化为数学模型，而将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的边角关系，问题中的数量关系转化为直角三角形中的边角关系，是解决这一类实际问题的关键是解决这一类实际问题的关键

21、. . 方法规律方法规律 7. (67. (6分分) )如图如图KT28-2-18KT28-2-18，海平面上灯塔海平面上灯塔O O方圆方圆100 km100 km范范围内有暗礁，一艘轮船自西向围内有暗礁，一艘轮船自西向东方向航行，在点东方向航行，在点A A处测量得灯处测量得灯塔塔O O在北偏东在北偏东6060方向，继续航行方向，继续航行100 km100 km后，在点后，在点B B处测处测量得灯塔量得灯塔O O在北偏东在北偏东3737方向方向. .请你作出判断，为了避免请你作出判断，为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？（参考数据：触礁，这艘轮船是否要改变航向？（参考数据：sin37sin3

22、7 0.60180.6018，cos37cos37 0.79860.7986，tan37tan37 0.75360.7536， 1.732 1.732）解：如答图解：如答图28-2-828-2-8所示所示, ,过点过点O O作作OCOC垂直于垂直于ABAB的的延长线于点延长线于点C C. .在在RtRt COBCOB中，中， BOCBOC=37=37，BCBC= =OCOCtan37tan37，答图答图28-2-828-2-8在在RtRt AOCAOC中，中， AOCAOC=60=60，ACAC= =OCOCtan60tan60 = = OCOC，又又 ACAC= =ABAB+ +BCBC，A

23、BAB=100 km=100 km，即，即 OCOC=100+=100+OCOCtan37tan37， OCOC= 102= 102. .2 2（kmkm）. . OCOC100 km100 km， 这艘轮船可以不改变航向，不会触礁这艘轮船可以不改变航向，不会触礁. . 8. (68. (6分分) )气象台发布的卫星云气象台发布的卫星云图显示图显示, ,代号为代号为W W的台风在某海岛的台风在某海岛( (设为点设为点O O) )的南偏东的南偏东4545方向的方向的B B点点生成生成, ,测得测得OBOB= = 台风中心台风中心从点从点B B以以40 km/h40 km/h的速度向正北方向的速度

24、向正北方向移动，经移动，经5 h5 h后到达海面上的点后到达海面上的点C C处处. .因受气旋影响因受气旋影响, ,台风中心从点台风中心从点C C开始以开始以30 km/h30 km/h的速度向的速度向北偏西北偏西6060方向继续移动方向继续移动. .以以O O为原点建立如图为原点建立如图KT28-2-KT28-2-1919所示的直角坐标系所示的直角坐标系. . (1)(1)台风中心生成点台风中心生成点B B的坐标为的坐标为_，台风中心转折点，台风中心转折点C C的坐标为的坐标为_._.( (结果保留根号结果保留根号) ) (2)(2)已知距台风中心已知距台风中心20 km20 km范围内均会

25、受到台风侵范围内均会受到台风侵袭袭. .如果某城市如果某城市( (设为点设为点A A) )位于点位于点O O的正北方向且处于台风的正北方向且处于台风中心的移动路线上中心的移动路线上, ,那么台风从生成到最初侵袭该城要那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？系经过多长时间？系. . 7. (67. (6分分) )如图如图KT28-2-25KT28-2-25，在一次军事演习中，蓝方在一在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的条东西走向的公路上的A A处朝处朝正南方向撤退，红方在公路上正南方向撤退，红方在公路上的的B B处沿南偏西处沿南偏西6060方向前进方向前进实施拦截，红方行驶实施拦截

26、，红方行驶1 000 m1 000 m到达到达C C处后，因前方无法处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西通行，红方决定调整方向，再朝南偏西4545方向前进了方向前进了相同的距离，刚好在相同的距离，刚好在D D处处成功拦截蓝方，求拦截点成功拦截蓝方，求拦截点D D处处到公路的距离（结果不取近似值）到公路的距离（结果不取近似值） 解：如答图解：如答图28-2-1028-2-10，过过B B作作ABAB的垂线，过的垂线，过C C作作ABAB的平行线，两线交于点的平行线，两线交于点E E；过过C C作作ABAB的垂线，过的垂线，过D D作作ABAB的平行线，两线交于点的平行线，两线交于点

27、F F，则则 E E=F=F=9090，拦截点，拦截点D D处处到公路的距离到公路的距离DADA= =BEBE+ +CFCF 8. (68. (6分分) )温岭是受台风影响温岭是受台风影响较为严重的城市之一如图较为严重的城市之一如图KT28-2-26KT28-2-26，坡上有一棵与水，坡上有一棵与水平面平面EFEF垂直的大树垂直的大树ABAB，台风，台风过后，大树倾斜后折断倒在山过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部坡上，大树顶部B B接触到坡面上的接触到坡面上的D D点已知山坡的坡点已知山坡的坡角角 AEFAEF=30=30，量得树干倾斜角，量得树干倾斜角 BACBAC=45=45，大树被

28、折断，大树被折断部分和坡面所成的角部分和坡面所成的角 ADCADC=60=60且且ADAD=4 m=4 m （1 1）求）求 CAECAE的度数；的度数； （2 2）求这棵大树折断前的高度）求这棵大树折断前的高度ABAB. . （结果精确到（结果精确到个位，参考数据：个位，参考数据： 1.4 1.4， 1.71.7， 2.42.4） 解：（解：（1 1）如答图）如答图28-28-2-112-11所示，延长所示，延长BABA交交EFEF于于点点H H. . 则则 AHEAHE=90=90， HAEHAE=60=60 . . BACBAC=45=45 , , CAECAE=180=180 -EAH

29、EAH-BACBAC=75=75 . . 7. (67. (6分分) )如图如图KT28-2-33KT28-2-33，为，为测量某建筑物测量某建筑物BCBC上旗杆上旗杆ABAB的高度，的高度，小明在距离建筑物小明在距离建筑物BCBC底部底部11.4 m11.4 m的点的点F F处，测得视线与水平线夹角处，测得视线与水平线夹角 AEDAED=60=60， BEDBED=45=45小明小明的观测点与地面的距离的观测点与地面的距离EFEF为为1.6 m1.6 m （1 1）求建筑物）求建筑物BCBC的高度；的高度； （2 2）求旗杆）求旗杆ABAB的高度（结果精确到的高度（结果精确到0.1 m0.1

30、 m） （参考数据：（参考数据： 1.41 1.41， 1.73 1.73）解：（解：（1 1）根据题意得）根据题意得EFEF FCFC，EDED FCFC， 四边形四边形CDEFCDEF是矩形是矩形BEDBED=45=45，EBDEBD=45=45 .BDBD= =EDED= =FCFC=11=11. .4 m.4 m. BCBC= =BDBD+ +DC=BD+EFDC=BD+EF=11=11. .4+14+1. .6=13(m).6=13(m).答：建筑物答：建筑物BCBC的高度为的高度为13 m.13 m.（2 2）AEDAED=60=60， AD=EDAD=EDtan60tan60 1

31、111. .4 4 1 1. .73197319. .7(m).7(m). AB=AD-BDAB=AD-BD=19=19. .7-117-11. .4=84=8. .3(m).3(m).答：旗答：旗杆杆ABAB的高度约为的高度约为8 8. .3 m3 m 8. (68. (6分分) )如图如图KT28-2-34KT28-2-34，山坡上有一棵树山坡上有一棵树ABAB，树底部，树底部B B点到山脚点到山脚C C点的距离点的距离BCBC为为6 m6 m，山坡的坡角为山坡的坡角为3030小宁在山脚小宁在山脚的平地的平地F F处测量这棵树的高，点处测量这棵树的高，点C C到测角仪到测角仪EFEF的水平

32、距离的水平距离CFCF=1 m=1 m，从，从E E处测得树顶部处测得树顶部A A的的仰角为仰角为4545，树底部，树底部B B的仰角为的仰角为2020，求树，求树ABAB的高度的高度 （参考数值：（参考数值：sin20sin20 0.340.34，cos20cos20 0.940.94，tan20tan20 0.360.36） 解：解： 底部底部B B点到山脚点到山脚C C点的距离点的距离BCBC为为 m m，山坡，山坡的坡角为的坡角为3030 , , 在在RtRt BDCBDC中中, ,DCDC= =BCBCcos30cos30 = =9 m.= =9 m. CFCF=1 m=1 m， DFDF=9+1=10 m.=9+1=10 m.GEGE=10 m.=10 m. AEGAEG=45=45， AGAG= =EGEG=10 m.=10 m. 在直角三角形在直角三角形BGEBGE中，中，BG=GEBG=GEtan20tan20 =10=10 0 0. .36=336=3. .6 m6 m， AB=AG-BGAB=AG-BG=10-3=10-3. .6=66=6. .4 m.4 m. 答：树高约为答：树高约为6 6. .4 m4 m