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1、高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 4 4 角平分线（角平分线（1 1）高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学Contents目录01020304旧知回顾学习目标新知探究随堂练习05课堂小结高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学旧知回顾旧知回顾定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. ACBPMN如图, AC=BC, MNAB, P是MN上任意一点(已知), PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).高效上好每节课高
2、效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学 逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述： 如图, PA=PB(已知), 点P在AB的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) 这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.ABP高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学 那么结合我们前面学习的有关线段垂直平分线的定理及证明方法，你还记得角平分线上的点有什么性质吗?高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学学习目标学习目标1.能够证明角平分线的性质定理及其逆定理能够证明角平分线的性质
3、定理及其逆定理；2.进一步发展自己的推理证明意识和能力，培养将进一步发展自己的推理证明意识和能力，培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学新知探究新知探究 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗? 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学 已知已知: 如图如图,OC是是AOB的平分线的平分线,P是是OC
4、上任意一点上任意一点, PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E. 求证求证: PD=PE. 分析: 要证明PD=PE,只要证明它们所在OPD OPE而OPD OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.CB1A2PDEO高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学 已知已知: 如图如图,OC是是AOB的平分线的平分线,P是是OC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E. 求证求证:PD=PE.证明：证明： OC是是AOB的平分线的平分线 1= 2 PDOA,PEOB PDO= PEO OP=OP OPD OPE (AAS). PD=
5、PECB1A2PDEO高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学几何语言表示： 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图, OC是AOB的平分线, P是OC上任意一点, PDOA, PEOB, 垂足分别是D, E (已知) PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)CB1A2PDEO高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学思考分析 你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 它是真命题吗?如果是. 请你证明它.
6、高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学已知已知: 如图所示如图所示, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分别是垂足分别是D,E.求证求证: 点点P在在AOB的平分线上的平分线上. 分析: 要证明点P在AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC, 然后证明POD=POE.BACDEOP高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学已知已知: 如图所示如图所示, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分别是垂足分别是D,E.求证求证: 点点P在在AOB的平分线上的平分线上.BACDEOP证明：证明： PDOA ，PEOB POD和和POE都是都是Rt P
7、D=PE,OP=OP RtPOD RtPOE(HL) POD= POE OC是是AOB的平分线的平分线 点点P在在AOB的平分线上的平分线上高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学 逆定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分别是D, E(已知),点P在AOB的平分线上. (在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.CB1A2PDEO高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学 例1 如图，在ABC中，
8、BAC=60，点D在BC上，AD=10，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解： DE AB，DF AC，垂足分别为E，F且DE=DFAD平分BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）又 BAC=60 BAD=30在Rt ADE中， AED=90，AD=10 DE= AD/2=10/2=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学随堂练习随堂练习 1. 如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且点P到AOB的两边的距离相等. CDABO高效上好每节课高效上好
9、每节课快乐上好每天学快乐上好每天学 2. 已知: 如图, 在ABC中, A D是它的角平分线且BD=CD, DEAB, DFAC, 垂足分别是E,F. 求证: EB=FC. BAEDCF证明证明: AD是是ABC的角平分线的角平分线 且且DEAB,DFAC DE=DF BD=CD RtBDE RtCDF (HL) EB=EC高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学课堂小结课堂小结1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图, OC是AOB的平分线, P是OC上任意一点, PDOA, PEOB, 垂足分别是D, E (已知) PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)CB1A2PDEO高效上好每节课高效上好每节课快乐上好每天学快乐上好每天学2.角平分线的判定定理 定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分别是D, E(已知),点P在AOB的平分线上. (在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.CB1A2PDEO习题1.9，第3题作 业结束结束