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1、1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用一、定积分在几何中的应用，即求曲边梯形的面积。此类问题的常见题型如下。（1）利用定积分求平面图形的面积；（2）知图形的面积求参数；（3）与概率相交汇问题。二、利用定积分求平面图形面积的基本步骤：（1）画出它的草图；（2）根据图形的特点选择适当的积分变量；（3）根据图形直观确定出被积函数，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分的上下限；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）利用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积。【注】1、由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下
2、限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决2、一般地，若以为积分变量时，被积函数的原函数不易确定，而且需要把图形分割求解，计算比较麻烦，而以为积分变量，正好可以避免这种繁琐的计算时，则选用为积分变量。选取积分变量有时对解题很关键。3、以为积分变量的平面图形的面积的求法。 “型”区域面积的求法常见的有以下三种：（1）由一条曲线（其中）与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由得，再利用求出，如图。（2）由一条曲线（其中）与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由得，再利用求出，如图。（3）由两条曲线，与直线所围成的曲边梯形的面积，可由，先分别求出，再利用求出，如图。三、知图形的面积求参数求解此类
3、题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值四、与概率相交汇问题此类问题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型。求解时，根据定积分的应用，得到阴影部分的面积，再由题意得到区域总面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果.【注】1、由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分2、根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解定积分定积分的几何意义是表
4、示曲线以下、x轴以上和直线之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负1.7.2 定积分在物理中的应用一、定积分的物理意义（1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即.（2）变力做功一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s m，则力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功.二、利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求
5、出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用题型一、定积分在几何中的应用1设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则_.2由，及轴所围成的平面图形的面积是( )ABCD3如下左图阴影部分是由曲线，与直线，围成，则其面积为_ 4若函数的图象如上中图所示，则图中的阴影部分的面积为( )A B C D5如上右图所示阴影部分是由函数、和围成的封闭图形，则其面积是( )ABCD6曲线与直线围成的封闭图形的面积为( )A BC D7曲线与坐标轴所围成的面积是( )A2B3
6、CD48已知过原点的直线l与曲线相切，则由曲线，y轴和直线l所围成的平面图形的面积是( )ABCD9如下左图，阴影部分的面积是( )ABCD10已知上中图中的三条曲线所对应的函数分别为，则阴影部分的面积为( )ABC1D211如上右图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线，所围成的阴影部分的面积为 A1BC2D12由曲线，直线所围成的平面图形的面积为( )ABCD13考虑函数与函数的图象关系，计算：_14曲线和直线所围成图形的面积是( )A4B6C8D1015已知由曲线，直线以及轴所围成的图形的面积为.（1）画出图象；（2）求面积.16由抛物线及其在点，处两切线所围成图形的面积。17求由两条曲线，及
7、直线所围成图形的面积，并画出简图。题型二、以为积分变量的平面图形的面积的求法1求由与直线所围成图形的面积.2如图，设是抛物线上的一点（）求该抛物线在点处的切线的方程；（）求曲线、直线和轴所围成的图形的面积题型三、定积分与概率知识综合应用1若从区间内随机取两个数，则这两个数之积不小于的概率为( )A B. C. D. 2如下左图，正方形的边长为1，记曲线和直线，所围成的图形（阴影部分）为，若向正方形内任意投一点，则点落在区域内的概率为( )A B C D 2题图 3题图 4题图 5题图 6题图3如上图2，在边长为的正方形中，是的中点，过三点的抛物线与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部
8、分的概率是( )ABCD4如上图3阴影部分是曲线与所围成的封闭图形，A是两曲线在第一象限的交点，以原点O为圆心，OA为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB部分图形为，在内随机选取个点，落在内的点有个，则运用随机模拟的方法得到的的近似值为( )ABCD5如上图4，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为( )ABCD6某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如上右图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有
9、粒，则无理数的估计值是( )A B C D7如图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )ABCD1.7.2 定积分在物理中的应用题型一、定积分在物理中的应用1一物体在力（单位：）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到（单位：）处，则力做的功为( )A B C D2一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 (的单位，的单位m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是( )A B C D3一物体沿直线做运动，其速度和时间的关系为，在到时间段内该物体行进的路程和位移分别是( )A，B，C，D，4一物体在力F（x）4
10、x1（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1m处运动到x3m处，则力F（x）所作的功为( )A16JB14JC12JD10J5如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为( )A0.28JB0.12JC0.26JD0.18J题型二、定积分在实际生活中的应用1. 如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_1.7 定积分的简单应用 答案1.7.1 定积分在几何中的应用题型一、定积分在几何中的应用1、【答案】 【解析】因为曲线与直线所围成封
11、闭图形的面积为，所以=，解得，2、【答案】D【详解】画出图像如下图所示，由图可知，所围成的平面图形的面积.故选D.3、【答案】【详解】由题意可知，面积为：4、【答案】C【解析】由图可知，即.，则.图中的阴影部分面积为，故选C.5、【答案】B 【详解】由定积分的几何意义可知：阴影部分面积 故选B.6、【答案】B【解析】如图，由，直线，令,可得或，曲线与直线交于点或，因此围成的封闭图形的面积，故选B.7、【答案】D【分析】根据正弦函数的性质，即求与x轴围成面积的二倍，利用定积分公式，即可求得答案.【详解】由在x轴上下两侧面积相等可得，故选：D8、【答案】A【详解】解：由已知的导函数为，设过原点的直
12、线l与曲线相切于点，则，直线l的方程为，即，又直线l过原点，则，解得，所以直线l的方程为，由曲线，y轴和直线l所围成的平面图形的面积为. 故选：A.9、【答案】D【详解】，本题选择D选项.10、【答案】B 【详解】由得；由得. 阴影部分的面积.故选B11、【答案】D【解析】 ，选D.12、【答案】C 注意：此题用“”作为积分变量比较好算。【详解】由，解得，解得，解得，所围成的平面图形的面积为，则，故选C.13、【答案】. 【解析】函数与函数互为反函数，其图象（如下左图）关于直线对称，所以两部分阴影面积相等，又函数直线的交点坐标为，故答案为.14、【答案】C 【详解】曲线和直线的交点坐标为（0,
13、0）,(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形，如上中图，曲线和直线所围成图形的面积是. 故选C.15、解：（1）如上右图所示.（2）解得，所以曲线，直线的交点坐标，.16、解：如下左图，；，所以， 17、解：如上右图，由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍由得C（1，-1）同理得D（2，-1） 所求图形的面积S=题型二、以为积分变量的平面图形的面积的求法1、解：如上右图，由得交点坐标为，如图（或答横坐标） 方法一：阴影部分的面积 方法二：阴影部分的面积： 方法三：直线与轴交点为（2，0），所以阴影部分的面积 2、【答案】（）（）【详解】（）因为，所以，所以直线在处的斜
14、率，则切线的方程为即；（）由（）可知，所以由定积分可得面积所以曲线、直线和轴所围成的图形的面为题型三、定积分与概率知识综合应用1、B 分析：如图，设这两个数分别为，则，总区域为边长为的正方形，满足，即的区域如图中阴影部分，先求由直线，及围成的图形的面积，所以，所以. 2、A 分析：正方形的面积为1，阴影部分的面积为S，则。所以所求概率为。3、【答案】D【解析】以M为原点，BA所在直线为y轴，BA的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，则过C，M，D的抛物线方程为，则图中阴影部分面积为，所以落在阴影部分的概率为 ，故选择D.4、【答案】B【分析】分别求出的面积和的面积，利用几何概型，即可求出的表达式【
15、详解】由题意联立与得（1，1），则=.所以=，=，所以，则，故选B.5、【答案】A【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得 ，所以点P ，因为与轴在围成的面积是 ，则阴影部分的面积为 ，而矩形的面积为 故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 ，故选A6、【答案】D【详解】在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，矩形中位于曲线上方区域的面积为，矩形的面积为，由几何概型的概率公式得，所以.故选：D.7、【答案】B 【分析】首先求出曲线的交点，然后利用定积分求阴影部分的面积，最后再利用几何概型的概率公式求解即可【详解】设圆交轴正半轴于点，联立，得或，可知，曲线与圆在第一
16、象限的交点为，如图所示，直线的斜率为，倾斜角为，过点作轴，垂足为点，则为等腰直角三角形，且，由图形可知，阴影部分区域的面积为，由几何概型的概率公式可知，所求事件的概率为.故选：B.1.7.2 定积分在物理中的应用题型一、定积分在物理中的应用1、B 分析：。2、C 解：令0，化为3t2-4t-32=0，又t0，解得t=4由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s=3、【答案】A【解析】由定积分的几何性质可知，该物体的行进的路程为；该物体的行进的位移为，故选A.4、【答案】B【分析】由定积分的物理意义，变力F（x）所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案【详解】根据定积分的物理意义，力F（x）所作的功为（2x2x）14；故选B5、【答案】D【详解】设弹力为，弹簧离开平衡位置的距离为，弹性系数为，则，因为时，所以，所以，所以在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功为：.故选：D【点睛】本题考查了利用定积分求变力所做的功，考查了微积分基本定理，要注意距离的单位是米，属于基础题.题型二、定积分在实际生活中的应用1、 分析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为，由图易知点在抛物线上，可得，所以抛物线的方程为，即，所以当前最大流量对应的截面面积为，原始的最大流量对应的截面面积为，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为。学科网（北京）股份有限公司