《专题11：三角函数综合培优【解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题11：三角函数综合培优【解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义.docx（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年高考数学尖子生强基计划专题11三角函数综合一、 真题特点分析：1. 【2021中科大5】求函数的取值范围答案：2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（ ）A. B. C. D. ，成等差数列解析：根据对称性可选ABC3.【2020年武大15】设函数，则下列错误的是（ ）A. 方程有解 B. 方程 在 内解的个数为偶数C. 的图像有对称轴D. 的图像有对称中心 二、知识要点拓展一 两角和、差的三角公式： 1.正弦： 2.余弦： 3.正切：二正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 ， 三二倍角公式： 1.余弦： 2.正弦：、 （3）正切：四辅助角公式：注
2、意：有实数解五半角公式（万能公式）：六正弦定理： （为三角形外接圆的半径）七余弦定理：八三角形面积公式：三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下：8. 三倍角公式： ， ， 。注意：利用三倍角公式可以推导出这一特殊值：令，则，。显然，（舍去负根）。9. 常见三角不等式：1.若，则；2.若，则.3.三和差化积与积化和差公式：和差化积积化和差四三角形中的一些三角恒等式：在中，；。以上十个式子中，前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得到。式与式是等价的，式与式也是等价的。这里尤其值得一提的是式：。这是一个非常有用
3、的式子，在自主招生考试中经常用到，希望引起足够的重视。注意：锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。五三角恒等式：三、典例精讲例1（清华）函数的值域是 。分析与解答：本题的方法很多，现提供如下几种解法。解法一：。由故，。解法二：令，则，再用判别式法，求得解法三：数形结合法。y ，可看成是圆上的点到的斜率，由解析几何有关知识，可得。如图。-2Ox解法四：导数法。令。从而有。解法五：，令，则，故。例2（复旦）在中，求。分析与解答：中，。设，则（舍去），或，即。故。例3（北京）求使得在有唯一解的。分析与解答：原方程可化为， 。令，则，。即关于对称，故在
4、有唯一的解只可能在或取到。时，但此时时均有，即解不唯一；时，此时解唯一，符合要求。综上，。例4（北京）的三边满足，为的内角。求证：。分析与解答：解法一，由正弦定理，。而，所以。注意到，所以，所以。解法二：由余弦定理，（因为），所以。例5（清华）、为的内角，且不为直角三角形。（1） 求证：；（2） 当，且的倒数成等差数列时，求的值。分析与解答：（1）证明：，两边取正切，。（2） 解：。由（1）知，所以。又，所以。即。将代入，。（此时为等边三角形）或。由于，所以或。例6的三个内角成等差数列，求证：分析与解答：证明：要证原式，只要证 即只要证而 例7在中，猜想的最大值，并证明之。分析与解答：证明：
5、当且仅当时等号成立，即 所以当且仅当时，的最大值为 所以例8（清华）求的值。分析与解答：解法一：遇到高次的，一般采取降次的策略。 。（*） 。 ，而 ，故 。 将代入（*）式， 。解法二：原式。注：解答本题除了对三角公式必须熟练掌握之外，还需要一定的恒心和代数功夫。有意思的是：本题还可进一步推广：是一个定值。另外，也是一个定值0；也是一个定值。更进一步，是大于1的奇数，则。例9（上海交大）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：（1） 最大角是最小角的两倍；（2） 最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由。分析与解答：此问题可用两种方法去解，一种是三角法，另一种是纯几何
6、法。解法一：（1）如图12-4（a），不妨设。在中，由正弦定理，。又由余弦定理，。于是，解得，即三边长为4、5、6. （a） （b） 图12-4（2） 假设这样的存在。如图12-4（b），在中，由正弦定理， 。又由余弦定理，。于是，化简得 ，整理得。因n为整数，故，则边长为1、2、3，不构成三角形。故这样的三角形不存在。解法二：（1）如图12-5（a），设，延长BC至D，使。易知。令，则 ，即这样的三角形存在，且三边长即为4、5、6。 （a） （b） 图12-5（2） 若这样的三角形存在，设，如图12-5（b），在AB上取一点D，使，则，故，而 。在中，由知，故。若，三角形三边长1、2、3，舍
7、去；若，三边长为2、3、4.但此时为，进而推出矛盾！故这样的三角形不存在。四、真题训练1.（复旦）已知，则（ ）。（A） （B） （C） （D）2.（复旦）已知函数，其中x为实数且k为整数，在的最小正周期是（ ）（A） （B） （C） （D）3.（复旦）当和取遍所有实数时，函数所能达到的最小值为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）44.（复旦）已知是关于x的方程的两个根，这里，则（ ）（A） （B） （C） （D）5.（武大）如果，那么的取值范围是（ ）。（A） （B） （C） （D）6.（复旦）设。且满足，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）7.（上海交大）若，则 。8.
8、（南大） 。9.（复旦）设，设，若存在，使恒成立，在的范围为 。10.（南开）实数A、B、C满足，求证：。11.（复旦）在中，AD是A的角平分线，且。（1） 求k的取值范围；（2） 若，问k为何值时，BC最短？12.（五校联考）中，求。三、 真题训练答案1.【答案】D【分析与解答】：，。所以。2.【答案】C【分析与解答】：。3.【答案】B【分析与解答】：由柯西不等式， ，显然，当时，取到最小值2。4.【答案】C【分析与解答】：由题意，而 ，所以，解得。 。5.【答案】A【分析与解答】：一方面，；另一方面，。6.【答案】D【分析与解答】：，故。7.【答案】【分析与解答】：由条件平方得，。8.【答
9、案】【分析与解答】：，同理，。原式。9.【答案】【分析与解答】：当时，；。欲使恒成立，则只有或-1，但，所以。故。或，。前一个式子，对不恒成立；由后一个式子有，又，所以。10.【分析与解答】：因为，所以。，。所以或或。若，则；若，则；若，则，所以。故。11.【分析与解答】：设，。1. 由，所以DACB。，所以，因为，所以。 2. ，令，其中。所以，等号成立，此时。，所以，即时，BC最短为。12.【分析与解答】： （注意到） 。1. 三个数a,b,c，且满足，按从小到大的顺序排列这三个数解运用单调性结合分类讨论求解（1）若，则，但由，故有矛盾，即ab（2）若，则由单调性可知，又由及题意可得，而，
10、因此又可得，从而产生矛盾因此类似地，若，则由题意可得，从而可得与矛盾；若，则，即，即矛盾综上可得：2. 已知：定义在R上的函数为奇函数，且在上是增函数若不等式对任意恒成立求实数的取值范围解先证明函数在上是增函数，运用单调性去掉后转化为不等式恒成立求解设，且，则，且在上是增函数，又为奇函数在上也是增函数即函数在和上是增函数，且在R上是奇函数，所以在上是增函数，。当时，的最大值为，当时，不等式恒成立3. 在非直角中，边长满足（） 证明：；（） 是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由分析（）化边为角进行三角式的变形；（）
11、运用结构特征构造函数证明（）由得，和差化积得因为，所以有，展开整理得，故（）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求与之间的关系由及半角公式得，对其展开整理得即，即，即与原三角式作比较可知存在且4. 设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是求证：（）；（）；（）分析利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证证明（）由定比分点的向量形式得，由共线得，即，又，所以图即，由正弦定理可得（）由，得，由定比分点公式的向量形式有又下面求，所以由得所以代入即得证（）由（）知，所以，由是三角形的重心有得代入并利用：整理即得5. 在非钝角中，分别是的外心和内心，且，求分析化边为角，利用三角形中的几何关系求值解由已知条件及欧拉公式得，其中分别为外接圆和内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得结合正弦定理消去边和得，又，代入并分解因式得即或，即或，经验证这两个值都满足条件