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1、常微分方程习题答案2.11., 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解 .xydxdy2解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyxdxdy y22,11,0,ln,212,0)1(.22 dyxdxy的特解 .解：对原式进行变量分离得：3 。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxxy1ln11, 11,001ln1,11ln0,1112yxydxdy xy32 1解：原式可化为：xxyxxyxyxyy xyccccxdx xdyyyxydxdy
2、2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln 21ln1ln 2111,0111）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0; 0;ln,ln,lnln0110000)1()1 (4xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn 11,)1(,6ln)1ln(21111,11,0)()(:53322222222222cdxdydxdyxycyud
3、uudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdy yyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeee eexyuuxyxuuxyxyyxxx两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：cxyx
4、arctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx)(, 11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，122)(1yxdxdy解cxyxarctgyxcxarctgttdxdt tttdxdt dxdt dxdytyx)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyx dxdyU 2122222,31,3131,31; 012, 012
5、1212.132.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdt dxdytyxyxyx dxdyyxt代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令1518)14()1(22xyyxdxdy16原方程的解。，是，两边积分得分离变量，所以求导得，则关于令解：方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy6)383232(941494141412) 14(18181612222222252622yxxyxydxdy解：，则原方程化为，令uy xxyxy dxdyxxyyxy dxdy3 2
6、3223323222322)(32(2)(，这是齐次方程，令126326322222xuxuxxuxudxducxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzx dxdzxz zzdxdzxz dxduz xu1533733353373537 2233222)2()3(023)2()3,) 2()3112062312306) 1.(. 1261263的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，所以，则17. yyyxxxyx dxdy3232332解：原方程化为123132;
7、; ; ; ;) 123()132(2222222222yxyx dxdy yxyyxx dxdy令) 1.(123132; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; , 22 uvuvdvduvxuy则方程组，）；令，的解为（1111 01230132uYvZuvuv则有zyzydzdyyzyz2332 1023032）化为，从而方程（令)2.(.2322 23322 ，所以，则有tt dzdtztt dzdtztdzdtztdzdy zyt当当是原方程的解或的解。得，是方程时，即222222)2(1022xyxyttcxyxydzzdtttt5222222)2(12223022两边积分的时，
8、分离变量得另外cxyxyxyxy522222222)2(2原方程的解为，包含在其通解中，故，或，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程cyxxydxxduuuuu xuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx4ln142241)22(1 dxduuxy(2)0.x,c 2。 。0y,c 2。,c 2。dxx12udu。),(2ux1dxdu。u,xy。1dxdyyx。0sxy。0y。0x。:(1)。 。u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1。y
9、dxdudxdyx。,dxdydxdyxy。x。u,xy。22).2()1 (.1)(18.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx19. 已知 f(x).x xfxdtxf0)(, 0, 1)(的一般表达式试求函数解：设 f(x)=y, 则原方程化为两边求导得xydtxf01)(12yyycxyycxdyydxdxdyy 21; ; ; ; ;121; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;1; ; ; ; ; ; ; ; ; ;233所以两边积分得代入把 cxy 21xydtxf01)(xyccxccxcxdt ctx21,02)2(; ;
10、; ; ; ; ; ; ; ;2 210所以得20. 求具有性质 x(t+s)=的函数 x(t),已知 x(0) 存在。)()(1)()(sxtxsxtx解：令 t=s=0 x(0)=若 x(0)0 得 x=-1 矛盾。)0(1)0()0(xxx)0()0(1)0(2xxx2所以 x(0)=0. x(t)=)(1)(0( )()(1)(1)(lim)()(lim22 txxtxtxttxtxttxttx两边积分得arctg x(t)=x (0)t+c 所以 x(t)=tgx(0)t+c )(1)(0( )(2txxdttdxdtx txtdx)0( )(1)(2当 t=0 时 x(0)=0 故
11、 c=0 所以x(t)=tgx(0)t 习题 2.2求下列方程的解1=dxdy xysin解： y=e (e)dxxsindxcdx=e-e()+cx21xxxcossin=c e- () 是原方程的解。x21xxcossin2+3x=edtdxt2解：原方程可化为：=-3x+edtdxt2所以： x=e (e e) dt3t2dt3cdt=e (e+c)t351t5=c e+e是原方程的解。t351t 23=-s+dtds tcos21t2sin解： s=e(e )tdtcost2sin21 dtdt3c=e()tsincdttettsincossin= e()tsincetettsinsi
12、nsin=是原方程的解。1sinsintcet4， n为常数 .dxdynxxeynx解：原方程可化为：dxdynxxeynx)(cdxexeeydx xn nxdx xn是原方程的解 .)(cexxn5+=dxdy1212y xx0解：原方程可化为：=-dxdy1212yxx()dx xx ey212cdxedx xx221) 21(ln2x e)(1ln2 cdxexx=是原方程的解.)1 (1 2xcex6dxdy 234xyxx解：dxdy 234xyxx=+23yxxy令则=uxyuuxydxdydxdux因此：=dxduxu2ux21udxdudxduu2cxu3 31（* ）cx
13、xu33将带入（* ）中得：是原方程的解.xyu3433cxxy3332 ( )21( )227.(1)1 2(1)1 2( ),( )(1)1(1)( )1(1)dxP x dxxP x dxdyyxdxx dyyxdxxP xQ xxxeexeQ x dxcxP(x) dx232解：方程的通解为：y=e=( x+1) (*( x+1) dx+c)=( x+1) ( ( x+23221(1)()211,( )( )dy yxcdyydxxydxxydyyyQ yyyeyQ y dyc2243P(y) dyP(y) dyP( y)dy1) dx+c)=( x+1)即： 2y=c(x+1)+(x
14、+1)为方程的通解。8.=x+y解：则P(y)=e方程的通解为：x=ee2331*)22y dycyycyy=y(=即 x= +cy 是方程的通解，且 y=0也是方程的解。( )( )( )19.,1),( )( )01adx P x dxaxP x dxP x dxa adyayxadxxx axP xQ xxxeexeeQ x dxcaa为常数解：（方程的通解为： y=1 x+1=x (dx+c)xx 当 时，方程的通解为y=x+l n/ x/ +c 当 时，方程01aaaa的通解为y=cx+xl n/ x/ - 1当 ，时，方程的通解为x1y=cx +-1-3331( )( )( )31
15、0.11( ),( )1( )(*)dxP x dxxP x dxP x dxdyxyxdx dyyxdxxP xQ xxxeexeeQ x dxcxx dxccxcx33解：方程的通解为： y=1= xx=4x方程的通解为： y= 422333323 3232332311.2()2()( )2 ,( )2( )( 2)p xxdxxp xp xxdyxyx ydxxyx ydxxyxy dxxyxdxyzdzxzxdxP xx Q xxedxeeedxedxQ x dxcex23- 2xdy解：两边除以 ydydy令方程的通解为：z= =e222)11)1,0xxdxcceycey22=x故
16、方程的通解为：(x 且也是方程的解。22212111( )( )22 2ln112.(ln2)424 ln2ln2ln22ln2ln( ),( )( )ln1()(P x dxP x dxdxdxxxcxyxydxxdyxdyxyydxxxydyxyy dxxxdyxydxxxyzdzxz dxxx xP xQ xxxzeeQ x dxcxzeedxcxx解：两边除以令方程的通解为：222ln()ln1424 ln1:()1,424xdxcxx cxxcxyx方程的通解为且y=0也是解。13222(2)2122xydyyx dxdyyxydxxyxy这是 n=-1 时的伯努利方程。两边同除以，
17、1 y212dyyydxx令2yz2dzdyydxdx22211dzyzdxxxP(x)= Q(x)=-12x由一阶线性方程的求解公式22 ()dxdx xxzeedxc=2xx c22yxx c14 23ydyexdxx两边同乘以ye22()3yy ydyexeedxx令yezydzdyedxdx这是 n=2 时的伯努利方程。222233dzzxzzzdxxxx两边同除以令2z22131dzzdxxzx1Tz21dTdzdxz dx231dTTdxxxP（x）= Q(x)=3x21x由一阶线性方程的求解公式3321()dxdxxxTeedxcx=321()2xxc=1312xcx131()1
18、2zxcx131()12yexcx2312yyx ecex2312yxx ec15331dydxxyx y33dxyxy xdy这是 n=3 时的伯努利方程。两边同除以3x3 321 dxyyx dyx令2xz32dzdxxdydy= P(y)=-2y Q(y)=3 222dzyydyx322yzy32y由一阶线性方程的求解公式223(2)ydyydyzey edyc=223(2)yyey e dyc=221yyce222(1)1yxyce22222(1)yyyx eycee22222(1)yexx ycx16 y=+xe0( )xy t dt( )xdyey xdxxdyyedxP(x)=1
19、 Q(x)=由一阶线性方程的求解公式xe11()dxdxxyee edxc=()xxxee e dxc=()xexc0()()xxxxexceexc dxc=1y=()xexc设函数(t) 于0,使得), 0,)(tMtf又ttexex7,是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解dssfeeeeedssfeeeeeeeettsstsstssssstst )(6)(7)( 087707777MeeMdseeeeMttttstst 214)7178(66)(7077又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数21,cc使得)()(27 1tecectxtt从而Mcctecec
20、txtt 214)()(2127 1故上面方程的每一个解在t0上有界b) t时，0)(tfN, 0当 tN 时)(tf由 a)的结论)( ,214214)()(2127 1tMcctecectxtt故t时，原命题成立11、给定方程组xtAx)( （5.15 ）这里 A(t) 是区间bxa上的连续nn矩阵，设)(t是（ 5.15 ）的一个基解矩阵，n 维向量函数F(t,x)在bxa，x上连续，,0bat试证明初值问题：)(),()(0txtFxtAx（ *）的唯一解)(t是积分方程组dssxsFsttttxtt)(,(0()()()()(01 01（* ）的连续解。反之， （* ）的连续解也是初
21、值问题（8）的解。证明：若)(t是（ * ）的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式ttdsssFstttt0)(,()()()()()(1 01即（ *）的解满足（* ）反之，若)(t是（ * ）的解，则有ttdsssFstttt0)(,()()()()()(1 01两边对 t 求导：)(,()()()(,()(,()()()()()(,()(,()()()()(,()()()(,()()()()()(01 0101 01101 01ttFttAttFdsssFstttAttFdsssFsttttFttdsssFsttttttt即（ * ）的解是（ *）的解习题 5.3假设 A是 nn 矩阵，试
22、证：对任意常数1c、2c都有exp(1cA+2cA)=exp1cAexp2cA对任意整数k, 都有(expA)k=expkA(当 k 是负整数时，规定(expA)k(expA)1k)证明： a) （1cA）（2cA）（2cA）（1cA） exp(1cA+2cA)= exp1cAexp2cAb) k0时， (expA)k expAexpAexpAexp（A+A+ +A）expkAk0(expA)k(expA)1k=exp(-A)k= exp(-A)exp(-A) exp(-A)exp(-A)(-k)expkA故k，都有 (expA)k=expkA试证：如果)(t是x=Ax 满足初始条件)(0t的
23、解，那么)(texpA(t-t0)证明：由定理8 可知)(t(t) -1(t0)(t)ttdssfs0)()(1-又因为 (t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因为矩阵（At）（- At0 ） =（- At0 ）（ At）所以)(texpA(t-t0)试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量a）3421b）244354332c）102111121d）6116100010解： a） det （EA）=3421=(5)(+1)=01=5, 2=1对应于1=5 的特征向量u=2, (0)对应于2=1 的特征向量v=, (0)det （E
24、A）=(+1)(+2)( 2) 01 1，22，3 2对应于1 1 的特征向量u1011， （0 ）对应于22 的特征向量u2111，（0）对应于3 2 的特征向量u3110，（0）c）det （EA）=102111121(+1)2(3) 01 1（二重），2 3对应于1 1（二重）的特征向量u221， （0 ）对应于23 的特征向量v212, （0）det （EA）=61161001=(+3)(+1)(+2)=01 1，2 2，3 3对应于1 1 的特征向量u1111， （0 ）对应于2 2 的特征向量u2421，（0）对应于3 3 的特征向量u3931，（0）试求方程组x=Ax的一个基解矩
25、阵，并计算expAt，其中 A为：a）2112b）3421c）244354332d）115118301解： a） det （EA）=0 得13，23对应于1的特征向量为u321， （0 ）对应于2的特征向量为v321，（0）u321，v321是对应于1，2的两个线性无关的特征向量(t)=tttteeee3333)32()32(是一个基解矩阵ExpAt=tttttttteeeeeeee33333333)32()32()32()32(321由 det （EA） =0 得15，2 1解得 u21，v11是对应于1，2的两个线性无关的特征向量则基解矩阵为(t) tttteeee552(0) 1211
26、1(0) 31323131则 expAt (t) 1(0) tttttttteeeeeeee5555222231c ） 由 det （EA）=0 得12，2 2，3 1解得基解矩阵(t) 0022222ttttttteeeeeee 1(0) 110011111则 expAt (t) 1(0) ttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeee2222222222222d）由 det （E A）=0 得1 3，227，3 27解得基解矩阵(t) ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72(3371 37143574 357473则 e
27、xpAt (t) 1(0) ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72(397226972269732972812297281229756374237423787415、试求方程组x=Ax 的基解矩阵，并求满足初始条件)()0(t的解001102111121)720115118301)333421)AcAbAa解： a）由第 4 题（ b）知，基解矩阵为tttteeee552233所以1,2tttteeeet5542)(b）由第 4 题（ d）知，基解矩阵为(t) ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72
28、(3371 37143574 357473所以ttttttttteeeeeeeeet)72()72(3)72()72(3)72()72(39722178 9722178 9720897146748 97146748 9736437264 37264 3752741)(由 3（c）可知，矩阵A的特征值为13，2 1（二重）1对应的特征向量为u12，u23240012324解得21412121412141214121vv213)()(vEAtEeEvettttttttteeeeee212141412121333求方程组x=Axf （t ）的解)(t：tttfAcetfAbetfAattcos2si
29、n)(,1234,)0()00)(,6116100010,0)0()1)(,3421,11)0()21解： a）令x=Ax的基解矩阵为(t)150)1)(5()det()(21，所以AEp解得 (t) tttteeee552， 则 1(t) ttttteeeee554231 1(0) 121131求得)(t5121103524120355tttttteeeeeeb）由 det （E A）=0 得1 1，2 2，3 3设1对应的特征向量为v1，则（1E A ）v1=0，得 v10取 v1111，同理可得v2 2121，v33131则 (t) 32111131211从而解得tttttttttttt
30、teeeeteeeeteeeet21474942145432214341)(323232c）令x=Ax 的基解矩阵为(t)由 det （EA） =0 得11，22解得对应的基解矩阵为(t) tttteeee22 23 1(t) tttteeee2223 2从而 1(0) 2232)1 (2)324(sin2cos2)1(3)324(sin2cos)()()()0()0()()(212 21212 21011ttttteetteettdssfsttt假设 m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组mtceAxx有一解形如mtpet)(其中 c， p 是常数向量。证：要证mtpet)(是否为解，就是
31、能否确定常数向量pmtmtmtceApepme则 p（mE A） c由于 m不是 A的特征值故0AmEmE A存在逆矩阵那么 pc（ mE A） 1 这样方程就有形如mtpet)(的解给定方程组02023 221122111 xxxxxxxxx试证上面方程组等价于方程组u=Au, 其中u211321 xxxuuu，A=112244010试求 a）中的方程组的基解矩阵试求原方程组满足初始条件x1(0)=0, x1(0)=1, x2(0)=0 的解。证： a）令231211, ,xuxuxu则方程组化为31223331212211223 uuuxuuuuuxuuxu即 uu112244010u=A
32、u 反之，设 x1=u1,x1=u2,x2=u3 则方程组化为21122211121122111222 2244 xxxxxxxxxxxxxxxxxb）由 det （E A）=0 得10，21，32由02024403213212uuuuuuu得02011u同理可求得u2 和 u3取021,2111,201321vvv则0212201)(22ttttteeeeet是一个基解矩阵c）令231211, ,xuxuxu，则化为等价的方程组且初始条件变为. 0)0(, 1)0(,0)0(321uuu而满足此初始条件的解为：tttttAtAteeeeeee1322322101022于是根据等价性，满足初始
33、条件的解为式试用拉普拉斯变换法解第5 题和第 6 题。证明：略。求下列初值问题的解：4232211112 222 121122112211121 2121)0( ,)0(,)0( ,)0(0 0 )0)0(, 1)0( , 1)0(02023 )0)0(, 1)0(10)xxxxxmxxmxcxxxxxxxxxbxxxxa解： a)根据方程解得1x21，2x211x21t1c，2x21t 2c1)0(12101c1 1c1 1x21t 10)0(22102c0 2c0 2x21t综上：1x21t 12x21tb）对方程两边取拉普拉斯变换，得0)()()(21)(0)()()(2) 1)(31)
34、(2211221112sXssXsXssXsXssXsXssXssXs解得21311131)2)(2)(1(2)(2112121411132)2)(2)(1(3)(221sssssssXssssssssX)(31)(1214132)(2 222 1ttttteeteeetc）对方程两边取拉普拉斯变换，得4422 122 43 3 2442 4322 23 1 14322 122122 1222 432222 2112ss)(s)()()()()(0)()(0)()(msmmssXmsmsmssXssXssXmssXmsXssXmssXssXmssXs解得即tmtmtmtmetm mmtm mm
35、etm mmtm mmtetm mmtm mmetm mmtm mmt2 4214322 42143222 4324212 4324211 2sin)42 42 21( 2cos)42 21 42( 2sin)42 42 21( 2cos)42 21 42()( 2sin)42 21 42( 2cos)42 42 21( 2sin)42 21 42( 2cos)42 42 21()(假设 y)(x是二阶常系数线性微分方程初值问题1)0( ,0)0(0 yybyayy的解，试证x dttftxy 0)()(是方程)( xfbyayy的解，这里f（x）为已知连续函数。证明： ydttftxx )(
36、)( 0ydttftxdttftxxfxx )()( )()( )()0( 00)()()()()0( )()( 00xfdttftxxfdttftxyxnxndttftxbdttftxaxfdttftxbyayyxxx )()()()( )()()( 000)()()()()( )( )( 0xfxfdttftxbtxbtxatxx习题 6.3试求出下列方程的所有奇点, 并讨论相应的驻定解的稳定性态(1)32(4/1)1(yxydtdyyxxdtdx解: 由0)32(4/10)1(yxyyxx得奇点 (0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)对于奇点 (0,0), A=2/100
37、1由AE=0 得1=10,2=1/20所以不稳定对于奇点 (0,2),令 X=x,Y=y-2, 则 A=2/12/301得1=-1, 2=-1/2所以渐进稳定同理可知 , 对于奇点 (1,0),驻定解渐进稳定对于奇点 (1/2,1/2),驻定解渐进不稳定(2) yxxyyxdtdyxyyxdtdx2245665469解: 由045660546922yx xyyxxyyx得奇点 (0,0),(1,2),(2,1)对于奇点 (0,0) 可知不稳定对于奇点 (1,2) 可知不稳定对于奇点 (2,1) 可知渐进稳定(3) 0),(2xyxdtdyydtdx解: 由0, 0)(02xyxy得奇点 (0,
38、0),(-1/,0)对于奇点 (0,0) 驻定解不稳定对于奇点 (-1/,0) 得驻定解不稳定(4) )3/22)(322xyxxyyxydtdyxydtdx解: 由0)3/22)(0322xyxxyyxyxy得奇点 (0,0),(1,1)对于奇点 (0,0) 得驻定解不稳定对于奇点 (1,1) 得驻定渐进稳定研究下列纺车零解的稳定性(1) 0652233xdtdxxx dtd dtd解:a0=10,a1=50,a2=6061152 0 a3=10 所以零解渐进稳定(2)(,为常数xzdtdzzydtdyyxdtdx解:A=011001由AE=0 得01333223得1=1, 2=i2321i) +1/20 即-1/2不稳定iii) +1/2=0 即=-1/2 稳定