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1、高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理). 平面对量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度,记作:|AB 或|a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则|1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是随意的,且与随意向量平行】 5.平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +=;AB
2、AC CB -=(指向被减数 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理:/a b a b =。当0时,a b 与同向;当0 12.向量的模:若(,a x y =,则2|a x y =+22|a a =,2|(a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:|cos a b a b =; cos |a b a b = 14.平行与垂直:1221/a b a b x y x y =;121200a b a b x x y y =+= 题型1.基本概念推断正误: (1共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2若两个向量不相等,则它们
3、的终点不行能是同一点。 (3与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5若AB CD =,则A、B、C、D 四点构成平行四边形。 (6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。 (7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (8若ma mb =,则a b =。 (9若ma na =,则m n =。 (10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量。 (11若|a b a b =,则/a b 。 (12若|a b a b +=-,则a b 。 题型2.向量的加减运算 1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,
4、则|a b += 。 2.化简(AB MB BO BC OM += 。 3.已知|5OA =,|3OB =,则|AB 的最大值和最小值分别为、。 4.已知AC AB AD 为与的和向量,且,AC a BD b =,则AB = ,AD = 。 5.已知点C 在线段AB 上,且3 5AC AB =,则AC = BC ,AB = BC 。 题型3.向量的数乘运算 1.计算:(13(2(a b a b +-+= (22(2533(232a b c a b c +-+-= 2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,则1 32a b -= 。 题型4.作图法球向量的和 已知向量,a b ,如下图,请做出
5、向量132a b +和3 22a b -。 a b 题型5.依据图形由已知向量求未知向量 1.已知在ABC 中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ,表示AD 。 2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b =,求AB AD 和。 题型6.向量的坐标运算 1.已知(4,5AB =,(2,3A ,则点B 的坐标是 。 2.已知(3,5PQ =-,(3,7P ,则点Q 的坐标是 。 3.若物体受三个力1(1,2F =,2(2,3F =-,3(1,4F =-,则合力的坐标为 。 4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b -,32a b -。 5.已知(1,2,(
6、3,2A B ,向量(2,32a x x y =+-与AB 相等,求,x y 的值。 6.已知(2,3AB =,(,BC m n =,(1,4CD =-,则DA = 。 7.已知O 是坐标原点,(2,1,(4,8A B -,且30AB BC +=,求OC 的坐标。 题型7.推断两个向量能否作为一组基底 1.已知12,e e 是平面内的一组基底,推断下列每组向量是否能构成一组基底: A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e -和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和 2.已知(3,4a =,能与a 构成基底的是( A.34(,55 B.
7、43(,55 C.34(,55- D.4(1,3 - 题型8.结合三角函数求向量坐标 1.已知O 是坐标原点,点A 在其次象限,|2OA =,150xOA =,求OA 的坐标。 2.已知O 是原点,点A 在第一象限,|43OA =60xOA =,求OA 的坐标。 题型9.求数量积 1.已知|3,|4a b =,且a 与b 的夹角为60,求(1a b ,(2(a a b +, (31(2 a b b -,(4(2(3a b a b -+。 2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1|,|a b , (2a b ,(3(2a a b +,(4(2(3a b a b -+。 题型10.求向
8、量的夹角 1.已知|8,|3a b =,12a b =,求a 与b 的夹角。 2.已知(3,1,(23,2a b =-,求a 与b 的夹角。 3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC 。 题型11.求向量的模 1.已知|3,|4a b =,且a 与b 的夹角为60,求(1|a b +,(2|23|a b -。 2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1|,|a b ,(5|a b +,(61 |2a b -。 3.已知|1|2a b =,|32|3a b -=,求|3|a b +。 题型12.求单位向量 【与a 平行的单位向量:|a e a =】 1.与(1
9、2,5a =平行的单位向量是 。 2.与1 (1,2m =-平行的单位向量是 。 题型13.向量的平行与垂直 1.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1/a b ?(2a b ? 2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 为何值时,向量ka b +与3a b -垂直? (2k 为何值时,向量ka b +与3a b -平行? 3.已知a 是非零向量,a b a c =,且b c ,求证:(a b c -。 题型14.三点共线问题 1.已知(0,2A -,(2,2B ,(3,4C ,求证:,A B C 三点共线。 2.设2(5,28,3(2AB a b BC a b
10、CD a b =+=-+=-,求证:A B D、三点共线。 3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则肯定共线的三点是 。 4.已知(1,3A -,(8,1B -,若点(21,2C a a -+在直线AB 上,求a 的值。 5.已知四个点的坐标(0,0O ,(3,4A ,(1,2B -,(1,1C ,是否存在常数t ,使O A t O B O C +=成立? 题型15.推断多边形的形态 1.若3AB e =,5CD e =-,且|AD BC =,则四边形的形态是 。 2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,证明四边形ABCD 是梯
11、形。 3.已知(2,1A -,(6,3B -,(0,5C ,求证:ABC 是直角三角形。 4.在平面直角坐标系内,(1,8,(4,1,(1,3OA OB OC =-=-=,求证:ABC 是等腰直角三角形。 题型16.平面对量的综合应用 1.已知(1,0a =,(2,1b =,当k 为何值时,向量ka b -与3a b +平行? 2.已知(3,5a =,且a b ,|2b =,求b 的坐标。 3.已知a b 与同向,(1,2b =,则10a b =,求a 的坐标。 3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,则c = a + b 。 4.已知(5,10a =,(3,4b =-,(5,
12、0c =,请将用向量,a b 表示向量c 。 5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围; (2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围。 6.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1a 与b 的夹角为钝角?(2a 与b 的夹角为锐角? 7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2A -,(3,4B ,(2,1D ,且/AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标。 8.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1 ，B(-1,3 ，C (3, 4 ， 求第四个顶点 D 的坐标。 9.一航船以 5km/h 的速度
13、向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30 角，求 水流速度与船的实际速度。 10.已知 -ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4 ， B(0, 0 ， C (c, 0 ， （1）若 AB - AC - 0 ，求 c 的值； （2）若 c - 5 ，求 sin A 的值。 【备用】 1.已知 | a |- 3,| b |- 4,| a - b |- 5 ，求 | a - b | 和向量 a, b 的夹角。 2.已知 x - a - b ， y - 2a - b ，且 | a |-| b |- 1 ， a - b ，求 x, y 的夹角的余弦。 1.已知 a - (1,3, b
14、 - (-2, -1 ，则 (3a - 2b - (2a - 5b -。 4.已知两向量 a - (3, 4, b - (2, -1 ，求当 a - xb与a - b 垂直时的 x 的值。 5.已知两向量 a - (1,3, b - (2, -， a与b 的夹角 - 为锐角，求 - 的范围。 变式：若 a - (-, 2, b - (-3,5 ， a与b 的夹角 - 为钝角，求 - 的取值范围。 选择、填空题的特别方法： 1.代入验证法 例：已知向量 a - (1,1, b - (1, -1, c - (-1, -，则2 c - （ 1 3 A.- a - b 2 2 1 3 B.- a -
15、b 2 2 3 1 C.a - b 2 2 3 1 D.- a - b 2 2 ） 变式：已知 a - (1, 2, b - (-1,3, c - (-1, 2 ，请用 a, b 表示 c 。 2.解除法 例：已知 M 是 -ABC 的重心，则下列向量与 AB 共线的是（ A.AM - MB - BC B.3 AM - AC C.AB - BC - AC ） D.AM - BM - CM 6 广东省近八年高考试题-平面对量（理科） 1.(2007年高考广东卷第10小题 若向量 a、b 满意| a |=| b |=1， a 与 b 的夹角为 120- ，则 a a - a b - 2.(2008
16、 年高考广东卷第 3 小题 3.已知平面对量 a =（1，2） ， b =（2，m） ，且 a b ，则 2 a + 3 b =（ A.（5，10） B.（4，8） 4.(2009 年高考广东卷第 3 小题 （x,1 ） ，b= 已知平面对量 a= ， 则向量 a - b =（ （x, x 2） ） C.（3，6） D.（2，4） ） A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第 一、三象限的角平分线 D.平行于第 二、四象限的角平分线 - - - - - - c =(3,x满意条件 (8 a b c =30， b= 5.(2022 年高考广东卷第 5 小题若向量 a = （1,1）
17、， （2,5） ， 则x= ( A6 B5 C4 D3 6.(2022 年高考广东卷第 3 小题已知向量 a - (1, 2, b - (1,0, c - (3, 4 若 - 为实数, (a - -b / / c, 则- - ( B.1 2 A 1 4 C.1 D.2 7.(2022 年高考广东卷第 3 小题 8若向量 BA - (2,3 ， CA - (4,7 ，则 BC - （ A (-2, -4 B (3, 4 C (6,10 ） D (-6, -10 9.(2022 年高考广东卷第 8 小题对随意两个非零的平面对量 - , -，定义 - - - - -若平面 - - - - -n -向
18、量 a, b 满意 a - b - 0 ， a 与 b 的夹角 - - - 0, -，且 - -和 - -都在集合 - | n - Z -中，则 - 4- -2 - b a- A 1 2 B 1 C 3 2 D 5 2 7 10.（2022 广东省高考数学理科 12）已知向量 a - -1,0, -1-则下列向量中 , 与 a 成 60 - 夹角的是 A （-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1） 8 中学数学必修4平面对量学问点与典型例题总结(理). 中学数学平面对量的公式学问点 中学数学有关平面对量的公式的学问点总结 中学数学竞赛讲义(八)平面对量
19、中学数学必修五学问点总结 中学数学必修4平面对量复习5正弦定理余弦定理 中学数学必修4教案 平面对量基本定理、平面对量的正交分解和坐标表示及运算 中学数学学问复习要点驾驭之平面对量 中学数学 第2章 平面对量 2.3 向量的坐标表示学案苏教版必修4 中学数学必修4人教A教案其次章平面对量复习 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页