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1、1.3.1函数的单调性函数的单调性函数的基本性质数与形数与形,本是相倚依本是相倚依,焉能分作两边飞焉能分作两边飞;数无形时少直觉数无形时少直觉,形少数时难入微形少数时难入微;数形结合百般好数形结合百般好,隔离分家万事休隔离分家万事休;切莫忘切莫忘,几何代数统一体几何代数统一体,永远联系莫分离永远联系莫分离. 华罗庚华罗庚思考1：观察下列各个函数的图象，并说说它观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律们分别反映了相应函数的哪些变化规律北京市北京市8月月8日一天日一天24小时内气温随时间变化曲线图小时内气温随时间变化曲线图 y246810O- -2x84121620246
2、210141822Ixyy = xO11实例实例1 1：画出函数：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?f(x1)x1xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象
3、观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例实例1 1：画出函数：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)1.从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降 _?2.在区间在区间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值的值随着随着 _ (- -, +)增大增大上升上升实
4、例2：我们在初中已经学习了函数图象的画法。下面，我们将按照列表、描点、连线等步骤画出函数 的图象。 （1）列表x-2-1012y41014（2）描点（3）连线（用光滑的曲线连接）得到的图象如图所示。2xy2xy2xyx0y1124-1-2引入：从函数的图象看到图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间0，+ )上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大， 这时我们就说函数y=f(x)= 在0,+ )上是增函数。 图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当x在区间（- ，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，这时我们就说函数y=f(x)= 在(- ,0)上是减函数。yx
5、O1124-1-22x2x那么应该如何用数学语言来描述并给出增函数与减函数的定义呢？思考：函数 f(x)=x :则f(x1)= , f(x2)= x12x22函数 f(x)=x 在(0,+)上是增函数。都有xy0 x1x2f (x1)f (x2)在(0,+)上任取 x1、x2 , 因此在f(x)在（0,+）上, 当x增大时, 函数值y相应地随着增大。这与观察图象所得结果是一致的。 所以f(x)在（0,+）上是增函数。 x12 x22对任意 x1 x2 , 即对任意 x1 x2 ， 都有 f(x1) x22对任意 x1 x2 , 即对任意 x1 f(x2) x能用图象上动点能用图象上动点P（x，
6、y）的横、纵坐标的横、纵坐标关系来说明上升关系来说明上升或下降或下降趋势吗趋势吗？xyo1yxxyo1yx xyo2yx 在某一区间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图像在该区间内逐渐上升；图像在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图像在该区间内逐渐下降。图像在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性函数的单调性局部上升或下降局部上升或下降下降下降上升上升如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 。增函数与减
7、函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 。xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)yxo x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)增函数减函数0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，
8、图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx
9、1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大y随随x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)y随随
10、x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出单调增函数和单调减函数由此得出单调增函数和单调减函数的定义的定义. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义
11、域为A,区间区间I A. 当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )， 当当x1 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 增增 区间区间.单调区间单调区间 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I， 对任意的对任意的 x1,x2 I 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I， 对任意的对任意的 x1,x2 I如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数
12、，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间。单调性与单调区间：注意：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数;函数的单调区间是其定义域的子集。例例1：下图是定义在区间：下图是定义在区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-
13、5,-2), 1,3)是减函数，是减函数， 在区间在区间-2,1), 3,5 上是增函数。上是增函数。yoxoyxyox在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在 增函数在 减函数ab2-，,2abyoxyoxyox在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数在 增函数在 减函数ab2-，,2ab(0)ykx b k(0)y kx bk1yx1yx2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca2 看下列函数图象看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间下列各函数有没有单调区间,若有写出其单调区间若有写出其单调区间.图图1图图3图图2没有单调区间没有单调区间减区间减区间增区间增区
14、间,00,没有单调区间没有单调区间例例2.证明：函数证明：函数 在在 上是增函数上是增函数., 证明：在区间证明：在区间 上任取两个值上任取两个值 且且 , 12,x x12xx12xx12,x x ，且，且210 xx23)(xxf)23()23()()(1212xxxfxf则)(312xx )()(0)()(1212xfxfxfxf即所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数. . , 23)( xxf思考：思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？如何证明一个函数是单调递增的呢？取值取值变形变形作差作差定号定号判断判断 对任意对任意x x1 1,x ,x2 2 0 0，+）, ,且
15、且x x1 1 x x2 2， 则：则：2121)()(xxxfxf2121xxxx由由0 x0 x1 1 x x2 2 得得 021 xx021xx于是于是 f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0 0。即即 f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )所以函数所以函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）上为增函数。xxf)(证明:例例3 证明函数证明函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）上为增函数。xxf)(三判断函数单调性的方法步骤三判断函数单调性的方法步骤 利用利用定义定义证明函数证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性的上的单调性的一般步骤：一般步骤：1
16、 取值取值： 设任意两个实数设任意两个实数x1、x2有，有， x1，x2D，且且x1x2；2 作差作差：f(x1)f(x2)；3 变形变形：通常是因式分解和配方；：通常是因式分解和配方；4 定号定号：即判断差：即判断差f(x1)f(x2)的正负；的正负；5 下结论下结论：即指出函数：即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的上的 单调性单调性3.利用定义证明函数单调性的步骤:设值定号作差得出结论2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右1.增函数、减函数的定义；上升下降变形强化训练：强化训练：1.证明函数证明函数 在在 上是增函数上是增函数.32)(2xxxf), 1( 2.证明函数证明函数 在在 是减函数是减函数 xxf2)()0 ,(xxxf1)(3.证明函数证明函数 在在 上是减函数上是减函数)0 , 1(课本上习题1.3A组：1 , 2 题