多因子欧式期权定价的主成分蒙特卡罗加速方法.doc

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1、第 卷 第 期 西 南 大 学 学 报 （ 自 然科 学版 ） （ ） 年 月 ： 多 因 子 欧 式 期 权 定 价 的 主 成分 蒙 特 卡 罗 加 速 方 法 梁义娟 ， 徐承龙 ， 马俊美 西南大学 经济管理学院，重庆 ； 上海财经大学 数学学院，上海 摘要 ： 针对多个随机因 子的欧式期权定价问题 ， 提出了一种基于主成分分析 的多元控制变 量的蒙特卡 罗加速框 架 其核心思想是 ， 使用单个主成分替换收益函数中的原始 随机变 量以便更 易获得 定价问 题的精 确值 ， 从而可 将近似 的加速效果 对多资产期权和亚式期权的 数值实验验证了本文算法的高效性和稳定性 关 键 词 ： 期权

2、定价 ； 主成分分析 ； 蒙特卡罗模拟 ； 多元控制变量 中图分类号 ： 文献标志码 ： 文章编号 ： （ ） 年，文 献给出 了欧 式标 准期 权的定 价公 式，成 为衍 生品 定价 历史上 的一 项重 大 突破 ， 、 ， 然 而，如 果 欧式 期权 的标 的资 产与 多个随 机因 子有 关 ， 如 多资 产期 权 路径 依 赖期 权 等 ， 一 般 就 无法 得 到 期权 价 格 的 封闭 解 在风 险中 性世 界中 如 果能 够对 衍 生产 品 进 行完 全 对 冲 则 其 价 格可 以 表 示 为风 险 中 性世 界 中 的 贴现 收益 函数 的期 望值 ， 蒙特 卡罗 模拟 可以

3、用来 求解 这一 类期望 问题 ， 相 对于 有限 差分 法、二叉树 等其 它 ， 数 值方 法而 言 蒙特 卡罗 模拟 思想 简单 具 有计 算误 差与 维 度无 关 的优 势 可以 很 自 然 地用 于 高 维问 题 的 求解 然而 ，蒙特 卡罗 模拟 收敛速 度较 慢，常 常需 要使 用各类 方差 减小 技巧 来 提高 其精 度 控 制变 量是 一种 常用 的方差 减小 技巧 ，它是 一种 充分 利用 已知 量的 估计 误差 来降 低 未知 量 的估 计 误 ， 差 的技 术 文献 就使 用了 控制 变量 方法 来加 速各 种期 权的定 价 ， （ 在本 文中 我 们基 于主成 分分 析

4、提 出 ， ） 了 一种 多元 控制 变量 的构 造框架 称为 主 成分 蒙 特卡 罗 方法 主 成分 分析 是一 种常 用的 统计降 维方 法 其 主要 想法 是，可 以使 用 少数 几 个 独立 的 主 成分 去 表 示 原始 多 维 ， ， 随 机变 量的 绝大 部分 信息 主成 分的一 个 重要 特 征 就 是 每 一 个 主成 分 都 是一 个 一 维随 机 变 量 从 而 基 于 一个 主成 分构 造的 控制 变量容 易得 到精 确值 目 前，使用主 成分 方法 来构 造控 制变 量的 研究 还较 少 文 献 使 用主 成分 抽样 的方 法去构 造布 朗桥 ，从而 降低 问题 的维

5、度 本文首 先分 析了 对欧 式多因 子期 权定 价模 型使 用多 元控 制变 量进 行蒙特 卡罗 模 拟的 一 般思 路 ，然后 基 于 原始 变量 的主 成分 变换 构造了 ， 种不同 的控 制变 量方 法 ， 对 多资 产 期权 和 亚式 期 权分 别 展开 的 数值 算 例 表 明 更 小 与 使用几 何平 均的 期权 作为 控制 变量 的方 法相比 本文 提出 的 基于 主 成分 的 控制 变 量方 法 具有 方 差 多因子期权定价模型及主成分控制变量方法 多因子 欧式 期权 定价 模型 ： ， 、 收稿日期 ： （ ）； （ ） 基金项目 ： 国家自然科学基金数学天元基金项目 （

6、）， ， ， ， ， 中央高校基本科研业务费专项资金项目 作者简介 梁义娟 女 重庆梁平人 讲师 博士 主要从事金融工程与风险管理的研究 ： 第 期 ： 梁 义娟 ， 等 ： 多因子 欧式 期权 定价 的主 成分 蒙特 卡罗 加速方 法 ， （ ）， （ ） （） 其 中 是 维标 的资 产的 状态 变量 其概 率密 度函 数为 是 贴现 收益函 数 多因 子指的 是标 的 资 产状 态变 量 ，它的 “多 ”可能来 源于 标的 资 产 的 高维 性 ，如 多资 产 期 权，或 者 标 的资 产 的 路径 依 赖 性， 如 亚式 期权 的收 益函 数典 型地依 赖于 多个 时间 状态 的值 （

7、 ， ） 经 典的 蒙特 卡罗 （ ）生 成容 量为 的随 机样 本 （ ， ， ， 方 法可以 用来 解决 这一 类期 望问 题 ），然后 计算 每一个 样本 函数 的值 首先 根据密 度函 数 （ ），最 后 计 算样 本均 值 （） ） （） （） ， 则 样 本均 值 就是 期权 价格 的一 个无偏 估计 如 果随 机样 本 具有 有限 方差 中 心极限 定理 说 明 样本 的误 差满 足 ， 槡 其 成立 的概率 为 其 中 是 标准 正态分 布的 分 位数 于 是蒙 特卡 罗方 法的有 效性 可以 用样 本 的标 准误 差 （ ） 来 度量 可以 看出 ，蒙 特卡 罗方 法的 收敛

8、性 速度 非常 慢，仅为 （ ） 对多 因 ， 槡 ， 子 期权 定价 问题 考 虑到 标的 状态 变量 的高 维性 即 使生 成一 个简 单随 机样 本也 需要大 量的 时间 多 元控 制变 量方法 控制变 量 （ ）技巧 是 一种 常 用的 方 差减 小 技术 ，它 利用 一 个已 知 量的 估 计误 差 来降 低 未 知 量的 估计 误差 使 用控 制变 量技 巧可 以大 大提 高蒙 特卡 罗模拟 的效 率 （） 为了 说明 其思 想 ，考虑问 题 （）， 即 计算 随机 变量 （） 的期 望 在 得到 的同 时能 得到 另一 个随 机向量 （） （） ） 的样 本 ，且其 期望 假 设

9、随 机样 本 （ ， 烄 烆 ）具有 如下 的协 方差 矩阵 烌 烎 其中 是非 奇异 的 方阵 ， 是 向量 ，常 数 是 变量 的方 差 对任 意固 定的向 量 ， 可 以构 造 的 一个 估计 值 （ ） （ ） （ ） ， ， 其 中误 差 是 可以 观察 的 这就 成为 未知 误差 的 一个 控制 把 称为 的一 个控 制 向 量或 者多 元控 制变 量 显然 控制 变量 估计 值 （）是一 个无 偏 估 计，并且 可以 选择 如下 的最 优系 数 使 得估 计值 方差 最小 为 （） （ （ ） （ ） （ ） 其 中 是平 方复 相关 系数 ，它度 量了 使用 控制 变量 后 的

10、 方差减 小比 例 于 是，控制 变量 方法的 效率 可 以 用方 差减 小指 数 （ （ ） （） （） （） （ （） （ ， ， ， ） （ （ ） 来 度 量 方差 减小 指数 对控 制向 量 和 原始 变量 ， 之 间的 相关 系数 ， 高 度敏 感，如果 趋向 于 ，则 方 差减 小指 数可 以大幅 度提 高 这 说明 为 了 有效 地 减 小方 差 必 须要 选 择 一个 与 原 始 变量 高 度 相关 的 控 制 向量 当 然，控 制向量 的选 择取 决于 具体 的问 题，对于 期权 定价 问题 ，标的 资产 、债券 价 格 、对 冲 等都 可 以 作为 控制 变量 ， ， ，

11、 特 别 地 当多 元 控 制变 量 的 各个 分 量 独 立时 此 时 协方 差 矩 阵 是 对 角 矩阵 于 是 平方 复 相 关 西南 大学 学报 （ 自然 科学 版 ） ： 第 卷 系 数 ， ， ， 是控 制变 量 与 的相 关系 数 这也 说明 如 果控 制变 量之 间相互 独立 使用 的控 制变量 个数 越 多 那么其 方差 减小 效果 越好 主 成分 控制 变量方 法 主 成分 分 析（ ， ）是 一 种 对多 维 随 机变 量 的 统计 降 维 方 法 更 准 确 地 ， 说 它是将 研究 对象 的多 个相 关变 量近 似地 转化为 少 数几 个 独立 变 量 的一 种 多

12、元 统计 方 法 在 多变 量 统 计 分析 中，为了 尽可 能完 整地 搜集 信息 ，对 每个 样品 往往 测量 许多 指标 ，这 虽然 可以 避免 重要 信息 的遗 漏， 然 而从 统计 的角 度来 看，这些 变量可 能高 度相 关，反而 增加 了问 题的 复杂性 因 此，自然 想到 用少数 几个 不 是 一个半 正定 对称 矩阵 ，于是 有谱分 解 其 中 方法 其中 ， 对标的 资产 的状 态变 量 （ ， ， ， ） ，假 设其 均值 向量 和协 方差 矩阵 分别 为 ， 显 然 （ ， ， ， ） ， （ ， ， ， ） ， ， ， （ ） （ ）， （） （ ） （ ， ， ，

13、） （ ） ， ） ， ， （ ） ， （ ， ） ， 个 主成 分 的 贡献 率定 义为 这 说明 了 对 原变量 的信 息解 释能 力 前 个主 成分的 解释 能力 可以 用累 计贡 献率 来 度量 ， （ ） （） （ ） ， ， （）， ， 蒙 特卡 罗（ ， ）方法 （） ， ， ， （ ， ， ， ） 如 果 相 对于 不 是很大 ，那 么在 使用 的同 时，可 以使 用第 二个 主成 分 一 起来 解释 的信 息 同 时 ， （ ， ， ， ） 理 论上 ，可以用 前 个主 成分 ， ， ， 构 造如 下的 控制变 量 第 期 梁 义娟 ， 等 ： 多因子 欧式 期权 定价 的主

14、 成分 蒙特 卡罗 加速方 法 实 际 上，上 面构 造的 控制 变量可 以从 另一 个角 度来 理解 在 ， ， 相 对 于 很小，这 说明 主成 分 的 方差 也很 小 ，于 是可 以 把 它们 近 似 看 作是 常 数 也 就 是 说，在 积 分 可 以用 它们 的期 望值 代替，于是 就得 到了 自然 地可 以看 作是贴 现收 益函 数的 一 个 近似 同 样地 ， 也 可以 看作 是贴 现收 益函 数的 一个 近似 ， 它 们都 可以 用作 蒙特 卡罗 模拟 的控制 变量 ， 程 度 一 个好 的控 制变 量必 须容易 得到 它的 期 望 运 用最多 的还 是 方法 并 且 与 原始

15、 变 量 高度 相 关 在实 际 中 考虑 到 计 算的 复 杂 为 了避 免计 算形 如 这样 的高维 积分 ，可以 使用 单个 的主成 分构 造如 下的 控制 变量 ： ， 的 期 望 ， 是一 个 一 维 积分 采 用 一些 数 值 方法 容 易 得 到 （ ） 由 于 主 成分 是 按照 它 们 的重 要 程 度 ， ， ， 降 序 排 列的 可 以 猜测 与贴 现 收 益函 数 之 间 的相 关 性 也随 着 增 大 而减 小 由 于 之 间 是 相互 独 立 的 小 效 果 之 间 也是 独 立 的 ，使 用 多元 控 制 可以 得 到 更 好的 方 差 减 方法 如 果从 贴现

16、收益 函数 ， （）的近 似表 达来 看， 显 然比 ， ， 的精 确程 度更高 ，当然也 具有 更 ， ， （ ） 高 的 相关 系数 ， 于是 可以 提出 一种 混合 的多 元控 制变 量 ， ， ， 即 使用 注 意到 在 下文 中 我们 将使 用形 如 的控 制变 量 期权定价实例 多 资产 期权 定价问 题 假 设欧 式多 资产 期权 的标的 资产 （ ， ， ， 满足 如下的 随机 微分 方程 （ ） ： （） （） （ ） （） （） 其中 ： 是 市场 无风 险利 率 ， 是 股票 （）的 连续 分红 率 ， 是 （）的波 动率 ， （）（ ， ， ， ）是 ， 标 准布 朗运

17、 动 且具 有如 下的 相关 系数 矩阵 烄 烌 ， 烆 烎 （ （ ）， 对 于欧 式多 资产 期权 设 其在 到期 日 的 收益函 数为 则其 在初 始时 刻的 价值 为 （ （ ） （ （ ）， （ ）， ， （ ） （） 令 （ ） 槡 （ ， ， 维积 分问 题（）中 ，如果 特征 值 ， ， （ ）中 ， ， ， （ ， ， ， ， ， ， ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ） 则 是 一个 维正 态随 机向量 并且 的 期望 为零 协 方差 矩阵 为 （） （ ） （ ， ， ， ） （） 从 而随 机微 分方 程 的解为 （ ） （） ， ，

18、， （ ） 槡 于 是，期 权价格 具有显 性表 达式 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 槡 西南 大学 学报 （ 自然 科学 版 ） ： 第 卷 假 设 的协 方差 矩阵 有谱 分解 ，其中 （ ， ， ， ） 是特 征值 组成 的对 角矩 阵 ， （ ， ， ， ） ， 是一 个正 交矩 阵 其元 素 对应 的特 征向量 则 的主 成分 变换 为 （ ） （ （ ） （ ） （ ， ， ， ）， ， 于 是收 益函 数 变 为 再 注意 到 的协 方差 矩阵就 是对 角阵 从而 可 以 将式 （ ）改 写为 （） （ ） （ （ ） 一篮 子期 权 ， 槡 ， 一 篮子 期权 是一

19、种典型 的多 资产 期权 其收 益函数 取决 于标 的资 产的 平均 数 对算 术平 均一 篮子 期 权 在 到期 日 的欧 式看 涨期 权的 收益 函数 可以 记作 （） （ （） ） ： （） ， ， ， ， 其 中 第 个 资产 价格 服从 式 定义 的几何 布朗 运动 是 对应 的权 重 是 敲 定 价格 对 算术 平均 一篮 子期 权 ，即使 是欧 式期 权 ，我 们也无 法得 到其 封闭 解 然 而 ，我们 容 易得 到 对应 的 几 何平 均一 篮子 期权 的价 格 实验 ： 二 维一 篮子 期权 ， ， 为 了说 明算 法的 有效 性 我们 不妨 从一 个 维的 一篮 子期权

20、说起 此时 它 的收 益函 数为 （ （）， （） （ （ ） （ ） ） （ ） ， 利 用主 成分 变换 式 收 益函 数变 为 ） 槡 （ ） ） 槡 （ ） （ ， ） （ （ ） （） 此 时，期 权价格 可以 表示 为 （ ， ） 我 们可 以构 造两 个独 立的 控制变 量 （ ， ） （ ， ） 蒙 特卡 罗控 制变 量模 拟算 法如下 ： ； ）计 算收 益函 数 （ ， ） 是特征 值 （） ） ， （） （ ， ， ）， （） 及 控制 变量 （） （） 槡 槡 （） （） （ ，） ） ）根 据（）式计 算最优 系数 槡 和 ； 槡 （） 以 及主 成分 控制 变量 （

21、 ）估计 值 ： （ ） （ ） ， （ ， ） （ ） ， ， ， 为 简单 起见 令 分红 率 模拟 的路 径数 由 于波 动率 对期 权价 格具有 显著 影响 ，下面 主要 考虑 波动率 对蒙 特卡 罗模 拟方 法的 影响 令 （ ， ） 第 期 ， 梁 义娟 ， 等 ： 多因子 欧式 期权 定价 的主 成分 蒙特 卡罗 加速方 法 经 过计 算 试 验结果 见表 表 精确值 不同波动率 情形下的蒙特卡罗模拟的期权价格及标准差 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）

22、 （ ） （ ） 表 展 示了 几种 蒙特 卡罗 模拟的 期权 价格 括号 里是 对 应的 样 本标 准 差 其 中 精 确 值是 使 用 数值 算 法 得 到的 精确 解 ， 表示 普通 的 蒙 特 卡 罗模 拟 方 法 ， 是 使 用 几何 平 均 一 篮 子 期权 作 为 控 制 变 量， （ ）表 示的 是使 用式 （ ）的一 元控制 变量 ， （ ）表示 的是 使用 式 （ ）的二 元 控 制变 量 明 显 看 出，在 各 种 波动 率 情 形 下，构 造 的二 元 控 制 变量 （ ）具有 最 小 的标 准 差 ，其次 是 一 元控 制 变 量 （ ）， ， ， ， 它 们均 优于使 用几 何平 均一 篮 子期 权 作 为控 制 变 量另 外 ， 随 着波 动 率 的增 加 期 权价 格 也 在 增加 模拟的 标准 差也 在增 加 但 是 种 控制 变量 方法 的方 差减 小指 数却 在减 小 当 时，协方 差矩 阵的 特征值 为 ， 现 在固定 ，改 变特 征值 的比 例 或 者 ，观 察试 验结果 ，见表 表 不同特征值比例情形下的方差减小指数 （ ） （ ）