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1、5.2.1 平方差公式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. .(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘的法则(1) (x+1)(x1) (2) (a+2)(a2)； (3) (2x+1)(2x1); (4) (3x+4y)(3x4y). 观察上述算式，你能发现什么共同点？观察上述算式，你能发现什么共同点？运算出结果后，你发现什么规律？运算出结果后，你发现什么规律？计算：计算：阅读课本阅读课本107页，回答以下问题：（
2、时间页，回答以下问题：（时间3分钟）分钟）1、你能从代数和几何两个角度证明公式吗、你能从代数和几何两个角度证明公式吗？2、你用能文字语言表述平方差公式？、你用能文字语言表述平方差公式？3、平方差公式有哪些特征呢？、平方差公式有哪些特征呢？4、公式中的、公式中的a、b表示什么呢？表示什么呢？自学提纲自学提纲代数法：代数法：22bababa22ba )(baba22)(babababbaaa-ba-baba-b几何法几何法bbaaa-ba-bababa-ba-b几何法几何法bbaaa-ba-bababa-ba-bab(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2结论结论: 两
3、个数的两个数的和和与这两与这两个数的个数的差差的积，等于的积，等于这两个数的这两个数的平方差平方差 2、你能用文字、你能用文字语言表述平方差语言表述平方差公式？公式？ (a+b)(a-b)=a2-b2相反为相反为b 相同为相同为a 特征：特征：a,ba,b可以是单项式也可以是多项式可以是单项式也可以是多项式. .4、公式中的、公式中的a、b表示什么呢？表示什么呢？第一关第一关: (3x+2)(3x-2) ; (3x+2)(3x-2) ; (b+2a)(2a-b); (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y); (3) (-x+2y)(-x-2y);(4) (3m(4) (
4、3m4n)(-3m4n)(-3m4n);4n);运用平方差公式计算运用平方差公式计算:（5）（）（6 6mn)(mn+6).mn)(mn+6). 请你先找出请你先找出相同项和相反项相同项和相反项第二关第二关: :下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？2222222)2)(2)(4()()(3(49)23)(23)(2(2)2)(2)(1 (nmnmnmbababaaaaxxx第三关第三关: :计算：计算：202198)2() 1100)(1100)(1 (202198200)3(2第四关第四关: :计算：计算：)23)(32()43)(43)(
5、2()4)(2)(2)(1 (2xxxxxxx. 2x其中谈谈你的收获：谈谈你的收获：（1）平方差公式是什么？它的文字语言如何叙述？）平方差公式是什么？它的文字语言如何叙述？（2）平方差公式的特征是什么？）平方差公式的特征是什么？（3）应用平方差公式时要注意什么？）应用平方差公式时要注意什么？（4）本节课使用了哪些数学思想？）本节课使用了哪些数学思想？1. (1x)( 1x)1 2. (-3a)(-3 )a24. (0.3x2)( )40.09 x23. (xa)(a )a2 x25. (ab )( x) x2 填空：使等式两边满足平方差公式填空：使等式两边满足平方差公式x2a9-x-aba2
6、b2-x第二关第二关: 请从这个正方形纸板上，剪下一请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为个边长为b b的小正方形，如图的小正方形，如图1 1，拼成，拼成如图如图2 2的长方形，你能根据图中的面的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？积说明平方差公式吗？(a+b)(ab)=a2b2图1图2验证验证【例例1 1】运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：(1) (3x(1) (3x2 )( 3x2 )( 3x2 ) .(2) (b+2a)(2a2 ) .(2) (b+2a)(2ab). b). 【解析解析】 (1) (3x(1) (3x2)(3x2)(3x2)2)=(3x)=(3x)2 22
7、22 2=9x=9x2 24.4.(2)(2)(b+2ab+2a)(2)(2a ab b) )=(2a+b)(2a=(2a+b)(2ab)b)=(2a)=(2a)2 2b b2 2=4a=4a2 2b b2 2. .只有符合只有符合(a+b) (a b)的的形式才能用平方差公式形式才能用平方差公式【例题例题】【例例2 2】计算计算(1) 102(1) 10298. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5). 98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5). 【解析解析】（1 1） 1021029898=(100+2)(100-2)=(100+2)(100-2)=100=1
8、002 22 22 2=10 000=10 0004 4=9 996.=9 996.(2)(2)原式原式=(y=(y2 22 22 2)-(y)-(y2 2+5y-y-5)+5y-y-5)= y= y2 22 22 2y y2 2-5y+y+5-5y+y+5=-4y+1.=-4y+1.1 1. .下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是 ( )( ) （1 1）( (x x+1)(1+1)(1+x x) )； （2 2）( (a a+ +b b)()(b ba a) )； （3 3）( (a+b)(aa+b)(ab)b)； （4 4）(x(x2 2y)(
9、x+yy)(x+y2 2) )； （5 5）( (a ab)(ab)(ab)b)； （6 6）(c(c2 2d d2 2)(d)(d2 2+c+c2 2).). （2）（）（5）（）（6）【跟踪训练跟踪训练】2.2.利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：(1)( x2y)( 2yx). (2)(2x5)(52x).22(3)(x6)(x6) .原式原式=(-2y-x)(-2y+x)=(-2y-x)(-2y+x) = 4y = 4y2 2x x2 2. .【解析解析】原式原式=(5+2x)(5-2x)=(5+2x)(5-2x) = 25 = 254x4x2 2. .【解析解析】原式原式=(x+
10、6)-(x-6)(x+6)+(x-6)=(x+6)-(x-6)(x+6)+(x-6) = (x+6-x+6)(x+6+x-6) = (x+6-x+6)(x+6+x-6) =12 =122x=24x.2x=24x.平方差公式的逆用平方差公式的逆用a a2 2b b2 2 = = (a+b)(a(a+b)(ab)b)【解析解析】 【解析解析】原式原式=(0.5-x)(0.5+x)(x=(0.5-x)(0.5+x)(x2 2 +0.25) +0.25) =( 0.25 =( 0.25x x2 2)( 0.25+x)( 0.25+x2 2) ) =0.062 5 =0.062 5x x4 4. .（5
11、 5）100.5100.599.5.99.5.【解析解析】原式原式=(100+0.5)(100-0.5)=(100+0.5)(100-0.5) =10 000-0.25 =10 000-0.25 =9 999.75. =9 999.75.2(4)(0.5x)(x0.5)(x0.25).1 1（眉山（眉山中考）下列运算中正确的是（中考）下列运算中正确的是（ ）A A B B C C D D【解析解析】选选B. B. 在在A A中中3a3a2a2a5a5a；C C中中 ； D D中中 . . 2325aaa22(2)(2)4ababab23622aaa222(2)4abab232 352a a2a
12、2a22244)2 (bababa2.2.( (威海威海中考中考) )已知已知a-b=1,a-b=1,则则a a2 2b b2 22b2b的值为的值为( ) ( ) A A4 4 B B3 C3 C1 1 D D0 0 【解析解析】选选C.aC.a2 2b b2 22b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.3.3.（湖州（湖州中考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到中考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_【解析解析】
13、图甲的面积图甲的面积= =（a+ba+b）(a-b)(a-b)，图乙的面积，图乙的面积=a(a-=a(a-b)+b(a-b)=ab)+b(a-b)=a2 2-ab+ab-b-ab+ab-b2 2=a=a2 2-b-b2 2. .答案答案: :（a+ba+b）(a-b)=a(a-b)=a2 2-b-b2 2 原式原式=(100-1)(100+1)=(100-1)(100+1)1000110001 =(10 000-1)(10 000+1) =(10 000-1)(10 000+1) =100 000 000-1 =100 000 000-1 =99 999 999. =99 999 999.4.
14、计算计算 999910110110001. 10001. 【解析解析】5.5.化简：化简：(x-y)(x+y)(x(x-y)(x+y)(x2 2+y+y2 2)(x)(x4 4+y+y4 4)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616).).原式原式= =（x x2 2-y-y2 2 )( x)( x2 2+y+y2 2)(x)(x4 4+y+y4 4)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616) )= =（x x4 4-y-y4 4)(x)(x4 4+y+y4 4)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616) )= =（
15、x x8 8-y-y8 8)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616) )=(x=(x1616-y-y1616)(x)(x1616+y+y1616) )= x= x3232-y-y3232. .【解析解析】通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：平方差公式平方差公式: :(a+b)(a(a+b)(ab)=ab)=a2 2b b2 2. .即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差数的平方差.平方差公式的逆用：平方差公式的逆用： a a2 2b b2 2 = = (a+b)(a(a+b)(ab)
16、b)我的成功只依赖两条：一条是毫不动摇地我的成功只依赖两条：一条是毫不动摇地坚持到底；一条是用手把脑子里想出的图坚持到底；一条是用手把脑子里想出的图形一丝不差地制造出来形一丝不差地制造出来. . 蒙日蒙日 (1) (x+1)(x1)； (2) (a+2)(a2)； (3) (2x+1)(2x1); (4) (3x+4y)(3x4y). 观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？又发现什么规律？等号的左边：两个数的和与差的积，等号的左边：两个数的和与差的积， 等号的右边：是这两个数的平方差等号的右边：是这两个数的平方差.计算：计算：