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1、专题05 奇偶性周期性单调性对称性的综合应用一 考情分析函数的性质是整个高中数学的核心内容,所有高中数学内容，都可以围绕这一主线考查学生。单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,简单的题目也有出现，但是压轴题目是肯定会对函数的性质进行考查的。二经验分享1周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x),则T2a(a0)(2)若f(xa),则T2a(a0)(3)若f(xa),则T2a(a0)(4)若,则T6a(a0) (5)若f(xa),则T2a(a0)(6)若f(xa),则T4a(a0)2函数对称性
2、与函数周期性的关系（类比三角函数）(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.3. 复合函数设是定义在M上的函数,若与的单调性相反,则在M上是减函数；若与的单调性相同,则在M上是增函数,简称同增异减.4. 对称性的一般结论若,则图像关于直线对称；，函数关于点 对称.三、题型分析(一) 函数单调性的灵活应用例1.【北京卷】已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）A. B. C.D.【答案】C【解析】依题
3、意，有0a1且3a10，解得0a，又当x7a1，当x1时，logax0.若在区间(0，9上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 【解析】 作出函数与的图像如图所示，由图可知，函数与仅有2个实数根；要使关于x的方程有8个不同的实数根，则，与，的图象有2个不同交点，由到直线的距离为1，得，解得，因为两点，连线的斜率，所以，即的取值范围为.【变式训练1】. 设奇函数,且对任意的实数当时,都有(1)若,试比较的大小；(2)若存在实数使得不等式成立,试求实数的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】(1)由已知得,又 ,即 (2)为奇函数,等价于又由（1）知单调递增,不等式等价于即 由于存在
4、实数使得不等式成立, 的取值范围为 四、 迁移应用1已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A B C D【答案】A【解析】解法一 根据题意，作出的大致图象，如图所示当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，故对于方程，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的取值范围是选A2若函数(e=271828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是 【答案】【解析】在上单调递增，故具有性质；在上单调递减，故不具有性质；，令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；，令，则，在上单调递增，
5、故具有性质3如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为、为圆上的点，分别是以，为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得、重合，得到三棱锥。当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_【答案】【解析】如图连接交于，由题意，设等边三角形的边长为（），则，由题意可知三棱锥的高底面，三棱锥的体积为，设，则（），令，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以是取得最大值所以4.设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A（log3）（）（） B（log3）（）（）C（）（）（log3） D（）（）（log3）【答案】 C【解析】 是定义域为的偶函数，所以
6、，因为，所以，又在上单调递减，所以. 故选C5.关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（,）单调递增f(x)在有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A BCD【答案】C【解析】，则函数是偶函数，故正确.当时， ，则为减函数，故错误.当，由得,得或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在上有3个零点，故错误.当时，取得最大值2，故正确，故正确的结论是. 故选C6.（2019全国理5）函数f(x)=在的图像大致为ABCD【答案】D【解析】： 因为，所以，所以为上的奇函数，因此排除A；又，因此排除B，C；故选D7.函数在的图像大致为ABCD【答案B【解析】 因为，所
7、以是上的奇函数，因此排除C，又，因此排除A，D故选B8.已知实数,对于定义在R上的函数,有下述命题：“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；“是的一个周期”的充要条件是“对任意的,都有”； “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”其中正确命题的序号是A B C D【答案】A9.【2020湖北省襄阳市四校期中联考】设函数,则是（ ）A. 奇函数,且在上是增函数 B. 奇函数,且在上是减函数C. 偶函数,且在上是增函数 D. 偶函数,且在上是减函数【答案】D【解析】因为,所以函数是偶函数,又在上是减函数,故选D10.【2017届高三上
8、学期调研】已知函数,若,则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】当时,符合题意,排除B,D.当时,不符合题意11. 定义在R上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足,若存在实数,使得成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时,01,是奇函数,的值域为-1,1,要使存在实数,使得成立,则-1=1,解得或,故选B.12.已知是定义在上的奇函数,当时,若,则实数的取值范围是A B C D【答案】D13. 已知定义在R上的函数是奇函数且满足,数列满足,且,（其中为的前项和）,则( )A B C D【答案】C【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知,= =,所以= = = =,所以的周期为3,由得,当n2时,=,所以=,所以=-3,=-7,=-15,=-31,=-63,所以 =3,故选C.14.已知函数 满足条件,其中,则（ ）A B C D【答案】B【解析】故答案选