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1、2022年2022年专升本高数知识点汇总5第五章定积分及其应用（必刷）第五章 定积分【考试要求】1理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件2掌握定积分的基本性质3理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法4掌握牛顿莱布尼茨公式5掌握定积分的换元积分法与分部积分法6理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法7掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积【考试内容】一、定积分的相关概念1定积分的定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小区间，各个小区间的长度依次为，在每个小区间上任取一点 （），作函数值与小区间长度的乘积 （），并作出和记 ，如果不论对怎样划分，
2、也不论在小区间上点怎样选取，只要当时，和总趋于确定的极限，那么称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即 ，其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说2定积分存在的充分条件（可积的条件）（1）设在区间上连续，则在上可积（2）设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积说明：由以上两个充分条件可知，函数在区间上连续，则在上一定可积；若在上可积，则在区间上不一定连续，故函数在区间上连续是在上可积的充分非必要条件3定积分的几何意义在区间上函数时，定积分在几何上表
3、示由曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积在区间上时，由曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值在区间上既取得正值又取得负值时，函数的图形某些部分在轴的上方，而其他部分在轴的下方，此时定积分表示轴上方图形的面积减去轴下方面积所得之差二、定积分的性质 下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的性质1当时，性质2当时，性质3说明：该性质对于有限个函数都是成立的性质4 （是常数）性质5说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性性质6如果在区间上，则 性质7如果在区间上，则 （）推论（1）： 如果
4、在区间上，则 （）推论（2）： （）性质8（估值不等式）设及分别是函数在区间上的最大值和最小值，则 （）性质9（定积分中值定理）如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一点，使得下式成立： （）说明：该公式称为积分中值公式，称为函数在区间上的平均值三、积分上限函数及其导数1积分上限函数的定义设函数在区间上连续，并且设为上的一点，由于在区间上仍旧连续，因此定积分存在这里，既表示定积分的上限，又表示积分变量因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用表示，则上面的定积分可以写成如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义
5、了一个函数，记作： （），这个函数即为积分上限函数（或称变上限定积分）2积分上限函数的导数定理1：如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上可导，并且它的导数 （）定理2：如果函数在区间上连续，则函数就是在上的一个原函数说明：对于积分上限函数的复合函数，求导法则可按下述公式进行：若积分下限为函数，即，求导法则可按下述公式进行：若积分上限和下限均有函数，即，求导法则可按下述公式进行：四、牛顿莱布尼茨公式定理3：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则这个定理表明，一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一个原函数在区间上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法通常把上述公式称为微积分基本
6、公式五、定积分的换元法和分部积分法1定积分的换元法设函数在区间上连续，函数满足条件：（1），；（2）在（或）上具有连续导数，且其值域，则有说明：应用换元公式时有两点值得注意： 用把原来变量代换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量的积分限； 求出的一个原函数后，不必像计算不定积分那样再要把变换成原来变量的函数，而只要把新变量的上下限分别代入中然后相减就行了例如：计算 （）解：设，则，当时，当时，于是 2定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得，简记作 或 这就是定积分的分部积分公式3定积分的两个简便公式（1）若在上连续且为奇函数，则；若在上连续且为偶函数，则（2）设 ，则当为正偶数时，
7、 ；当为大于的正奇数时， 六、无穷限的广义积分1函数在无穷区间上的反常积分设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即，这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，则函数在无穷区间上的反常积分就没有意义，习惯上称为反常积分发散，这时记号就不再表示数值了2函数在无穷区间上的反常积分设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即，这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分发散3函数在无穷区间上的反常积分设函数在区间上连续，如果反常积分和都收敛，则称上述两反常积分之和为函数在区间上的反常积分，记作，即，这时也
8、称反常积分收敛；否则就称反常积分发散4无穷限广义积分的计算方法设为在上的一个原函数，若存在，则反常积分；说明：当与有一个不存在时，反常积分发散七、求平面图形的面积1型区域型区域是指：平面图形是由上下两条曲线、（）及直线、所围成，面积计算公式为2型区域型区域是指：平面图形是由左右两条曲线、（）及直线、所围成，面积计算公式为【典型例题】【例5-1】计算下列定积分1解：原式2解：3解：4解：原式5解：原式6解： 7 （）解：设，则，当时，；当时，故 8解：设，则，且当时，；当时，故 【例5-2】计算下列定积分1解：2解：3解：4解：令 ，则 ，且当时，；当时，故 【例5-3】计算下列广义积分1解：2
9、解：3解：4解：【例5-4】计算下列积分上限函数的导数1解：2解：3解：4解： 【例5-5】求下列极限1解：应用洛必达法则，2解：（时，）3解：4解：【例5-6】设函数 计算 解：设，则，且当时，；当时，于是 【例5-7】计算定积分解： 【例5-8】求下列平面图形的面积1计算由两条抛物线和所围成的平面图形的面积解：此区域既可看成型区域，又可看作型区域按型区域解法如下：两曲线的交点为和，故面积 2求由抛物线，直线及所围成的平面图形的面积解：按型区域来做，先求出图形边界曲线的交点、及，故面积 3计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积解：此区域既可看成型区域，又可看作型区域，但按型区域解较为简便先求
10、两曲线的交点，由 可解得交点为和，故面积【历年真题】一、选择题1（2010年，1分）设，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）解：，选项（C）正确2（2010年，1分）曲线与直线所围成的图形的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）解：曲线与曲线的交点坐标为和，则所围图形的面积为选项（C）正确3（2010年，1分）定积分等于（ ）（A） （B） （C） （D）解：因被积函数在上为奇函数，故选（B）二、填空题1（2010年，2分） 解：由定积分的几何意义，表示曲线，直线，和轴所围成的图形的面积，即圆面积，故2（2009年，2分）设，则 解：等式两边对求导可得，3（2009年，2分）由曲线，
11、及轴围成的图形的面积是 解：曲线与直线的交点坐标为，故所围图形的面积为4（2007年，4分）积分的值等于 解：5（2006年，2分）积分 解：6（2006年，2分） 解：当时，故原极限为“”型的极限，应用洛必达法则可得，7（2005年，3分） 解：时，为奇函数，在对称积分区间上的定积分为零，故三、计算题1（2010年，5分）求定积分解： 2（2010年，5分）求定积分解：3（2008年，5分）求定积分解：用分部积分法，4（2008年，7分）求广义积分解：5（2007年，5分）求定积分解：用分部积分法， 6（2006年，4分）设函数 ，求在内的表达式解：当时，；当时，；当时，故在内的表达式为 7（2006年，4分）求定积分解：8（2005年，5分）求定积分解：令，则当时，；当时，故原式9（2005年，8分）求由曲线与直线，所围平面图形的面积解：因曲线与直线和的交点分别为和，故所围图形的面积