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1、考点29 单调性与奇偶性知识理解一 单调性（一） 增函数、减函数的定义1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)00f(x)在a，b上是增函数2.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数数学符号：(x1x2)f(x1)f(x2)00)，所以fx=1x2=12xx，令fx0，解得0x12，即函数的单调递增区间为(0,12).(4)函数的定义域为R，因为，所以函数是奇函数；又，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；又
2、函数连续，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.(5)对于函数，解得或，所以，函数的定义域为.内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间为.故选：D.【方法总结】1.增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可2.单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示3.有多个单调区间应分别写，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接【举一反三】1下列函数在区间(，0)上为增函数的是()A. y1 B. y 2 C. yx22x1 D. y1x2【答案】B【解析】
3、y=1 在区间(,0)上不增不减; y=+2在区间(,0)上单调递增; y=x22x1在区间(,0)上有增有减; y=1+x2在区间(,0)上单调递减;所以选B.2(2020北京师范大学珠海分校附属外国语学校)函数的单调区间为_.【答案】减区间为【解析】的定义域是，是增函数，在和上都是减函数，的单调减区间是和故答案为：减区间和3(2021邗江区赤岸中学)函数的单调减区间为_.【答案】【解析】当时，由二次函数图象可知，此时函数在上单调递减当时，由二次函数图象可知，此时函数单调递增综上所述，的单调减区间为本题正确结果：4.(2021黑龙江高考模拟)函数的单调减区间为 【答案】【解析】函数,所以 或
4、，所以函数的定义域为或，当时，函数是单调递减，而，所以函数的单调减区间为。5(2020江苏)函数的单调增区间为_.【答案】【解析】由得，函数的定义域是R，设，则在上是减函数，在上是增函数，在定义域上减函数，函数的单调增区间是故答案为：6(2020四川达州市)函数的单调递增区间是 【解析】由可得，解得：或，所以函数的定义域为，因为是由和复合而成，因为在定义域内单调递增，对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，根据复合函数同增异减可得：在单调递减，在单调递增，所以函数的单调递增区间是，考向二 含参函数的单调性【例2】(1)(2020云南省镇雄县第四中学)若函数在上单减，则k的取值范围为_.
5、(2)(2020陕西西安市西安一中)如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是 (3)(2020江苏课时练习)若f(x)是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为_.(4)(2020全国)函数在上为减函数，则的取值范围是 【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)因为函数在上单减，所以，得，所以k的取值范围为.故答案为：(2)二次函数的对称轴为，抛物线开口向上，函数在，上单调递减，要使在区间，上单调递减，则对称轴，解得(3)若f(x) 是R上的单调减函数，得则 ，解得，故答案为：.(4)由题意得：且为上的减函数若在上为减函数，则，解得：【举一反三】1(2021陕西省黄陵县中学)设函数是R
6、上的增函数，则有( )ABCD【答案】A【解析】函数是R上的增函数,则，即 故选：A2(2021广西钦州市)函数在单调递增，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为函数在单调递增，则，解得.故选：A.3(2021黑龙江鹤岗市鹤岗一中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】令，易知在其定义域上单调递减，要使在上单调递减，则在单调递增，且，即，所以，即.因此，实数的取值范围是.故选：C.4(2020全国)若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为( )ABCD【答案】A【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选
7、：A.考向三 函数的奇偶性【例3】(2020全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性(1)f(x)2x；(2)f(x)2|x|；(3)f(x)； (4)f(x).【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既是奇函数又是偶函数；(4)非奇非偶函数.【解析】(1)函数的定义域为，由，所以函数为奇函数(2)函数的定义域为由所以函数为偶函数(3)由，所以函数的定义域为又，所以函数既是奇函数又是偶函数(4)由，所以函数的定义域为因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.【举一反三】1(多选)(2021浙江衢州市)下列函数中，既是奇函数且在上单调递增的函数有( )ABCD【答案】BD【解析】，的图象
8、关于原点对称，因此ABD都是奇函数，C不是奇函数，实质上也不是偶函数，排除C，又在上有增有减，只有和是增函数故选：BD2(2021沙坪坝区重庆南开中学)(多选)下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是( )ABCD【答案】AC【解析】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称A：记，所以，所以函数是奇函数，又因为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B：记，则，所以函数是偶函数，不符合题意；C：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是增函数，符合题意；D：记，则，所以函数为偶函数.故选：AC考向四 函数的奇偶性的应用【例4】(1)(2020陕西渭滨.高二期末(文)已知是上的奇
9、函数，且当时，则当时， 。(2)(2020全国课时练习)函数yf(x)在区间2a3，a上具有奇偶性，则a_.(3)(2020全国课时练习)若函数f(x)ax2+(2a2a1)x+1为偶函数，则实数a的值为 。【答案】(1)(2)a1或a=12(3)0【解析】(1)由题意，设，则，则，因为函数为上的奇函数，则，得， 即当时，.(2)：函数f(x)ax2+(2a2a1)x+1为偶函数，f(x)f(x)，即f(x)ax2(2a2a1)x+1ax2+(2a2a1)x+1，即(2a2a1)2a2a1，2a2a10，解得a1或a=12，(3)由题意，函数是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，可得，代入可
10、得，解得.【举一反三】1(2020全国课时练习)已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3.则f(x)在R上的表达式为_【答案】【解析】因为是奇函数，且定义域为，故当时，；则当时，.故答案为：.2(2021江苏沭阳.高三期中)已知函数为偶函数，则的值为_.【答案】【解析】因为函数为偶函数,故,故恒成立.故.故,则.故答案为：3已知fx=a1x3+bx2是定义在b，2+b上的偶函数，则a+b等于_【答案】0【解析】根据题意，已知f(x)=(a-1)x3+bx2是定义在b，2+b上的偶函数， 有b+2+b=0，解可得b=-1， 则f(x)=(a-1)x3-x2， 若f(x
11、)为-1，1上的偶函数，则有f(-x)=f(x)， 即(a-1)(-x)3-(-x)2=(a-1)x3-x2， 分析可得：a=1， 则a+b=0； 故答案为：0考向五 函数的单调性与奇偶性的应用【例5】(1)(2021河南高三月考)设奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为( )ABCD(2)(2021云南师大附中高三月考)已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则( )ABCD(3)(2021河北石家庄市石家庄一中)已知，则_.【答案】(1)C(2)D(3)-18【解析】因为是奇函数，因此原不等式变形为，又在上单调递减，所以，解得，所以原不等式的解集为.故选：C.(2)，所以，因为、是定义在
12、上的偶函数和奇函数，由可得，则有，解得.故选：D.(3)由，得，则，则；故答案为：.【举一反三】1(2021陕西咸阳市高三一模)已知函数，且，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】因为，所以函数在上单调递减，由于所以，得 故选：D2(2021兴义市第二高级中学)偶函数在区间上单调递减，则有( )ABCD【答案】A【解析】因为为偶函数，所以，所以，因为在区间上单调递减，且，所以，即.故选：A3(2021江西赣州市高三期末)设定义域为R的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是( )ABCD【答案】C【解析】函数为奇函数，则 若，则等价于，因为，在上为增函数，则在上为增函数， 所以由得
13、；若，则等价于，由题知在上单调递增，所以由得；.综上，的解集为.故选：C.4(2021江苏南通市)设，若，则不等式的解集为_.【答案】【解析】因为，且，所以，解得.，在R上单增.可化为：解得：.不等式的解集为故答案为：强化练习1(2020江苏课时练习)函数与的单调递增区间分别为( )A1，+)，1，+)B(，1，1，+)C(1，+)，(，1D(，+)，1，+)【答案】A【解析】 ，在上单调递增，在上单调递增，故选：A.2(2020江苏课时练习)函数的单调递减区间为( )ABCD【答案】D【解析】由题意，可得或，函数的定义域为，令，则外层函数在上单调递增，内层函数在上单调递减，在上单调递增，所以
14、，函数的单调递减区间为.故选：D.3(2021北京石景山区)下列函数中，在区间上为减函数的是( )ABCD【答案】D【解析】当时，在上单调递减，所以在区间上为增函数；由指数函数单调性知在区间上单调递增；由在区间上为增函数， 为增函数，可知在区间上为增函数；知在区间上为减函数.故选：D4(2020四川成都市成都实外)已知函数，则该函数的单调递减区间是( )ABCD【答案】C【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为，因为在上递增，在递减，在递增，所以在上递减，故选：C.5(2021江西景德镇市景德镇一中)函数的单调递增区间是_.【答案】【解析】由解得，即函数的定义域为，的对称轴为，开口向
15、下，在单调递增，则的单调递增区间是.故答案为：.6(2020四川省绵阳南山中学高三月考(理)函数的单调递减区间是_.【答案】【解析】由当时，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递增.当时，开口向下，对称轴方程为 所以此时在上单调递增，在上单调递减.故答案为：7(2021黑龙江大庆市铁人中学)函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】因为函数在区间上单调递减，所以，即，则实数的取值范围为；故答案为：.8(2021长宁区上海市延安中学)若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】函数在是减函数，在是增函数，若函数在区间是增函数，则.故答案为：9(2021浙
16、江期末)若函数在区间上单调递增，实数的取值范围是_【答案】【解析】设，则其在区间上单调递增；设，其开口向上，对称轴为直线；在区间上单调递减、在区间上单调递增.由复合函数的单调性知当内外层函数的单调性都为单调递增时，复合函数才单调递增.所以要使函数在区间上单调递增，则需，同时还得保证其真数大于，即令：，解得.故答案为：.10(2020江苏单元测试)若(且)在区间(1，)上是增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】因为，(且)在区间(1，)上是增函数，知在区间(1，)上是增函数，且，故是增函数，所以，解得.故a的取值范围是故答案为：11(2021浙江=期末)已知函数在区间上单调递增，则实数的取值
17、范围为_【答案】【解析】因为函数在区间上单调递增，故只需在上单调递减，且.则且，解得且.故.故答案为：12(2021广西河池市)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 【答案】【解析】任取，且，因为函数在上单调递增，所以，即，所以，因为，所以，所以故选：D13(2021四川成都市树德协进中学)若函数在是增函数，则a的取值范围是 【答案】【解析】，令，要使函数在是增函数，则有在上恒成立，即，即在上恒成立，令，所以在上单调递减，故，所以故选：D.14(2021沙坪坝区重庆八中)已知，则、的大小关系为 【答案】【解析】构造函数，则，当时，所以，函数在区间上为减函数，则，即.15(2021沙坪坝区重庆
18、一中)设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，若，则的大小关系是 【答案】【解析】因为，所以，所以函数的周期为2，因为函数是定义在上的偶函数，所以，因为，在上单调递增，所以，所以，16(2021安徽芜湖市)已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为 【答案】-6【解析】是定义在上的奇函数，则，解得，当时，所以.17.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，且，则的值为 【答案】-4【解析】是上的奇函数，即， ，18(2021广西)已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则 【答案】10【解析】因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以，则，故.20(2021江苏南通市海门市第一中学)已知定义在R上的奇函数y=f(x)，当x0时，则关于x的不等式的解集为_.【答案】【解析】和都是增函数，所以在上增函数，而,即在上是增函数，又是奇函数，所以在是递增，也即在上是增函数，因此由得，解得或故答案为：21(2021苏州市苏州高新区第一中学)若是以2为周期的偶函数，且当时，则_【答案】【解析】由，则，因为是以2为周期的偶函数，且，所以.故答案为：22(2021广东广州市第二中学)已知函数为R上的奇函数，则n的值为_.【答案】2【解析】函数为R上的奇函数，即，解得，当时，所以为奇函数，符合题意.故答案为：2.