极点极线--高考数学精品资料.doc

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1、 “极点极线”问题(图1)1圆锥曲线中的几何解释如图1,若点不在圆锥曲线上,过点引的两条割线,依次交于,直线交于,直线交于,则点与直线是曲线的一对极点和极线也称点是直线关于曲线的极点,直线是点关于曲线的极线易知点与直线、点与直线都是一对极点极线,所以又称为自极三点形若直线交于、,则、为的切线,且有,称调和分割、2圆锥曲线中的代数表达对于圆锥曲线,称点与直线是其一对极点和极线 具体的:点关于椭圆的极线为点关于双曲线的极线为点关于抛物线的极线为显然,当一个点固定时,它关于圆锥曲线的极线就是定直线,而当直线固定时,它关于圆锥曲线的极点就是定点在圆锥曲线中,焦点和和对应的准线就是一对极点极线若点在圆锥

2、曲线上,则过点的切线为其极线,所以切线与切点弦方程就是极点与极线的特例圆锥曲线的切线与切点弦问题.对于二次曲线:Ax2Cy2DxEyF0(AC0),点P(x0,y0)及直线l:Ax0xCy0yDEF0. 有以下结论:若点P在曲线上,则直线l是曲线的切线;若点P在曲线外,则直线l是曲线的切点弦所在直线(过P的两条切线的切点所在直线)具体的:(i)圆:x2y2r2(r0) l:x0xy0yr2;(ii)椭圆:1(ab0) l:1;(iii) 双曲线:1(a0,b0) l:1;(iv) 抛物线:y22px(p0) l:y0yp(xx0)(2020年高考全国卷文)已知A、B分别为椭圆E:(a1)的左、

3、右顶点,G为E的上顶点,P为直线上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点 【解答】(1)由椭圆方程可得:, ,所以,所以,所以,所以椭圆方程为:(2)证明:法一:设,则直线的方程为:,即: ,将转化为 将代入得,显然,所以,再由代入解得,所以点的坐标为同理可得点的坐标为当直线的斜率不存在,即时,此时直线的方程为:当直线的斜率存在时,所以直线的方程为:,所以,即即,所以,所以直线过定点法二:设,则直线的方程为:,即,同理,直线的方程为:,设的方程为,又的方程为,所以过、与、四个交点、的二次曲线可设为,整理得,对比椭圆的系数得所以所以直线

4、的方程为,即所以直线过定点变式1若“过定点”作为条件,能否得到“在定直线上”? 2本题将直线改成不与椭圆相交的任意一条给定的不经过原点的直线,直线是否经过定点?(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m0,.(1)设动点P满足,求点P的轨迹;(2)设,求点T的坐标;(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).解析 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识.考查运算求解能力和探究问题的能力.满分16分.(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3

5、,0)、A(-3,0).由,得 化简得.故所求点P的轨迹为直线.(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)直线MTA方程为:,即,直线NTB 方程为:,即.联立方程组,解得:,所以点T的坐标为.(3)点T的坐标为直线MTA方程为:,即,直线NTB 方程为:,即.分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,解得:、.(方法一)当时,直线MN方程为: 令,解得:.此时必过点D(1,0);当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0).所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0).(方法二)若,则由及,得,此时直线MN的方程为,过点D(1,0).若,则,直线MD的斜率,直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点.因此,直线MN必过轴上的点(1,0).2019全国卷文21已知曲线C:y=,D为直线y=上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点:(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.21解:(1)设,则由于,所以切线DA的斜率为,故整理得设,同理可得故直线AB的方程为所以直线AB过定点(2)由(1)得直线AB的方程为由,可得于是.设M为线段AB的中点,则由于,而,与向量平行,所以解得t=0或当=0时,=2,所求圆的方程为;当时,所求圆的方程为

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