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1、考点15 递推公式求通项知识理解一 公式法求通项1. 使用特征：前n项和与项数或项的关系2. 公式为：通项=前n项和-前n-1项和3. 解题思路二 累加法求通项1.使用特征：2.解题思路三 累乘法求通项1.使用特征：2.解题思路四 构造法求通项五 倒数法求通项考向分析考向一 公式法求通项【例1】(1)(2020广西民族高中)数列的前n项和，则它的通项公式是_.(2)(2020广东深圳市明德学校高三月考)设是数列的前n项和，且，则的通项公式为_(3)(2020榆林市第十中学高三月考)已知数列满足，则_，_【答案】(1)(2)(3)3 【解析】(1)时，；且时，易见，也适合该式.故.故答案为：.(
2、2)当时，当时，故答案为：.(3)当时，当时，由题意可得：，两式作差可得：，故，因为，不满足，所以.故答案为：3；.【方法总结】数列的前n项和，当已知求时，按照两者关系，由计算，当也适合通项公式时，合并作答，否则写出分段形式.【举一反三】1(2020西藏昌都市第一高级中学)已知数列的前项和，则_.【答案】【解析】由于数列的前项和.当时，；当时，.满足.因此，对任意的，.故答案为：.2(2020全国高三专题练习)数列的前项和为，则_.【答案】【解析】当时，; 而不适合上式，.故答案为：.3(2020河北保定市高碑店一中)已知数列的前项和为，则_.【答案】【解析】因为，故，故即.又，故当时，故.故
3、答案为：.4(2020全国高三专题练习)若数列的前项和，则的通项公式是_【答案】【解析】当时，当时，是首项为，公比为的等比数列，故答案为：5(2020安徽省舒城中学)若数列是正项数列，且，则_【答案】【解析】数列是正项数列，且所以，即 时两式相减得，所以( )当时，适合上式，所以考向二 累加法求通项【例2】(2020成都市四川电子科大实验中学)设数列满足，则数列的通项公式为 【答案】【解析】，所以当时，将上式累加得：，即，又时，也适合，【举一反三】1(2020全国高三专题练习)已知数列满足：，则 【答案】【解析】数列满足：，当n2时，ana1+a2a1+a3a2+anan1 =，2(2020全
4、国高三专题练习)已知在数列的前项之和为，若，则_【答案】【解析】 .3(2020通榆县第一中学校高三期中)已知数列满足，则 。【答案】【解析】由，可得，所以，考向三 累乘法求通项【例3】(2020江西九江市)设数列an中，a12，an1an，则an_.【答案】【解析】an1an，a12，an0，.当n2时，an，a12也符合上式，则an.故答案为：.【举一反三】1(2020苏州市相城区陆慕高级中学)已知在数列中，则= 【答案】【解析】，即，2(2020安徽省泗县第一中学)已知，则数列的通项公式是 【答案】【解析】由得：，即，则，.，由累乘法可得，又因为，所以.考向四 构造法求通项【例4】(20
5、20全国高三专题练习)若，则_.【答案】【解析】原式可化为()，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即.故答案为：.【举一反三】1(2020静宁县第一中学高三月考)已知数列中，(且)，则数列通项公式为 【答案】【解析】由，知：且()，而，是首项、公比都为3的等比数列，即，2(2021怀仁市第一中学校)已知数列满足，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列，所以.所以数列的通项公式为.故答案为：3(2020广东清远市高三月考)若数列满足，则数列的通项公式_.【答案】【解析】由，可得，设则，则所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
6、则，则，所以 故答案为：考向五 倒数法求通项【例5】(2020四川省阆中东风中学校高三月考)已知数列满足：，则 【答案】【解析】因为，所以两边取倒数得，则，所以数列为等比数列，则，【举一反三】1(2020湖南娄底市)在数列中，已知，则等于 【答案】【解析】 ， 所以是以 为首项，公差为的等差数列， ，2(2020四川成都市)若数列满足(，)，且，则 【答案】【解析】当且，在等式两边取倒数得，且，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，因此，.强化练习1(2020宁夏长庆高级中学高三月考)已知数列的前项和为，若，()，则_.【答案】【解析】当时，；当时，数列从第二项开始为等比数列，；经检验：不满
7、足.综上所述：.故答案为：.2(2020江苏宿迁市)已知数列的前项和，则的通项公式为 【答案】【解析】，当时，当时，上式也成立，3(2020江苏高三)已知，则数列的通项公式是 【答案】【解析】由得：，即，则，.，由累乘法可得，又因为，所以.4(2020全国)已知数列满足，则数列的通项公式_【答案】【解析】易知，由，得，当时，有，将以上个等式相加得，又，经验证，当时符合上式，5(2020岑溪市第一中学)若数列满足，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】，当时，；当时，故当时，所以故答案为：6(2020全国高三专题练习)在数列中，则 .【答案】【解析】因为,.7(2020四川遂宁市射洪中学)若数列
8、满足：，则_.【答案】【解析】由，累加可得，得，当时，也符合，故.故答案为：8(2020吉林长春市长春外国语学校)设数列中，则通项 _【答案】【解析】 ，将以上各式相加得： 故应填；9(2020吉林市第二中学)在数列中，则数列的通项公式为_【答案】【解析】由题意，数列中，可得，即数列的通项公式为.故答案为：.10(2020全国高三专题练习)设数列an满足a12a23a3nan2n，则an_【答案】【解析】由题得a12a23a3nan2n，(1)a12a23a3(n-1)an-12n-1,n2，(2)两式相除得nan2，所以.由题得,满足.故.故答案为11(2020兴仁市凤凰中学)设数列中，则通
9、项_【答案】【解析】因为，所以.即，所以数列是以首项为，公差为的等差数列.故，所以.故答案为：12(2020全国高三专题练习)已知数列满足，则_【答案】【解析】因为，所以=13(2020全国高三专题练习)为数列的前项和，若，则_.【答案】【解析】当时，因为，所以，当时，即，因为，所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以；故答案为：.14(2020全国)若数列的前项和，则的通项公式是_【答案】【解析】当时，当时，是首项为，公比为的等比数列，故答案为：15(2020宁夏长庆高级中学高三月考)已知数列的前项和为，若，()，则_.【答案】【解析】当时，；当时，数列从第二项开始为等比数列，；经
10、检验：不满足.综上所述：.故答案为：.16(2020湖南高三期中)设数列的前项和为，且，则_.【答案】【解析】，当时，解得；当时，即，故，验证时成立，故.故答案为：.17(2020罗山县楠杆高级中学高三月考)已知数列的首项，则的通项公式_【答案】【解析】，所以，.故答案为：.18(2020全国)若数列满足，且，则_【答案】5050【解析】因为，所以，所以故答案为：505019.(2020广州市天河外国语学校)若数列满足则数列的通项公式【答案】【解析】，故答案为：20(2020江苏省海头高级中学)已知数列的首项，则_；_.【答案】 【解析】(1)，；(2)，数列是公差为1的等差数列，首项， .故答案为：；21(2020海原县第一中学)(1)已知数列满足，求；(2)已知数列满足，求；【答案】(1)(2)【解析】(1)当时，由得，即，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.(2)因为，所以，且，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.