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1、专题02 值域倍增或倍减一、考情分析值域倍增或倍减是高考函数与导数一个新的考查导数的方向。在2019年全国卷2的选择题12题已经出现了，是以压轴题的形式出现的。考查学生对分段函数以及函数的周期性，结合图像去处理。数形结合思想是我们去处理这只能怪题型的一个必备手段。处理步骤分为：审题，找出分段函数的部分图像，找到伪周期，值域倍增或倍减得范围；结合函数，画出图像；整理，分析，得出结论。二、经验分享1.函数的周期对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最
2、小的正数叫做最小正周期。【常用结论】 A、 ，函数的周期.B、，函数的周期.C、或，函数的周期.2.函数的值域（1）.函数的值域周期性倍增若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；（2）.函数的值域周期性倍减若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；（3）.函数的周期性若函数满足或，那么此函数的图像会以，用周期函数的性质求解即可。三、题型分析(一) 函数值域倍减例1.【2019全国，理，12】设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）AB C D【答案】B【解析】因为，所以，当时，当时，
3、当时，当时，由解得或，若对任意，都有，则故选B【变式训练1】已知f(x)则下列函数的图象错误的是()【答案】D【解题秘籍】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.【变式训练2】已知函数是奇函数，则 .【答案】-15【解析】【变式训练3】【2020河北五邑四模】已知函数，则_【答案】【解析】当时， ，即，即此时函数是周期为4的周期函数，则(二) 函数值域倍增例2.【皖南八校高三摸底（2020.08）】设函数的定义域为，且满足，当时，若时，的最大值为1，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【方法技巧梳理】倍域问题定义在上的满足，即自变量增加
4、一，函数值变为2倍.根据时解析式画出函数草图.由于时，函数，令，则.由于时，1，故必满足.首先时，1其次时，无最大值.而当时，最大值为2.综上知：.【变式训练1】若函数是R是的单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使为R上的减函数，则，解得【变式训练2】 【2019年第一次全国大联考（山东卷）】已知函数是奇函数，则方程的根为（） A B C. ， D，【答案】B 【解析】因为函数为上的奇函数，所以，即，解得.所以.方程，即.当时，有，整理得，解得.综上，方程的根为，故选B.四、迁移应用1.【2020湖南衡阳三次联考】设函数是定义在上的奇函数，且，则（
5、 ）A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】由分段函数的解析式可知： .2【2020湖北省襄阳市调研】已知函数，若a、b、c互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，则 的取值范围是（ ）A. (1，2 017) B. (1，2 018) C. 2，2 018 D. (2，2 018)【答案】D 3.【2020河北衡水中学一调】已知存在，使得，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】作出函数的图象，如图所示，因为存在当时，所以，因为在上的最小值为在上的最小值为，所以，所以，因为，所以，令（），所以为开口向上，对称轴为上抛物线，所以在区间上递增，所以当时，当时，
6、即的取值范围是，故选A4.设是定义在R上的奇函数,且当,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是 【分析】本题已明确指出是个奇函数,故易求出它的整个解析式（一个分段函数）,此时画出它的图象,就能发现它是一个单调递增函数,难点在于题中所给不等式中,的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征,发现满足：,最后结合单调性,转化一个恒成立问题,利用分离参数的方法求出t的范围.【解析】是定义在R上的奇函数,且当时,当x0,有-x0,即,在R上是单调递增函数,且满足,不等式在t,t+2恒成立,x+tx在t,t+2恒成立,解得在t,t+2恒成立, 解得：,则实数t的取值范围是：）【点评】
7、本题主要考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数的图象易发现它的单调性,这也再次说明数形结合的重要性,本题最后转化成一个恒成立问题,运用分离参数的方法求解的,这正说明函数性质的应用是十分广泛的,它能与很多知识结合,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.5.已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为(1)求实数的值；(2)若对任意成立,求实数的取值范围.【分析】（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为,可知,可建立关于的方程：,从而解得；（2）要使对任意恒成立,只需即可,而由（1）可知,问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数的
8、单调性,从而求得其最值：,令,解得,当时,在上是增函数；当时,在上是减函数,因此在处取得最大值,即为所求.【解析】(1), 又的图象在点处的切线的斜率为,即,； (2)由（1）知,对任意成立对任意成立, 令,则问题转化为求的最大值,令,解得, 当时,在上是增函数；当时,在上是减函数 故在处取得最大值,即为所求. 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成
9、新函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式,（为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；(2)求在上的最大（或最小）值；(3)解不等式 (或) ,得的取值范围.6.已知函数满足：则（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】A.【解析】：由题意，7已知函数，.（）证明：当时，；（）若时不等式成立，求a的取值范围.【解析】（）令 ， ， ，即， 当时，.（）令，则，当时，所以函数在上单调递减，所以，所以满足题意.当时，令，得，所以当时， ，当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（）当，即时，在上单调递增，所以，所以，此时无解.（）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.所以 .设 ，则，所以在上单调递增, ，不满足题意.（）当，即时，在上单调递减，所以，所以 满足题意.综上所述：的取值范围为.8.（单调性与极值）设函数讨论函数的单调性；若有两个极值点，记过点的直线斜率为,问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】：的定义域为令当故上单调递增当的两根都小于0，在上，故上单调递增当的两根为，当时， ；当时，；当时，故分别在上单调递增，在上单调递减由知，若有两个极值点，则只能是情况，故因为，所以，又由知，于是若存在，使得则即亦即，再由知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得