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1、考点08 正、余弦定理知识理解一正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C使用条件1.两角一边求角2.两边对应角1.三边求角2.两边一角求边二.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(
2、2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)考向分析考向一 正余弦的选择【例1】(1)(2020陕西省商丹高新学校)已知在中，则_(2)(2020全国高三专题练习)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60，b=，c=3，则A=_.【答案】(1)(2)【解析】(1)由于，所以由正弦定理可得：，即：，解得：，由于在中，根据大边对大角可知：，则,由，解得：，故答案为(2)由正弦定理，得，结合可得，则.【举一反三】1(2020吉林高三其他模拟)在中，角，所对的边分别为，已知，则_【答案】5【解析】因为，所以由正弦定理，可得，解得故答案
3、为：52(2020海南华侨中学高三月考)在中，已知，则角的度数为_【答案】30【解析】由正弦定理，得，又因为，故故答案为：303(2020肥东县综合高中高三月考(文)在中，角，所对的边分别为，若，则_【答案】【解析】由正弦定理知，所以，解得，则或，又因为，所以为锐角，即，所以，故答案为: .4(2020上海市罗店中学)在中，已知，则=_【答案】或.【解析】在中，因为，由正弦定理得，即所以，所以或当时，得到，所以，故；当时，得到，所以.故答案为：或.5(2020湖北高三月考)在中，则_.【答案】【解析】因为，所以，所以，解得.故答案为：考向二 边角互换【例2】(1)(2020上海高三其他模拟)在
4、锐角中，角所对应的边分别为，若，则角等于_.(2)(2020上海格致中学高三月考)在三角形中，角的对边分别为，若，则角_【答案】(1)(2)【解析】(1)利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以(2)由得：，即，是三角形的内角，故答案为：.【举一反三】1(2020全国高三专题练习)在锐角中，角所对的边分别为，若，则角_【答案】【解析】， 根据正弦定理边角互化得：，又， ， ，为锐角三角形， 故答案为：2(2020全国高三专题练习)在中，角所对应的边分别为已知，则_ 【答案】【解析】将，利用正弦定理可得：，即，利用正弦定理可得：，则 故答案为3(2020广东中山纪念中学高三月考)的内角
5、的对边分别为若，则B=_.【答案】【解析】已知， 由正弦定理可得，由，化简可得，故故答案为：4(2020西安市第六十六中学高三期末(文)在中，内角，所对的边分别为，且，则角_.【答案】【解析】由正弦定理及可得：,在中，,即，又B为三角形内角，=故答案为:.5(2020拉孜县中学高三月考)在中，角的对边分别为，且.则_【答案】【解析】由正弦定理可知， 化简得，又由，得出，故答案为：.考向三 三角形的面积公式【例3】(1)(2020天津耀华中学高三期中)在中.则的面积等于_(2)(2020北京铁路二中高三期中)若的面积为，则_【答案】(1)(2)【解析】(1)由余弦定理得，即，解得(舍去)，所以故
6、答案为：(2)因为，所以，又因为，所以，解得，因为，所以，故答案为：【举一反三】1(2020陕西高三三模)已知，分别为内角，的对边，则的面积为_.【答案】【解析】由于，由余弦定理得，解得，的面积.故答案为：.2(2020江西省信丰中学高三月考(文)在中，若的面积等于，则边长为_【答案】【解析】因为，故，所以.又，所以，故，从而，填3(2020黑龙江鹤岗一中高三月考(文)的内角，的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】【解析】由已知条件及正弦定理可得，易知，所以，又，所以，所以，所以，即，所以的面积故答案为：.4(2020河南焦作高三一模)在中，角，的对边分别为，已知的面积为，则的值为_.【答案
7、】4【解析】因为，所以，因为已知的面积为，所以，整理得，由余弦定理得，所以.故答案为：考向四 正余弦综合运用【例4】(2020江苏宿迁中学高三期中)在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，_？【答案】选择见解析；三角形存在，或4.【解析】方案一：选条件.在中，由余弦定理得，故.由和可得，从而.由此可得，解得或4.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时或4.方案二：选条件.在中，由余弦定理得，故.由可得，解得或4.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时或4.
8、方案三：选条件.在中，由余弦定理得，故.由正弦定理和，得，从而，由此可得，解得或4.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时或4.【举一反三】1(2020江苏高三期中)在，sinB+cosB=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，A=，b=.(1)求角B；(2)求ABC的面积.【答案】条件选择见解析；(1)；(2).【解析】(1)若选，则由余弦定理得，因为，所以若选，由正弦定理得，又，所以，所以又，若选，由得，所以，又，所以，所以，(2)由正弦定理得，又，所以，所以所以2(2020江苏高三期中)在a6；a8；a12这三个条件
9、中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且a2b2c2=4，c=，_？【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】由题意可知在ABC中，因为a2b2c2=4，且，所以，由余弦定理可知，因为，且，所以，若选a6，由正弦定理可得，解得，在ABC中，因为ca，所以CA，又因为，则A只有一解，且，所以，所以；若选a8，由正弦定理可得，解得，在ABC中，因为ca，所以CA，又因为，则A有两解，所以，所以；若选a12，由正弦定理可得，解得，则ABC无解，即三角形不存在.强化练习1
10、(2019江西省信丰中学高三月考)在中，三个内角所对的边分别是若，则_【答案】【解析】三个内角所对的边分别是，若根据正弦定理得，即故答案为2(2020海南华侨中学高三月考)中，已知，则为_【答案】【解析】在中，由正弦定理得，所以，又，因此，所以答案：3(2020山东高三月考)在中，则_.【答案】【解析】由题意得，即，则，得.4(2020肇东市第四中学校高三期中)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b2，A，则ABC的面积为_【答案】【解析】由正弦定理得sin B，ba，BA，cos B，sin Csin(AB)，ABC的面积为absin C.故答案为：5(2020云南高三
11、期末(理)在中，角、所对的边分别是、.若，则_.【答案】【解析】因为在中，所以，因此，又，所以由正弦定理可得，则.故答案为：.6(2020宁夏银川一中高三月考(文)在中，角、所对的边分别为、.若，时，则的面积为_.【答案】【解析】，且，解得，又，所以，故故答案为：7(2020四川石室中学高三其他模拟)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为_.【答案】【解析】由题可知，在中，由正弦定理可得，.故答案：.8(2020山东高三期中)若的面积，则_.【答案】【解析】依题意，即，即，所以，由于，所以.故答案为：9(2020全国高三专题练习)在中，角，的对边分别为，若，且，则的面积为_.【
12、答案】2【解析】由余弦定理得，即，解得，故.故答案为：210(2020上海高三二模)在中，内角的对边分别为，若，则_【答案】.【解析】，而,故答案为：11(2019广西高三月考)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的值为_.【答案】【解析】由根据余弦定理，可得.故答案为.12(2020广东广州高三月考)在条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在中，角，的对边分别为，_，求的面积.【答案】选，；选，；选，【解析】选择，即，化简得：，又，即，由余弦定理得:，解得:，的面积为；选择，由正弦定理可得，又，由，即，即，由余弦定理得，解得：，的面积为；选择由及，得：，即，由正弦定理
13、得：，即，由，得：，的面积为.13(2020昆明呈贡新区中学(云南大学附属中学呈贡校区)高三月考(理)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求b的值；(2)若满足，c3，求的面积.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)由余弦定理可得，又，所以可得.由于，所以.(2)已知，由正弦定理可得，由正弦二倍角公式可得，所以或者，当时，；当时，.综上：的面积为或.14(2020广西北海高三一)已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，.又，.(2)据(1)求解知，.又，.又，当且仅当时等号成立，
14、此时.15(2020安徽高三月考)如图，平面四边形ABCD是由钝角ABC与锐角ACD拼接而成，且，BAD=.(1)求CAD的大小；(2)若AC=4，CD=，求ACD的面积.【答案】(1)；(2)6.【解析】(1)在ABC中，ACcosBAC=BCsinABC，由正弦定理得，sinABCcosBAC=sinBACsinABC，sinABC0，tanBAC=1，又BAC(0，)，BAC=BAD=，CAD=(2)在ACD中，AC=4，CD=，CAD=由余弦定理得，CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD，即10=16+AD2-24AD，解得AD=或AD=3当AD=时，cosADC=，此时ACD
15、为钝角三角形，不满足题意，舍去.当AD=3时，ACD的面积S=ACADsinCAD=616(2020江苏常州高三期中)在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，且，_.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案不唯一，见解析.【解析】若选，bc4，由于csinA2sinC，利用正弦定理可得ac2c，可得a2，因为bcosC1，可得cosC，整理可得2aa2+b2c2，解得bc2，所以C若选，acosB1，因为csinA2sinC，由正弦定理可得ca2c，解得a2，所以co
16、sB，由B(0，)，可得B，又bcosC1，可得acosBbcosC，由余弦定理可得ab，整理可得bc，所以CB若选，sinA2sinB，由正弦定理可得a2b，又csinA2sinC，由正弦定理可得ca2c，可得a2，所以b1，又因为bcosC1，可得cosC1，又C(0，)，所以这样的C不存在，即问题中的三角形不存在17(2020河北张家口高三月考)在中，内角、所对的边分别为、，且(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值【答案】(1)；(2).【解析】(1)由正弦定理得(*)由余弦定理：，且(2)当时，由(*)得：，当且仅当时取等号所以18(2020福建莆田一中高三期中)在中，为线段边上一
17、点，(1)若，求；(2)若，求【答案】(1)；(2).【解析】(1)考察，记，由余弦定理得：，即化简得：，或6，由，为钝角，(2)记，则，由可得，考察，由正弦定理可得：即，化简得：，即19(2020河南高三一模(理)在中，内角，所对的边分别为，且，.(1)求；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，由正、余弦定理得，.(2)由余弦定理得，故.20(2020西藏昌都市第一高级中学高三期中(理)已知内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若的面积为，且，求的周长.【答案】(1) ；(2).【解析】(1)在中，由余弦定理可得：，即，即，所以，因为，所以 ，(2)，解得，由余弦定理
18、得：，即，所以，所以的周长为.21(2020江苏南通高三期中)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos Aac.(1)求cos B；(2)如图，D为外一点，若在平面四边形ABCD中，D2B，且AD1，CD3，BC，求AB的长【答案】(1)；(2).【解析】(1)在中，由正弦定理得sin Bcos Asin Asin C，又C(AB)，所以sin Bcos Asin Asin (AB)，故sinBcos Asin Asin Acos Bcos Asin B，所以sin Acos Bsin A，又A(0，)，所以sin A0，故cos B.(2)因为D2B，所以cos D2cos2B1
19、，又在中，AD1，CD3，所以由余弦定理可得AC2AD2CD22ADCDcos D 192312，所以AC，在中，BC，AC，cos B，所以由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos B，即12AB262AB，化简得AB2AB60，解得AB.故AB的长为.22(2020全国高三专题练习)在；的面积为；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题，是否存在，其内角，的对边分别为，且，_？若三角形存在，求的周长；若三角形不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】选：因为，所以由正弦定理得，即，即，整理得.因为，所以.又，所以.
20、又因为，所以，即.由得:，所以.由正弦定理，得，解得，所以的周长为.选：因为，所以由余弦定理得，即，所以，因为，所以，下同选.选：因为，所以由正弦定理得，即，又因为，所以，因为，所以问题中的三角形不存在.23(2020北京高三期中)如图，在中，是上的点，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)角的大小；(2)的面积条件：；条件：【答案】(1)，具体选择见解析；(2).【解析】选择条件：解：(1)在中，由余弦定理，得. 因为，所以. (2)由(1)知，因为，所以. 所以为直角三角形.所以，. 又因为，所以. 所以. 选择条件：解：(1)在中,，.由正弦定理 ，得. 由题可知 ，所以
21、. (2)由(1)知，因为，所以. 所以为直角三角形，得. 又因为，所以. 所以.24(2020海伦市第一中学高三期中)在中，内角，的对边分别是，已知，(1)求的值；(2)若，求的面积【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题意，得，(2)，由正弦定理，可得，25(2020河南高三期中)如图，在四边形中，(1)求的值；(2)若，求的长【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，所以可设，又，所以由余弦定理，得，解得,所以，(2)因为，所以，所以，因为，所以26(2020重庆南开中学高三月考)设函数，.(1)求函数的对称轴方程；(2)在锐角三角形中，分别是角的对边，且，求的周长.【答案】(1)；(2)周长为.【解析】(1)因为，令，解得，所以函数的对称轴方程为：(2)因为锐角三角形，所以，所以，又因为，所以因为，所以又因为，所以所以的周长为.