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1、精选优质文档-倾情为你奉上2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设，求的零点个数( )01 23yC(0, f(a) A(a, f(a) y=f(x)O B(a,0) xD(2) 如图，曲线段方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分等于( )曲边梯形面积. 梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积. (3) 在下列微分方程中，以(为任意常数)为通解的是( ).(4) 判断函数间断点的情况( )有1个可去间断点，1个跳跃间断点有1个跳跃间断点，1个无穷间断点
2、有两个无穷间断点有两个跳跃间断点(5) 设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是( )若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.O xvx2+y2=u2x2+y2=1Duvy(6) 设函数连续. 若，其中区域为图中阴影部分，则( ) (7) 设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则( )不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. (8) 设，则在实数域上与合同的矩阵为( ). . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 连续，则(10) 微分方程的通解是 (11) 曲线在点处的切线方程为.(12) 求函数的
3、拐点_.(13) 已知，则.(14) 矩阵的特征值是，其中未知，且，则=_.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求极限.(16) (本题满分10分)设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解. 求.(17)(本题满分9分)计算 (18)(本题满分11分)计算其中(19)(本题满分11分)设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且. 对于任意的，直线，曲线以及轴所围成曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.(20)(本题满分11分)(I) 证明积分
4、中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；(II) 若函数具有二阶导数，且满足，则至少存在一点，.(21)(本题满分11分)求函数在约束条件和下的最大和最小值.(22)(本题满分12分)设元线性方程组，其中，(I) 证明行列式(II) 当为何值时，该方程组有唯一解，并求(III) 当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(23)(本题满分10分) 设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，(I) 证明线性无关；(II) 令，求2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)【答案】【详解】因为，由罗尔定理知至少有，使，所以至少有两个零点. 由于是三次多
5、项式，三次方程的实根不是三个就是一个，故D正确.(2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积(3)【答案】 【详解】由微分方程的通解中含有、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即. 故以已知函数为通解的微分方程是(4) 【答案】【详解】时无定义，故是函数的间断点因为 同理 又 所以 是可去间断点，是跳跃间断点.(5)【答案】【详解】因为在内单调有界，且单调. 所以单调且有界. 故一定存在极限.(6)【答案】【详解】用极坐标得 所以 (7) 【答案】【详解】，故均可逆(8) 【答案】【详解】记，则，又所以和有相同的特征多项式，所以
6、和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似由于实对称矩阵相似必合同，故正确.二、填空题(9)【答案】2【详解】所以 (10)【答案】【详解】微分方程可变形为所以 (11)【答案】【详解】设，则，将代入得，所以切线方程为，即(12)【答案】【详解】时，；时，不存在在左右近旁异号，在左右近旁，且故曲线的拐点为(13)【答案】【详解】设，则所以 所以 (14)【答案】-1【详解】 三、解答题(15)【详解】方法一：方法二： (16)【详解】方法一：由得，积分并由条件得，即 所以 方法二：由得，积分并由条件得，即 所以 所以 (17)【详解】方法一：由于，故是反常积分. 令，有， 方法二： 令
7、，有，故，原式O 0.5 2 xD1D3 D2(18)【详解】 曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对区域分割，最后为O 0.5 2 xD1D3 D2(19)【详解】旋转体的体积，侧面积，由题设条件知 上式两端对求导得 ， 即 由分离变量法解得 ， 即 将代入知，故，于是所求函数为 (20)【详解】(I) 设与是连续函数在上的最大值与最小值，即 由定积分性质，有 ，即 由连续函数介值定理，至少存在一点，使得 即 (II) 由(I)的结论可知至少存在一点，使 又由 ，知 对在上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得 在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有 (21)【详解】方法一：作拉格朗日函
8、数 令 解方程组得 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求在条件下的最值 设 令 解得，代入，得 故所求的最大值为72，最小值为6.(22)【详解】(I)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明当时，结论成立当时，结论成立假设结论对小于的情况成立将按第1行展开得 故 证法三：记，将其按第一列展开得 ，所以 即 (II)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为所以 (III)方程组有无穷多解，由，有，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数 (23)【详解】(I)证法一：假设线性相关因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)，又，整理得：则线性相关，矛盾. 所以，线性无关.证法二：设存在数，使得 (1)用左乘(1)的两边并由得 (2)(1)(2)得 (3)因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关.(II) 记，则可逆，所以 .专心-专注-专业