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1、 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-6 第六章 曲线和曲面(二) 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-62主要内容：主要内容：曲线、曲面参数表示的基础知识曲线、曲面参数表示的基础知识
2、常用的参数曲线常用的参数曲线常用的参数曲面常用的参数曲面 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-63曲线绘制问题曲线绘制问题 给定给定n+1n+1个数据点，个数据点， ，生成一个曲线，使该曲线与，生成一个曲线，使该曲线与这些点所描述的形状相符。这些点所描述的形状相符。 如果要求曲线通过所有的数据点如果要求曲线通过所有的数据点插值问题插值问题用于重建数字化表示的用于重建数字化表示的曲线；曲线；
3、 如果要求曲线逼近这些数据点如果要求曲线逼近这些数据点逼近问题逼近问题主要用于设计美观的或符主要用于设计美观的或符合某种美学标准的曲线；合某种美学标准的曲线； 解决上述问题的方法：找到一种用小的部分即解决上述问题的方法：找到一种用小的部分即曲线段曲线段来构建曲线的方法，来构建曲线的方法，以满足设计标准；以满足设计标准；-曲线和曲线段可以用曲线和曲线段可以用折线折线代替，即用非常短的线段绘制；代替，即用非常短的线段绘制； 用曲线段拟合曲线用曲线段拟合曲线 时，把曲线表示为许多小线段时，把曲线表示为许多小线段 之和，其中之和，其中 称为基（调和）函数；称为基（调和）函数； ),(,),(000nn
4、nyxPyxP)(xf)(xBi)(xBiNiiixBaxf0)()( 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-64曲线绘制问题曲线绘制问题 基函数要用于计算和显示，因此经常选择多项式作为基函数。基函数要用于计算和显示，因此经常选择多项式作为基函数。 次多项式有下列形式，此多项式由它的次多项式有下列形式，此多项式由它的n+1n+1个系数决定：个系数决定： 连续分段连续分段n n次多项式次多项式
5、 是是k k个多项式个多项式 的集合，每个多项式是的集合，每个多项式是n n阶，阶，且有且有k+1k+1个节点个节点 ，即：，即： 上式要求多项式在节点处连续，即上式要求多项式在节点处连续，即 但多项式在节点处不一定光滑，即在节点处可以有尖角或拐点；但多项式在节点处不一定光滑，即在节点处可以有尖角或拐点； 多项式的阶数多项式的阶数：-高阶多项式有摇摆特性高阶多项式有摇摆特性曲线绘制时不是很有用；曲线绘制时不是很有用；-最有用的分段多项式为最有用的分段多项式为3 3阶多项式：原因：阶多项式：原因： 达到光滑和令人满意的曲线的最小阶数是达到光滑和令人满意的曲线的最小阶数是3 3； 表示三维曲线所需
6、的最小数字是表示三维曲线所需的最小数字是3 3；n0111)(axaxaxaxQnnnn)(xQ)(xqiktt,01,0)()(1kiandtxtifxqxQiii1, 1),()(1kitqtqiiii 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-65常用的参数曲线常用的参数曲线Bezier曲线曲线B样条曲线样条曲线非均匀有理非均匀有理B样条（样条（NURBS）曲线）曲线常用参数曲线的等价表示
7、常用参数曲线的等价表示 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-66常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 19621962年，法国雷诺汽车公司的年，法国雷诺汽车公司的PE.BezierPE.Bezier 19721972年，年，UNISURFUNISURF系统系统定义：定义：-一种以一种以逼近逼近为基础的参数曲线；为基础的参数曲线；-由一组折线集，或由一组折线集，或BezierB
8、ezier特征多边形定义；特征多边形定义；-曲线的起点、终点与多边形起点、终点曲线的起点、终点与多边形起点、终点重合重合；-多边形的多边形的第一个边第一个边与与最后一个边最后一个边表示了曲线表示了曲线在起点和终点的在起点和终点的切矢量切矢量方向；方向；-形状形状趋于趋于特征多边形特征多边形的形状；的形状；-给定空间给定空间n+1n+1个点的位置矢量：个点的位置矢量：PiPi，则，则BezierBezier曲线各点坐标的插值公式：曲线各点坐标的插值公式：10),()(0,ttBPtCninii 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创
9、新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-67常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BernsteinBernstein基函数（曲线上各点位置矢量的调和函数）形式：基函数（曲线上各点位置矢量的调和函数）形式：nittCttinintBiniininini, 1 , 011!)(, BernsteinBernstein调和函数的性质：调和函数的性质：-1 1）正性：）正性： 当满足当满足 时：时： 当满足当满足 时：时：1, 2 , 1) 1 , 0(, 01, 2 , 11 , 0,
10、 0)(,nitnittBni) 1 , 0(1)(),(00)0() 1 (; 1) 1 ()0(,0,0,0ttBtBBBBBnnnnnnnnn1, 2 , 1ni0ini和 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-68常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 BernsteinBernstein调和函数的性质：调和函数的性质：-2 2）权性：）权性：-3 3）对称性：）对称性：
11、-4 4）递推性：）递推性：高次高次BernsteinBernstein调和函数可由两个低一次调和函数可由两个低一次BernsteinBernstein调和函数线性组合而成；调和函数线性组合而成；nininiininnitttttCtB00,) 1 , 0(, 1)1()1 ()()()1 ()1 ()1 (1 )1 (,)(,tBttCCCttCtBniiniinininnininninnnin)()()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()()1 ()(, 1 , 0)()()1 ()(1, 11,1)1()1(11)1(1111,1, 11,ttBtBttttCttCtttCCttCt
12、BnittBtBttBniniiinininiininiinininiinnininini 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-69常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 BernsteinBernstein调和函数的性质：调和函数的性质：-5 5）导函数：）导函数：nitBtBnttnCttnCttininttinintinttitininttininttCtBniniiin
13、iniinininiiniiniiniiniiniinni, 1 , 0),()()1 ()1 ()1 ()!1( !)1 ()!()!1(!)1)()1 ()!( !)1 ()!( !)1 ()(1,1, 1111111111,三次Bernstein调和函数曲线 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-610常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线-6）降阶公式）降阶公式:-7 7
14、）升阶公式）升阶公式: :-8）积分）积分:-9）最大值）最大值:在在t=i/nt=i/n处取得最处取得最大值大值-10）线性无关性）线性无关性 是是n n次多项式空间次多项式空间的一组基函数，的一组基函数，)(11)(1)(1,1, 1,tBnintBinitBninini11)(10,ntBnininitB0,)()()()1 ()(1, 11,ttBtBttBninini 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任
15、的合作环境。2022-6-611常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 Bezier曲线的性质：曲线的性质：-1 1）端点性质：）端点性质： A)A)端点位置矢量：端点位置矢量：ninniiinnnnninniiPBPCtifPCiiBPBPBPBPCtif0,0, 110,00,) 1 () 1 (, 1)0(01000)0()0()0()0()0(, 0-BezierBezier曲线的起点、终点与其相应的特征多边形的起点、曲线的起点、终点与其相应的特征多边形的起点、终点重合；终点重合； 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利
16、于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-612常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 Bezier曲线的性质：曲线的性质：B)B)切矢量：切矢量：)() 1 (, 1);()0(, 0;)()()(101101,1, 1nnnininiiPPnCtifPPnCtiftBtBPntC-BezierBezier曲线的起点、终点的切线方向与其相应的特征多边曲线的起点、终点的切线方向与其相应的特征多边形的第一条边及最后一条边的形的第一条边及最后一条边的走向一致走向一致； 2004
17、 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-613常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 Bezier曲线的性质：曲线的性质：C)C)曲率：曲率：)2)(1() 1 (, 1);2)(1()0(, 0; )()2() 1()(21 012 202,12 nnnniniiiiPPPnnCtifPPPnnCtiftBPPPnntC-BezierBezier曲线在端点处的曲线在端点处的r r阶导数，
18、只与（阶导数，只与（r+1r+1）个相邻点有）个相邻点有关，与更远的点无关；关，与更远的点无关； 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-614常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 Bezier曲线的性质：曲线的性质：D)rD)r阶导函数的差分表示：阶导函数的差分表示：-N N次次BezierBezier曲线的曲线的r r阶导函数可用差分公式表示为阶导函数可用差分公式表示为：rk
19、kikikrirrniirrnirrPCPwheretPtBrnndttCd00,) 1(10)()!(!)( 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-615常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 Bezier曲线的性质：曲线的性质：-2 2）对称性：）对称性： 若保持原若保持原BezierBezier曲线的全部定点位置不变，仅把曲线的全部定点位置不变，仅把次序颠倒次序颠倒，形成新
20、的顶，形成新的顶点；点； 则新则新BezierBezier曲线曲线形状不变形状不变，只是，只是走向相反走向相反；10, )1 ()1 ()()(0,00,*ttBPtBPtBPtCniniinininininnii-BezierBezier曲线及其特征多边形在起点曲线及其特征多边形在起点处的处的几何性质几何性质与终点处相同；与终点处相同； 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-616常用的参
21、数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 Bezier曲线的性质：曲线的性质：-3 3）凸包性：）凸包性：nittBtBninini, 1 , 0101)(01)(,0,1 1）说明当）说明当t t在在0 0与与1 1区间变化区间变化时，对某个时，对某个t t值，值，C C（t t）是特征多边形各项点是特征多边形各项点PiPi的的加权平均加权平均，权因子依次是，权因子依次是Bi,n(t);Bi,n(t);2 2）在几何图形上，）在几何图形上，BezierBezier曲线是曲线是PiPi各点的各点的凸线性组凸线性组合合，并且各点均落在特征，并且各点均落在特征多边形的凸包之中多边形的凸包之中；
22、2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-617常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 Bezier曲线的性质：曲线的性质：-4 4）几何不变性：）几何不变性：几何特性不随一定的坐标变换而变化的性质几何特性不随一定的坐标变换而变化的性质 BezierBezier曲线的位置与形状仅与特征多边形的定点位置有关，不依赖坐标曲线的位置与形状仅与特征多边形的定点位置有关，不依赖坐标系的选择；系
23、的选择； 即：即：niniininiitabauBPtBP0,0,10)()(-5 5）变差缩减性：）变差缩减性：如如BezierBezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则直线与曲曲线的特征多边形是一个平面图形，则直线与曲线的交点个数线的交点个数 该直线和特征多边形的交点个数该直线和特征多边形的交点个数变差缩减性变差缩减性； 说明说明BezierBezier曲线比特征多边形的波动小曲线比特征多边形的波动小BezierBezier曲线比特征多边形所曲线比特征多边形所在的折线更光顺在的折线更光顺； 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学
24、习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-618常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的矩阵表示：曲线的矩阵表示：-一次一次BezierBezier曲线曲线- 一次一次BezierBezier曲线是连接起点与终点的直线段曲线是连接起点与终点的直线段；-二次二次BezierBezier曲线曲线100111 1)(:10)1 ()()(, 11010101 ,tPPttCismatrixThettPPttBPtCnwheniii10001022121 1
25、)(:10)1 (2)1 ()()(, 2210220221022,tPPPtttCismatrixThetPtPttPttBPtCnwheniii二次二次BezierBezier曲线对应一条多边形起点与终点的抛物线；曲线对应一条多边形起点与终点的抛物线； 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-619常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的矩阵表示：曲
26、线的矩阵表示：-三次三次BezierBezier曲线曲线PTMPPPPTMtCThenTMttttBtBtBtBBttBtttBtttBttBAssumetPtPttPttPttBPtCnwhenzTzziii)(,00010033036313311)()()()()(),1 (3)(,)1 (3)(,)1 ()(:10)1 (3)1 (3)1 ()()(, 33210233 , 33 , 23 , 13 , 033 , 323 , 223 , 133 , 030332212033 , 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组
27、织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-620常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的矩阵表示：曲线的矩阵表示：-n n次次BezierBezier曲线曲线给定空间给定空间n+1n+1个点，则个点，则n n次次BezierBezier曲线的矢量方程：曲线的矢量方程：工程实践中常用的工程实践中常用的BezierBezier曲线为二、三次曲线为二、三次。10)()1 ()1 ()1 ()1 ()(0,011100tPtBPttCPtCPttCtPtCPtCtCni
28、ininiiiininnnnniiininnnnn 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-621常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 BezierBezier曲线的分割递推曲线的分割递推CasteljauCasteljau算法：算法：-如何生成如何生成BezierBezier曲线上的点？曲线上的点？ 利用三次曲线矩阵公式产生曲线上点的方法：利用三次曲线矩阵公式产生曲线上点的方法
29、：- 不通用、计算量大不通用、计算量大 CasteljauCasteljau算法：原理：算法：原理： 给定参数给定参数 , ,求求 t)(tPtP(t)t)(tP 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-622常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线 BezierBezier曲线的分割递推曲线的分割递推CasteljauCasteljau算法：算法：-算法算法-计算过程计算过程ttr
30、ninrPtPtrPPririiri, 1 , 0, 2 , 1)1 (0,111 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-623常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线算法的几何解释：算法的几何解释： 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心
31、的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-624常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的拼接及其连续性：曲线的拼接及其连续性：-目的：目的：将两条将两条BezierBezier曲线按照一定的连续条件连接起来，如图所示，曲线按照一定的连续条件连接起来，如图所示， 要求前条曲线的终点与后条曲线的起点重合，即满足要求前条曲线的终点与后条曲线的起点重合，即满足 连续；连续；0C-满足满足 连续的充要条件：连续的充要条件：-满足满足 连续的充要条件连续的充要条件：在：在 连续连续的前提下满足两个条件：的前提下满足两个条件：-1 1）密切平面重合
32、，副法线矢量同向；）密切平面重合，副法线矢量同向；-2 2）曲率相等；）曲率相等；1G连续三点共线；即11101, 1).0(,CthenifabQQPPnnn2C1C 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-625常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线反算反算BezierBezier曲线控制点：曲线控制点：-目的目的：根据给定的曲线型值点：根据给定的曲线型值点 求求BezierB
33、ezier曲线的控制点曲线的控制点 -方法方法： 取参数取参数t=i/nt=i/n与点与点 对应，反算对应，反算 ； 设设 在曲线在曲线 上，且有：上，且有： 则可得下列则可得下列n+1n+1个方程组成的线性方程组：个方程组成的线性方程组： 求解方程，可得求解方程，可得 ，即为过，即为过 的的BezierBezier多边形的顶点多边形的顶点iQiPiQiP)(tCiQnnnnnnnntCPttCPtCPtC)1 ()1 ()(1100nnnnnnnnnniPQniniCPniniCPniCPQPQ; 1, 2 , 1,)/()/()/1 ()/1 (1110000), 1 , 0(niPiiQ
34、 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-626常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的升阶：曲线的升阶：-目的：目的：对曲线做修改时，可以通过增加控制点以实现对曲线的对曲线做修改时，可以通过增加控制点以实现对曲线的灵活控制灵活控制，而不改变原有曲线的形状而不改变原有曲线的形状；-方法方法：对原有曲线进行：对原有曲线进行升阶升阶，如图，将原有，如图，将原
35、有4 4个控制点变为个控制点变为5 5个点；个点；1, 1 , 0,)11 (1)1 ()1 ()1 ()1 (),1 ()1 ()1 (1) 1(111) 1(1101) 1(1011101) 1(10njPnjPnjPCPCPCPttttPCttttPCttttPCttPCBezierjjjjnjjnjjnjjnjnjjnjjjnnjjnjjnjjjnnjjnjjjnnjjnjjjn化简：项系数，则：比较等式两边则：上式左边乘以曲线公式变为：增加控制点后， 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的
36、创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-627常用的参数曲线常用的参数曲线 Bezier曲线曲线-上式说明：上式说明： 1 1）新的控制点）新的控制点P P是对老的特征多边形在参数是对老的特征多边形在参数i/(n+1)i/(n+1)处进行线性插值的结处进行线性插值的结果；果； 2 2）升阶后的新的特征多边形在老的特征多边形的凸包内；）升阶后的新的特征多边形在老的特征多边形的凸包内； 3 3）升阶后的特征多边形更靠近）升阶后的特征多边形更靠近BezierBezier曲线；曲线；BezierBezier曲线的降阶：曲线的降阶：-
37、同理可以推导出曲线的降阶公式；同理可以推导出曲线的降阶公式；有理有理BezierBezier曲线：曲线： 目的目的: :更好的控制曲线的形状；更好的控制曲线的形状；10)()()()()()()() )()(, 11,00, 111,0000,0,ttBhtBhtBhtBPhtBPhtBPhtBhtBhPtChnnnnnnnnnnnniniininiiirzi则：引入权因子 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合
38、作环境。2022-6-628常用的参数曲线常用的参数曲线Bezier曲线曲线B样条曲线样条曲线非均匀有理非均匀有理B样条（样条（NURBS）曲线）曲线常用参数曲线的等价表示常用参数曲线的等价表示 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-629常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线 目的：目的：解决解决BezierBezier曲线的不足（曲线的不足（19721972年，年，Gordon,R
39、iesenfeldGordon,Riesenfeld扩展扩展BezierBezier曲线）；曲线）； 1)1) 控制多边形的顶点个数决定了控制多边形的顶点个数决定了BezierBezier曲线的阶次曲线的阶次,n,n较大时特征多边较大时特征多边形对曲线的控制减弱形对曲线的控制减弱; ; 2)2)调和函数在整个区间内均不为零调和函数在整个区间内均不为零不能作局部修改不能作局部修改； 方法方法：用：用B B样条函数代替样条函数代替BernsteinBernstein函数，从而：函数，从而：-1 1）改进了）改进了BezierBezier特征多边形与特征多边形与BernsteinBernstein多
40、项式多项式次数相关次数相关的问题；的问题；-2 2）克服了）克服了BezierBezier曲线曲线整体逼近整体逼近的缺点；的缺点； 均匀均匀B B样条函数的定义：样条函数的定义：-已知有已知有n+1n+1个控制点的特征多边形，其顶点为：个控制点的特征多边形，其顶点为：-则可以定义则可以定义L L1 1段段k-1k-1次的参数曲线。次的参数曲线。 其中：其中：L = n-L = n-（k k1 1）), 1 , 0(niPinii,ki(u)NPC(u)0 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激
41、励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-630常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线 其中其中 为基函数，可以定义如下递归函数：为基函数，可以定义如下递归函数：)(,uNki1, 1 , 010)1() 1()!1(1)(1011,kiuwherejikuCkuNikjkjkjki 1k1, 111,1,1i1 ,t)()( 0t 1)(nkiikikikiikiikiiituuNttutuNtttuuNtuuN其它若 上式等价为：上式等价为： 2004 Dept. of Computer Science and Engin
42、eer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-631常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线 参数说明：参数说明： k k是曲线的阶数，是曲线的阶数，k k1 1为为B B样条曲线的次数，曲线在连接点处具样条曲线的次数，曲线在连接点处具有有(k-2)(k-2)阶连续；阶连续； 是节点值，是节点值， 构成了构成了k k次次B B样条曲线的样条曲线的节点矢量，节点是非减序列；且：节点矢量，节点是非减序列；且： 节点矢量节点矢量：分为三种类型：分为三种类型：均匀的均匀的，均匀非周
43、期的均匀非周期的和和非均匀的非均匀的；-节点沿参数轴均匀等距分布，即节点沿参数轴均匀等距分布，即 = =常数时，常数时，均匀均匀B B样条函数样条函数；-节点沿参数轴分布不等距，即节点沿参数轴分布不等距，即 常数时，常数时，非均匀非均匀B B样条函数样条函数。 1 1均匀周期性均匀周期性B B样条曲线样条曲线-T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)-T=(0,1,2,3,4,5,6,7)T=(0,1,2,3,4,5,6,7)-均匀均匀B B样条的基函数呈周期性：样条的基函数呈周期性：it,1210kL
44、tttT1knLiitt1iitt1,) 1() 1()(1, 1, 1,ikikkikikittuuNuNuN 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-632常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线-均匀周期性均匀周期性二二 次（三阶）次（三阶） B B样条曲线样条曲线取取k k1=21=2，n=3n=3 22, 222, 1222220232, 021) 122(21) 1(21! 2
45、! 3) 1(! 2! 3)2(! 3! 321)2() 1()!13(1uuNuuuNuuuujuCuNjjj1, 1 , 010)1() 1()!1(1)(1011,kiuwherejikuCkuNikjkjkjki-k k1=2,n=31=2,n=3i=0,1,2i=0,1,2 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-633常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线-二次二次B B样条
46、曲线表达式可以表示如下：样条曲线表达式可以表示如下：210220201102212121 1PPPtt(u)NPC(u)ii,iLi(u)PN(u)PN(u)PN(u)Ci,i,i,i, 2 , 1 , 022212120-一般化的形式：一般化的形式： 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-634常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线 曲线的起点和终点值：曲线的起点和终点值：)(21)
47、(),(21)(3210PPendpPPstartp 均匀二次均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：样条曲线起点和终点处的导数：2301)(,)(PPendpPPstartp 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-635常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线结论：-对于由任意数目的控制点构造的二次周期性对于由任意数目的控制点构造的二次周期性B B样条曲线，样条曲线，曲线的起点位于头两个
48、控制点之间，终点位于最后两个控曲线的起点位于头两个控制点之间，终点位于最后两个控制点之间；制点之间；-对于高次多项式，起点和终点是对于高次多项式，起点和终点是m-1m-1个控制点的加权平均个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。-由不同节点矢量构成的均匀由不同节点矢量构成的均匀B B样条函数所描绘的形状相同，样条函数所描绘的形状相同，可以看成是一个可以看成是一个B B样条函数的简单平移；样条函数的简单平移；-在构造每个线段时，采用均匀在构造每个线段时，采用均匀B B样条函数比用非均匀样条函数比用非均匀B B样条样
49、条函数工作量小，且外形设计的效果差别不大；函数工作量小，且外形设计的效果差别不大； 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2022-6-636常用的常用的参数曲线参数曲线 B B样条曲线 2 2均匀非周期均匀非周期B B样条曲线样条曲线-节点矢量定义为：节点矢量定义为： 令令L = n L = n k (n k (n为控制点数目为控制点数目) )，从，从0 0开始，按开始，按titi+1titi+1排列。
50、排列。kLikLikki Lkit),.,LL,.,L,.,(Tikk1011210011-均匀非周期二次（三阶）均匀非周期二次（三阶）B B样条曲线样条曲线 设设k=2k=2，n=6n=6，节点矢量为：，节点矢量为：T=(t0 ,t1,T=(t0 ,t1,tL+2k+1) =(t0 ,t1, ,tL+2k+1) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8,t9) =(0,0,0,1,2,3,4,5,5,5)t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8,t9) =(0,0,0,1,2,3,4,5,5,5)； 2004 Dept. of Computer Sci