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1、精选优质文档-倾情为你奉上12.6离散型随机变量的均值与方差1.考查离散型随机变量的均值与方差的概念；2.利用均值、方差解决一些实际问题复习备考要这样做理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2 均值与方差的性质(1)E(
2、aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)3 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)_p_，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则E(X)_np_，D(X)np(1p)难点正本疑点清源1 对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值取值的平均状态(3)公式E(X)x1p1x2p2xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分
3、布列2 方差的意义D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之D(X)越小，X的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这一概念之上的在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度1 若随机变量的分布列如下表，则E()的值为_.012345P2x3x7x2x3xx答案解析根据概率之和为1，求出x，则E()02x13x5x40x.2 (2017浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面
4、试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.答案解析由题意知P(X0)(1p)2，p.随机变量X的分布列为X0123PE(X)0123.3 某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，则y的值为()A0.4 B0.6 C0.7 D0.9答案A解析由可得y0.4.4 已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A. B4 C1 D1答案A解析E(X)(1)01.E(Y)2E(X)323.5 设随机变量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.4
5、5答案A解析XB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2012湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率思维启迪：先求出降水量在各范围内的概率，再求对应工期延误天数的概率，列出Y的分布列解(1)由已知条件和概率的加法
6、公式有P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X
7、300)P(X3)1.题型三均值与方差的应用例3现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围思维启迪：
8、(1)求分布列，应先确定X的取值，再求X的取值对应的概率；(2)由E(X1)E(X2)，找出关于p的不等式，即可求出p的范围解(1)X1的概率分布列为X11.21.181.17PE(X1)1.21.181.171.18.由题设得XB(2，p)，即X的概率分布列为X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布列为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.(2)由E(X1)1.18，整理得(p0.4)(p0.3)0，解得0.4p0.3.因为0p1，所以当E(
9、X1)E(X2)时，p的取值范围是0p1.75，则p的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由已知条件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p31.75，解得p或p，又由p(0,1)，可得p.二、填空题(每小题5分，共15分)5 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是_答案0.7解析E(X)10.700.30.7.6 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数
10、，则D(X)_.答案解析由题意知取到次品的概率为，XB，D(X)3.7 (2011上海)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：x123P(x)？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E()_.答案2解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E()1x2(12x)3xx24x3x2.三、解答题(共22分)8 (10分)为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选假定某基地有4名武警战士(分别
11、记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，.这三项测试能否通过相互之间没有影响(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望解(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN，MP，NP，MNP.P(A)P(MN)P(MP)P(NP)P(MNP).所以，A能够入选的概率为.(2)P(没有入选任何人)4，P(入选了一人)C3，P(入选了两人)C22，P(入选了三人)C3，P(入选了四人)C4，记表示该训练基地得到
12、的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为03 0006 0009 00012 000PE()3 0006 0009 00012 0008 000(元)所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元9 (12分)(2011重庆)某市公租房的房源位于A、B、C三个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望解(1)方法一所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为.方法二设对每位申请人的观察为一次
13、试验，这是4次独立重复试验记“申请A片区房源”为事件A，则P(A).从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为P4(2)C22.(2)的所有可能值为1,2,3.又P(1)，P(2)，P(3).综上知，的分布列为123P从而有E()123.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E(X)，D(X)，则x1x2的值为 ()A. B. C3 D.答案C解析分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：解得或又x1x2，x1x23.2
14、 已知抛物线yax2bxc (a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量|ab|的取值，则的数学期望E()为()A. B. C. D.答案A解析抛物线的对称轴在y轴的左侧，0，也就是a，b必须同号，的分布列为012PE()012.3 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为 ()A. B. C. D.答案D解析由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32，当且仅当，即a2b时取“等号”，又3a2b2，即当a，b时，的最小值
15、为，故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)4 罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望E()_.答案解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，为取得红球(成功)的次数，则B，从而有E()np4.5 签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为_答案5.25解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由数学期望的定义可求得E(X)5.25.6 设l为平面上过点(0,
16、1)的直线，l的斜率等可能地取2，0，2，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E()_.答案解析当l的斜率k为2时，直线l的方程为2xy10，此时坐标原点到l的距离d；当k为时，d；当k为时，d；当k为0时，d1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：1P所以E()1.三、解答题7 (13分)(2012课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整
17、理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由解(1)当日需求量n16时，利润y80.当日需求量n16时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为y(nN)(2)X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)600.1700.
18、2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.方法一花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花方法二花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花专心-专注-专业