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1、刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题 例例 一人握有两只哑铃一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动站在一可无摩擦地转动的水平平台上的水平平台上, 开始时两手平握哑铃开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台人、哑铃、平台组成的系统以一角速度旋转组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于后来此人将哑铃下垂于身体两侧身体两侧, 在此过程中在此过程中, 系统系统( (A) ) 角动量守恒角动量守恒, 机械能不守恒机械能不守恒 ( (B) ) 角动量守恒角动量守恒, 机械能守恒机械能守恒 ( (C) ) 角动量不守恒角动量不守恒, 机械能守恒机械能守恒 ( (D) ) 角
2、动量不守恒角动量不守恒, 机械能不守恒机械能不守恒 刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题 例例 关于力矩有以下几种说法关于力矩有以下几种说法:（1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体形状和大小不同的两个刚体, 在相同在相同力矩的作用下力矩的作用下, 它们的角加速度一定相等它们的角加速度一定相等; 在上述说法中在上述说法中( (A) ) 只有（只有（2）是正确的）是正确的 ( (B) )
3、（1）、（）、（2）是正确的）是正确的 ( (C) )（2）、（）、（3）是正确的）是正确的 ( (D) )（1）、（）、（2）、（）、（3）都是正确的）都是正确的 刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题AmBF =mg（A） A B （B） A B （C） A B （D）无法确定）无法确定 例例 如图所示如图所示, A、B为两个相同的定滑轮为两个相同的定滑轮, A 滑滑轮挂一质量为轮挂一质量为m 的物体的物体, B滑轮受力滑轮受力F = mg, 设设 A、B两滑轮的角加速度分别为两滑轮的角加速度分别为 A和和 B ,不计滑轮的摩擦不计滑轮的摩擦,这两个滑轮的角加速度
4、的这两个滑轮的角加速度的大小关系为大小关系为 AmaTmgraJJTrAAAraJJmgrFrBBBgmTF刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题( (A) ) 动量不守恒动量不守恒, 动能守恒动能守恒( (B) ) 动量守恒动量守恒, 动能不守恒动能不守恒( (C) ) 角动量守恒角动量守恒, 动能不守恒动能不守恒( (D) ) 角动量不守恒角动量不守恒, 动能守恒动能守恒 例例 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动, 地球地球在椭圆的一个焦点上在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：则卫星的：刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习
5、题课选讲例题 例例 一飞轮在时间一飞轮在时间t t 内转过角度内转过角度 ，式中式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度都是常量，求它的角加速度. .43ctbtat 324343)(ddctbtactbtatt232126)43(ddctbtctbtat解解刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题解（解（1）)srad(8 . 05 . 04 . 02rarat 例例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径 r = 0.5 m , 如果升降机从静止开始以如果升降机从静止开始以 a = 0.4 ms-2 加速度加速度上升上
6、升, 求：求： （1）滑轮角加速度；滑轮角加速度；（2）t = 5 s 时角速度时角速度及转过的圈数；及转过的圈数；（3） t = 1 s 时轮缘上一点的加速度时轮缘上一点的加速度.已知：已知： r = 0.5 m, a = 0.4 ms-2 ar2tsm4 . 0 aa刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题1srad4t6 . 12n2tsm4 . 0 aa22nsm32. 0rarad10212t1srad8 .0t求求:（2） t = 5 s 时角速度及转过的圈数；时角速度及转过的圈数；2srad8 . 0求（求（3）t = 1 s 时轮缘上一点的加速度时轮缘上
7、一点的加速度.m5 . 0r22n2tsm51. 0aaa7 .38)arctan(tnaaarnataa刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题lO0iF 0iM解解 刚体平衡的条件刚体平衡的条件 例例 一长为一长为l，重为，重为P 的均匀梯子，靠墙放置，墙光的均匀梯子，靠墙放置，墙光滑，当梯子与地面成滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯子与角时处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力地面的摩擦力. .02Nf FF01N FP 以支点以支点O为转动中心，梯子受为转动中心，梯子受的合外力矩：的合外力矩：0sincos22NlFlPcot22NfPFF1NF2NFPfF
8、刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题xO 例例 一质量为一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，可在水平桌面的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因数为摩擦因数为 , 求棒转动时受到的摩擦力矩的大小求棒转动时受到的摩擦力矩的大小dxxfdF解解 取一小段如图所示取一小段如图所示xlmmdd)d(dmgxMmgLxxlmgmgxML21dd0mgFddf刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题 例例 电风扇在开启电源后，经电风扇在开启电源后，经 t1时间达到了额时
9、间达到了额定转速，此时相应的角速度为定转速，此时相应的角速度为0 ，当关闭电源后，当关闭电源后， 经过经过 t2 时间风扇停转已知风扇转子的转动惯量为时间风扇停转已知风扇转子的转动惯量为J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，求电机的电磁力矩求电机的电磁力矩)11(210ttJM解解22110tt1fJMM2fJM 刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题 例例 求一半径求一半径 R=50 m的飞轮对过其中心轴的转动的飞轮对过其中心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其质
10、量其质量 m1=8.0 kg, 让其从让其从 h=2.0 m 处静止下落处静止下落, 测得下落时间测得下落时间 t1=16 s ；若用质量；若用质量 m2=4.0 kg 的重物时的重物时, t2=25 s , 假假定摩擦力矩定摩擦力矩 Mf 是一个常量是一个常量 , 求求飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量.R1mhR2mhfM 解解 受力分析受力分析, 建立建立坐标如图所示坐标如图所示TFTFgmy刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题2222f2T222T221tahRaJMRFamFgm111T1amFgmRaJMRF1f1T21121tah fMTFTFgmy2-21
11、1sm6015. 02tha2-222sm4006. 02tha 已知：已知： R=50 m，m1=8.0 kg, h=2.0 m，t1=16 s，m2=4.0 kg, t2=25 s, Mf = C，求求：J刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题22T1T21)()(RFFJaa2122T1T)(aaRFFJ23mkg1006. 1N3 .78)(111TagmFRaJMRF2f2TRaJMRF1f1T111T1amFgm222T2amFgm21m/s6015. 0a22m/s4006. 0a 已知：已知： R=50 m，m1=8.0 kg, h=2.0 m，t1=
12、16 s，m2=4.0 kg, t2=25 s, Mf = C，求求：JfMTFTFgmyN2 .39)(222TagmF刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题 例例 证明关于行星运动的开普勒第二定律，行证明关于行星运动的开普勒第二定律，行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积 .证明证明)(trvSm)d(ttrmLrsin21rrSLmrtSt21sin21lim0vrrmmGF3SCL 时间内时间内矢径扫过的面积为矢径扫过的面积为tsin21trrtS单位时间单位时间扫过的面积扫过的面积所以相等的时间内扫过相等的面积
13、所以相等的时间内扫过相等的面积 .刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题 例例 一滑冰者开始转动时一滑冰者开始转动时 ，然后将，然后将手臂收回，使转动惯量减少为原来的手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的转，求此时的转动角速度动角速度.2200k0JE00031JJ 注意：注意：刚体定轴转动刚体定轴转动内力矩内力矩的功之的功之和为和为零，非零，非刚体刚体不不一定一定.200200k200k023932121JJEJE解解 外力矩为零，外力矩为零，角动量守恒角动量守恒内力做功，内力做功，转动动能转动动能变化变化03刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体
14、的转动习题课选讲例题 例例 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点, 杆与杆与单摆的摆锤质量均为单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂开始时直杆自然下垂, 将单摆摆将单摆摆锤拉到高度锤拉到高度 h0 , 令它自静止状态下摆令它自静止状态下摆, 于垂直位置和直杆于垂直位置和直杆作弹性碰撞作弹性碰撞. 求：求：碰后直杆下端达到的高度碰后直杆下端达到的高度 h .hhmlC 解解 此问题分为三此问题分为三个阶段个阶段0hllmm0v002ghv ( (1) ) 单摆自由下摆单摆自由下摆（机械能守恒）（机械能守恒）,与杆与杆碰前速度碰前速度刚体转动刚体转动刚体
15、的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题( (2) ) 摆与杆弹性碰撞（摆与杆弹性碰撞（摆，杆摆，杆）角动量守恒角动量守恒vvmlJml0机械能守恒机械能守恒2220212121Jmmvv021vv l 230v( (3) ) 碰后杆上摆，碰后杆上摆，机械能守恒（机械能守恒（杆、地球杆、地球）C221mghJ0C232hhh002ghvhhmlC刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题解解 盘和人为系统盘和人为系统, 角动量守恒角动量守恒 . 设：设： 0、 分别为人和盘相对地分别为人和盘相对地的角速度的角速度, 顺时针为正向顺时针为正向 .0210202RmmR2
16、2200mmm顺时针方向顺时针方向tRmtmRdddd2102022002002dd21RmmR 例例 质量为质量为 m，半径，半径 R 的均匀圆盘可绕过中心的光的均匀圆盘可绕过中心的光滑竖直轴自由转动滑竖直轴自由转动. 在盘缘站一质量为在盘缘站一质量为m0的人的人, 开始人和开始人和盘都静止盘都静止, 当人在盘缘走一圈时当人在盘缘走一圈时, 盘对地面转过的角度盘对地面转过的角度.mR0m刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题ORhmmm2022121JJ 、 0和和 、 0分别为分别为圆盘终了和起始时的角坐圆盘终了和起始时的角坐标和角速度标和角速度 .dd00TTF
17、RRF 例例 一质量为一质量为 m ，半径为，半径为 R 的圆盘，可绕一垂直的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动通过盘心的无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有轻绳，一圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为端挂质量为m 的物体的物体. 问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度 h 时，其时，其速度的大小为多少速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计 . 解解 拉力拉力 对圆盘作功，由刚体绕定轴转动的动对圆盘作功，由刚体绕定轴转动的动能定理，拉力能定理，拉力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为TFTFOTFNFPTFPm刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题20
18、2TT2121dd00JJFRRF物体由静止开始下落物体由静止开始下落0, 000v解得解得ghm2)2(mm2mmmgh2v并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量221RmJ202T2121d0vvmmFRmgh由质点动能定理由质点动能定理TTFFRvOTFNFPTFPm刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题 例例 质量为质量为 mA 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上静止在光滑水平面上, 和和一质量不计的绳索相连接一质量不计的绳索相连接, 绳索跨过一半径为绳索跨过一半径为 R、 质量质量为为 mC 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C, 并系在另一质量为并系在另一
19、质量为 mB 的物体的物体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动滑轮与绳索间没有滑动, 且滑轮与轴承间的摩擦力可且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？水平和两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体物体 B 从静止落从静止落 下距离下距离 y 时时,其速率是其速率是多少？（多少？（3）若滑轮与）若滑轮与轴承间的摩擦力不能轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的忽略，并设它们间的摩擦力矩为摩擦力矩为 Mf 再求线再求线加速度及绳的张力加速度及绳的张力. ABCAmBmCm刚体转动刚体转动刚体的转动习
20、题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析受力分析, 取坐标如图所取坐标如图所示示, 运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转动定律列方程转动定律列方程 . T2FT1FCPCF刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B
21、由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题 （3） 考虑滑轮与轴承间的考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩摩擦力矩 ，由转动定律得，由转动定律得fM结合（结合（1）中其他方程）中其他方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM刚体转动刚体转动刚体的转动习题课选讲例题刚体的转动习题课选讲例题2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2
22、mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例 半径为半径为R的圆盘绕它的几何中心轴转动，要使其边线上一的圆盘绕它的几何中心轴转动，要使其边线上一点的切向加速度方向与加速度方向之间的夹角点的切向加速度方向与加速度方向之间的夹角 保持不变，求它保持不变，求它的转动角速度的转动角速度随时间随时间t变化的规律。已知初角速为变化的规律。已知初角速为0。解：由题知，加速度与切向加速度间解：由题知，加速度与切向加速度间的夹角不变，亦即法向加速度与切向的夹角不变，亦即法向加速度与切向加速度的比值为常数。即有加速度的比值为常数。即有 aatgndtd分离变量分离变量 dtctgdt020积分得积分得 tctg 110于是于是随随t变化的规律为变化的规律为 tctg 001anaaRtg22 ctg常数2