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1、 反射率R与入射光频率之间的关系叫做反射光谱，相应地，透过率 T 与入射光频率之间的关系叫做透射光谱。2.1 光在固体表、界面上的反射2.1.1 单一界面，垂直入射下的反射与透射 如图2.1所示，设一束光从折射率为 n1，沿着 z 方向以1角度入射到折射率为 n2、无限大且均匀的介质上，介质 n1和 n2之间的界面假设为理想的无厚度界面，并且无界面电荷和电流。入射、反射、透射光的电矢量分别用 、 和 , 磁场矢量分别用 、 和 表示。反射系数 r 和反射率R，透射系数 t 和透射率 T 分别定义如下： EEE HH H 第二章 反射光谱与光学常数的测量图2.1 光在界面上反射与透射示意图II
2、I 矢量k和 k实矢量, k”为复矢量EEr (2.1a) 222.rEEIIR (2.1b) EEt (2.1c)21122211222coscoscoscostnnEnEnIIT (2.1d） 一种常见的情况是光由空气垂直入射到具有复折射率 n = n + i的介质上。 垂直入射下的入射波、反射波和透射波的电场 、 和 与磁场强度 、 和 可以分别表示为EEE HH H czntiHHczntiEEczntiHHczntiEEczntiHHczntiEE202010101010expexpexpexpexpexp (2.2)否则,Z应用矢量r表示利用电场和磁场在界面切线方向连续的边界条件，
3、并且在边界上（z =0），式(2.2)中代表时间和空间的分量都可以约去，因此得到关于振幅的边界条件方程利用电场与磁场振幅之间的关系 可以将上述方程改写为， 000EEE000HHH（2.3） 0000EnH020101EnEnEn010101EnEnEn(2.4) 根据反射系数和透射系数的定义，由式 (2.4) 得 (2.5) 当 n1 = 1, n2 = n + i 时，得（2.6）21100122nnnEEt 21120012nnnnEEr 11212 rtininr)1()1(12int)1(212 由(2.7)式可以看出： 1. 以R为参数，可以得到（n，）关系为二次曲线，即 (2.8
4、)它表示一些以 为圆心，以2R1/2/（1-R）为半径的一系列半圆，如图2.2所示。 0),1/()1 (RRn222)1 (411RRRRninintrR2212*12)1()1(2212*12) 1(4nnttnT1 RT (2.7)图2.2 不同反射率R下的（n, ）图2. 对于反常色散区，n，R趋近于1，呈现金属反射性。 一些金属的反射光谱如图2.3所示。 图2.3 某些金属的反射谱 设一束光从空气以角入射到折射率为n = n + i 的各向同性介质上，并且假设无界面电荷和电流，求斜入射下的反射率与透射率。为此将入射光的电矢量分解为垂直于入射面分量和平行于入射面的分量，反射系数与反射率
5、，透射系数与透过率也相应地分成平行（p）分量和垂直( n )分量。此时的反射系数 r 和透射系数 t 一般都是复数量，它们的定义如下：2.1.2 单一界面，斜入射的反射与透射图2.1 光在界面上反射 与透射示意图2112222112222222*coscosT coscos nnnnnnppppppnnnnnnppppppppEnEnEEtEnEnTEEtEEREErEErrREEr (2.9)利用电场 和磁场 在界面切向连续以及电位移 和磁感应强度 在法向连续的边界条件，可以得到反射系数和透射系数，以及反射率和透射率，其表达式为EHDB )(tg)(tgcoscoscoscos2122122
6、21122112nnnnRp)(sin)(sincoscoscoscos122122222112211nnnnRn22112111122coscoscos2coscosnnnnnTp21122111122coscoscos2coscosnnnnnTn (2.10) tg1=nn11+ 2=900Rp=0, Tp=1,此时, 1为布儒斯特角1=450,则Rp=(Rn)21=0或900, 则Rp=Rn 设一束光由空气入射到厚度为 d 的薄膜上，透过第一个界面，穿过薄膜，再透过第二个界面，在另一方向透射出来。光在薄膜中： 振幅发生衰减； 位相发生变 化； 在上下表面都发生反射； 形成干涉（2nd0
7、）。 图2.5 表示硅氢合金薄膜的透射光谱。透射率光谱 T（）在2000cm-1 和 600 cm-1 附近出现若干谷，对应于吸收光谱（）中的吸收峰。在不考虑表面反射的情况下，吸收光谱可以简单地从透射光谱得到。 2.2 薄膜的反射与透射 dT/)(ln)( Si-H拉伸振动Si-H弯曲振动Si-H摇摆振动2nd0 利用这种干涉效应，可以获得薄膜的折射率 n 或厚度 d。见图2.6，设一束光由空气垂直地入射到厚度为 d 且各向同性的固体薄膜上，在薄膜的两个界面上发生多次反射和透射，其强度取决于材料的光学性质。结果在薄膜的入射方向会有多次反射的光，而在薄膜背面会有多次透射的光，薄膜的折射率 n =
8、 n + ik，由空气到界面（12）以及由固体到空气界面（23）的反射系数分别为 r12 和 r23，并且 r = r12 = -r21, r21 = r23。相应的透射系数 t12 = (1-r12)，t23= (1-r23)。一般地说 r=r0i为复数，光的第一次反射率R=r*r=(r0)2。已知 ，设入射光的电场 E 在 z=0 处为1，则光波第一次通过薄膜时其振幅和位相变化为 EEr/ 是位相因子，即 现在分以下几种情况来讨论。 设光垂直入射到厚度为 d 的厚膜，表面第一次反射率为R，对于相当厚的薄板，若满足条件 2nd 0，总反射率 R 和总透射率 T 可以简单地从反射光和透射光强度
9、叠加得到0/2/ndcnd (2.11) )exp(1)exp()1()2exp(1)2exp()1(12222adRadRTadRadRRR (2.12) ,2ideea 2. 2. 1 厚膜，考虑多次反射，忽略相位因子厚膜，考虑多次反射，忽略相位因子当 d 很大时，有2)1(RRReTd (2.13) 利用(1.1)式，可以得到吸收率在弱吸收和弱反射的情况下，吸收率为 )-)(1-(1 )-(1-1 1d-2ddReeReRRTRA (2.14)adA (2.15)* 由(2.12)式，若 R 和 d 已知，吸收光谱可直接由透射光谱得到；若 R 未知，可以测量两块厚度不同样品的透射光谱来确
10、定吸收系数（）。此时 如图 2.6 所示，考虑反射波和透射波的位相变化, 并且光程差 2nd 0，计算多次反射光和透射光的反射率和透射率。 首先计算反射系数和透射系数叠加后的总反射系数 r 和总透射系数 t，然后求出总反射率 R 和总透过率 T。 )(exp/2121ddaTT (2.16) 2. 2. 2. 薄膜，考虑干涉效应时的反射和透射光谱 对于空气中无衬底的自支撑膜，有两个界面，在各个界面上的反射系数和透射系数为 r = r12 r23 = r21 = -r12 = -r 光每通过样品一次，其振幅变化 ， 其中位相因子 将各次反射与透射系数叠加，得总 r 和 t 为)2exp(1)(-
11、1 )1)(1 ()1)(1 (212121223122312iRrrrrrtt(2.17) 20)(rR )exp()2/exp(iada0/2nd2122122231222312212212223122231222312223211212)(1)1 (1)(1)1 (11arararratttarararrarrarrarttrr (2.18) 在低吸收限下，满足 n，因此各个Fresnel系数可以近似地用其实部来代替，在这种情况下，由（2.18）式得2cos21)1(2cos21)2cos21(22 2*22 2*adadadadadadadeReReRttTeReReeRrrR (2.
12、19)1. 当 2=2m，或2nd = m0( m =1,2,3,)时， T 取一系列极大值，R 取极小；2. 反之,当 2=（2m+1），或 2nd=(2m+1)0/2，透过光 谱出现一系列极小值，而反射光谱出现极大，即 22max22min)1()1()1()1(adadadadeReRTeReRR (2.20a)其中2nd = m0( m =1,2,3,)22min22max)1()1()1()1(adadadadeReRTeReRR (2.20b)02122mnd其中 ， m =1,2,3,干涉条纹中两个相邻极大值的条件为1112211212nd 2ndmmnd (2.21)如上图，两
13、极大之间相差为200cm-1,单晶硅的折射率n=3.4,该非晶硅薄膜的厚度为0.7m。薄膜和多层膜的制备技术包括化学气相淀积（CVD）、物理气相淀积（PVD）、分子束外延（MBE）、金属有机化学气相沉积（MOCVD）等。 如GaN蓝色发光二极管是将GaN外延在Al 2O3 衬底上, 人造金刚石薄膜是利用CVD技术将其生长在 Si或金属衬底上。对于带衬底的薄膜或多层膜光学性质的研究，至少要涉及三个界面，如图2.7所示。 2.2.3 多层膜的反射 要解决多层膜的反射与吸收问题，可根据光学叠加原理，先把两层化为单层，把界面数逐步减少。然后与剩下的一个界面叠加，即可得到总 r 和 t，结果如下2223
14、21011221121022232112012112012110210)()1 ()()( 1ararrarrararrarrarrarrr2223210112211210212312012110101)()1 ( 1ararrarraatttarrattt (2.22),exp(2exp),exp(2exp222111iadaiada式中,/2,/202220111dndn n1，d1和n2，d2分别为样品和衬底的折射率与厚度。 总反射率 R 和总透射率 T 可分别由薄膜的 RF，TF 和衬底的 RS，TS得到。SFSFRRRTTT（2.23） 椭偏度与两个分量的大小和位相有关，也就是与材料
15、的n()和()有关。图2.8给出了椭圆光度法示意图。2.3 椭偏光度法n1n2n3dpEnEE/据此发展起一种测量 n() 和() 的方法 椭偏光度法。这种方法特别适合于薄膜 n()、() 和厚度 d 的测量。 设一束光由空气入射到带衬底的薄膜上，分别用 n1、n2和 n3 表示空气、薄膜和衬底的折射率，d 为薄膜厚度。反射系数平行分量 和垂直分量 为复数， 和 ，p 和n分别表示 和 的模和幅角，空气 薄膜，薄膜 一衬底间的反射系数分别用 r 1= r12，r2 = r23 表示。根据式（2.18）得prnropronrprnr (2.24)作为椭偏光，其振幅 ， 和位相在不断变化，为描述这
16、种特性，引进椭偏参数 和， pEnEnpnpnnpponopEEEEEEEErrtg/ (2.25) npirpiopppppppperarrarrEEr2212211nionnnnnnnnerarrarrEEr2212211 其中 表示反射波中的 p 波与 n 波的振幅比的相对变化，所以 也叫做振幅比畸变角振幅比畸变角。位相差 可以得到 (2.26)tg, ,npinprnnnppp,),( 11321221221221221dnnnfarrarrarrarretgrrppnnnnppinp图2.9表示椭圆偏光度法的实验装置框图。 转动检偏器的方位角，使其达到消光状态，此时的方位角J J就是
17、 dnne)(204/)(0dnne 当时,= 900P轴（平行分量）zoze450450 非寻常光与寻常光的位相差 ， 当 时, 寻常光与非寻常光之间的位相差为90。转动检偏器的方位角，使其达到消光状态，这时检偏振器的方位角 J 就是 。设起偏器的方位角为 Q，可以得到 = Jdnne)(204/)(0dnne135(2702)1350(902QQQQ(2.27) 这里 的读数范围：0-90，的范围：0-360。图2.10表示生长在硅衬底上的类金刚石膜（DLC膜，a-C:H）的折射率与厚度的椭偏光度法测量结果。 n-C0d-C0 凡是由因果关系决定的光学响应函数，其实部和虚部之间并不完全独立
18、，由此得出一系列关系式描述光学常数之间的内在联系，这些关系被称为克喇末-克朗尼格（Kramas-Kronig）关系，简称KK关系。2.4.1 光学响应函数及其性质 KK关系的物理基础是因果性原理，其内函是物理结果 只能发生在作用之后，而不是在其前。在常用光强范围内， 可以假定极化响应是线性的，即 )()(0tEtP)1(2.28) 2.4 克喇末克喇末(Kramas-Kronig)-克朗尼格（克朗尼格（KK）变换）变换 ， 的傅里叶(Fourier)成分 ， ，具有相同的光学响应规律。令 表示在主轴方向的极化分量, 它是时间的函数， 表示与 相同方向上 的分量 ，上述因果关系可以表示为 )(t
19、P)(tE)(P)(E)(tP)(tE)(tP)(tE) () ()(00dtttEtFtP (2.29)上式的意思是 与 t 时刻之前所有的 有关。一般地说，一个广义作用力 引起的广义位移 ，由以下运动方程决定我们来讨论线性响应函数T()的性质。 )(tP)(tE),(tF)(X),()()(tFTtX(2.30) 广义作用力 和广义位移 可以表示为 ),(tF)(X)exp(),()exp(),(tiFtFtiXtX (2.31) 叫做响应函数。对于一个线性无源系统，根据Lorentz理论，T()可以表示为一组阻尼谐振子响应的叠加 jjiifT22)(2.33)由式(2.30)得过且过 (
20、2.32)FTX)(）（T响应函数有如下性质； 解析性，引进的复平面 = r + ii，则上响应函数在上半复平面是解析的，极点在下半复平面，即2222jijjr (2.34)收敛性，当时， / 一致地趋近于0，因此， / 沿着的上半复平面的一个无限半圆上的积分为零。 ）（T）（T奇偶性，由于 在时间和空间上的均匀性，不显含 t 和 r (或波矢)，它仅仅是频率的函数。可以证明 T*(-)=T() (2.35) 对于实的， 的实部Tr()是偶函数，其虚部Ti()是奇函数。 为了说明上述因果关系，引入函数形式的作用场，一个函数形式的作用场引起的极化可以表示为 (2.36)00)() () ()(t
21、FdttttFtP）（T）（T 是函数形式作用场，也就是单位作用场引起的极化，对于任意形式的作用场 ，例如简谐形式的作用场， 引起的极化可以表示为 )(tF tE)exp()(0tiEtE00000) exp() ()exp( ) () ()(attitFtiEdtttEtFtP (2.37) 1()(0tP由 得0) exp() (1)(dttitF(2.38) tE0cos) (1)(dtttFr(2.39a)0sin) (1)(dtttFi(2.39b)式(2.38)的傅里叶反变换为dtitF)exp(1)(21)(2.40)讨论：1. 若t 0，函数（）-1在的下半复平面有奇异点，积分
22、 不等于零。 定义复变函数根据复变函数理论可得采取如图2.11所示的积分线路，容易得到)()(Tf(2.41)cdfiT) (21)(（2.42）) (i1 ) (21) (21)(dfPdfjdfiTcc(2.44) 2.4.2 极化率和介电系数的KK变换其中科西积分的主值定义为dfdfdfP) () () (00(2.44) )()(1)(iriTTT）（将 ，有 ) (1)() (1)(dTPTdTPTriir(2.45)利用 的奇偶性以及积分换域公式，最后得到极化率和电介函数KK关系）（TdxaxxfxfaxfxfxdxaxxfP022)()()()(P )(2.46)022) (2)
23、(1)()(dPTirrr022 1) (2)()()(dPTiiii (2.47)利用光电导谱r()代替i()谱更为方便，由i()=r()0得0220) (21)(dPrr (2.48)图2.12 （a）Te（碲）晶体的光电导谱 ,(b)虚线为计算的r() 谱，实线为测得的r() 谱r() r() r() r() r() r() r() r() r() Te（碲）晶体的光电导谱如图2.12(a)所示，由(2.48)式表示的KK关系，计算出r()谱以虚线示于图2.12(b)，同时给出实验曲线。用波长代替频率，式(2.8)变为对于多个吸收峰的情况，设每个吸收峰的平均波长为j，它们对光学响应的贡献
24、可以看成r(j)积分强度的加权求和，于是上述积分化为202)/ (1) (11)(dcrr(2.49)ijjrA2221)() (102dcArj (2.50)(2.50)式也叫做四参量 公式 。对于长波区，可进一步简化为)(,rjjAiirA1)0(2.51)对NaCl晶体，在可见光区有4个吸收峰，每个吸收峰的波长j与吸收强度Aj分别为 j 0.0347 0.1085 0.1584 61.67(m)Aj 0.052 1.005 0.271 3.535利用公式(2.51)可以得到静态介电常数(0)=5.86，用其它实验方法测量得(0)=5.90。 对于金属中自由电子，固有频率0=0,公式(2.
25、47)需要加以修正。因为当0=0时，响应函数 在=0时，响应函数 在= 0处有奇点。要解决此问题，可定义一个新函数 ）（T）（TrTf) () (imNeT202/) ( (2.52)其中函数T（）在上半复平面包括实轴是解析的，而且当时收敛，因此可以对其直接使用KK公式，得) (2 ) (1)(1)(022dPdpiirrr) (2 ) (1)()(0222dPdiririi(2.53a)进一步可以得到) (2)(02200dPrrr (2.53b)另一种处理办法是将i()的零点留数0/0从中扣除，可以得到(2.53b)式。其中0=Ne2/m为静态光电导。 n 同一样，在的上半复平面无极点。
26、当时 ， ，因而 ， 是收敛的；其次n的奇偶关系也与相同。因此可以直接 写出 n 和之间的KK关系2)(1Tn0/ 112n2.4.3 折射率和消光系数的KK变换) (2)() (21)(022022dnPdPnrrr （2.54）由吸收系数=4/，可以将上述关系式化为更简洁的形式：) (211)()/ (1) (211)(222dndn(2.55)假设一个以t和x为变数的平面电磁波，一般可以表示为deEtxEcxnti)/()(),( (2.56)由因果关系，若t 0, =0; 另一方面，当t 0,由(2.56)式得)0 , tE（0)()0 ,(deEtEti(2.57) 如果0 t 0，
27、在这种情况下，式(2.56)积分仍在的上半复平面进行，则 = 0。)0 , tE（反射法包括两类：一是通过两个参数的独立测量，来确定n 和 这两未知数；二是通过一个参数在一个尽可能宽领域内的测量，然后通过积分得到另一个参数以及其它所有光学常数。讨论：在正入射下的振幅反射系数为iirernnirrr011 (2.59)其中r是的解析函数，除非n = nr + i = -1，但这不可能，因为根据定义n0,0。2.4.4 反射系数的KK变换因为 ， 所以 r 0。1, 0,nirErE , 没有 , 则没有 , 因此 r 是一个线性响应函数，满 足 KK 变换的条件。反射光谱R（）易测，r0()=R
28、()1/2 。如果 能通过 r0变换得到，测R（）, 即可求 t 和 n , 等。 分析lnr = lnr + i 的解析性。 因r（）解析，ln r（）无极点。 当 ，积分不为0，KK关系不能直接套用。iErE)(ln, 1,0rn定义新函数r2-) (ln 11) (rfr(2.60)利用留数积分公式，采用如图2.11所示的积分环路C，=i,=r，可以得到)(ln21)(ln2 )(ln) () () (irriridfpdfrrc(2.61) 由 ，可知 lnr(i) 为实数；由 1/ 1)()(nnrriirirrrtgrrrnrnnr/)()1/(2)1/(12/1220222222
29、得 lnrr() 和 lnr0() 是偶函数，而() 为奇函数，因此得02220) (2 11) (1)(ln)(lndPdPirrrrrr(2.62a)022022020) (ln) (ln2- 11) (ln1)(dRPdrPdrPrrrrrrr(2.62b) n()，() 与 r0()，( ) 之间的关系为1)(cos)(2)()(sin)(2)(1)(cos)(2)()(1)(020002020rrrkrrrn (2.63)图2.13（a）给出垂直入射下InP半导体的反射光谱，利用KK关系得到的n()，()的色散关系示于图2.13(b)。 利用分步积分的公式以及dxxfxFxfxFxd
30、fxFxx)()( )()()()(21(2.64) 22222222ln2lndddd (2.65)2.5 微分形式的KK变换将积分形式的KK化为微分形式0222ln) (11)(dddir0ln) (1)(dddri(2.66)0ln) (21)(dddacn (2.67)0ln) (21)(dddR (2.68)微分因子说明，光学响应函数某一分量的色散曲线中对频率微商极大处，对应光学响应函数另一分量色散曲线上的峰；反之，光学响应函数某一分量的色散曲线中对频率商极小处，对应光学响应函数某一分量的色散曲线中对频率微商极小处，对应光学响应函数另一分量色散曲线上的谷。 对于直接光学跃迁的半导体，
31、 由此得出r()应在带隙Eg处出现峰；从式(2.67)表示的n ()，a ()微分KK变换，可以预计，在材料的吸收边a ()的斜率极大处，折射率 n 应该出现峰；同理，n ()的峰和谷应出现在()上升沿和下降沿的斜率极大处 21)(/)(giEdd 对于离子晶体，反谱R（）具有类似 于方波的简单结构，从 和R 的微分KK庆系可以得出，对 的贡献主要由于d R d 0 的部分。光学响应函数求和法则指的是光学响应函数在全频域的积分等于某个定数。 2.61 高频下光学响应函数的求和法则 当所涉及的频率0,时，可以将()进行泰勒级数展开，其形式为2.6 光学响应函数的求和法则32222202-1 1)
32、(limlimppii(2.69)3222)( 1)(pipr (2.70)固有频率0，根据Lorentz理论，代表束缚作用力-m02 ，和阻尼作用力-m ，可以忽略不计。在这种情况下，等离子体振荡决定了介电函数的实部，在介电函数的虚部中不包含与3反比项，即在一级近似下，可将介电函数的虚部i()作为0级小量处理 。 xx因此，在高频下主宰体系的光学响应，不是与位移 成正比的束缚力，也非与速度 /dt 成正比的阴尼力，而是与体系的总电子数 见式(1.41)有关的惯性作用。在高频下 xdx220/ emNp) (2- ) (202022limlimddPrii(2.71a)1) (2 1) (20
33、022limlimddPrri(2.71b)结合介电响应函数在高频下的渐近行为(2.69)和(2.70)式，并取一级近似，可以得到介电响应函数的求和法则202) (pid (2.72a)01)(0di(2.72b)021) (000di(2.72c) 其中式(2.72a)也叫做振子强度(f)求和法则，式(2.72b)和(2.72c)叫做惯性求和法则，式(2.72b)适合于半导体和绝缘体的束缚电子，式(2.72c)适应于金属中的自由电子。振子强度求和法则也叫做耗散求和法则。 如果体系有 j 种谐振子参与某一光学过程，其谐振子强度可以表示为0022) (2dmNefipjj (2.73)定义：ne
34、ff 为每个原子在光学过程中实际参与的有效电子数，已知：材料的原子量和密度分别为M和，则参与不学过程 的电子密度 从振子强度求和法则可以得到参与光学过程的有效电子数为 )(effnMN 00220) (2)(2demMdeMnnrieff(2.74) 图2.14表示 Si、Ge和Al的效电子数与光子能量的关系。同理，可以导出折射率及其它光学响应函数的求和法则：024) (pnd (2.75a)001) dn(2.75b) 022) (pcda (2.76)0202) (prd (2.77) 由KK关系可以直接得到计算态（）光学常数的方法。由(2.53),令=0，得作为比较，表2.1给出某些材料的带隙与静态介电常数。 表2.1 室温下某些材料的禁带宽度与静态介电常数) (21)0(0drr(2.78)材料 带隙Eg(eV) 静态介电数 Si Ge PbS PbSe 1.11 0.67 0.37 0.2611.7 16.3 170 2502.6.2 低频下的求和法则静态折射率可以表示为0)(211)0(dan (2.79)