多元线性回归分析的实例研究.doc

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1、科技信息 IT 论坛 SCIENCE & TECHNOLOGYINFORMATION 2009 年 第 9 期 【 摘 要 】 通过运用 多元线性回归分析的实例研究 张宇 山 （ 广东商 学院 数学 与计 算科 学系 广 东 广州 510320） SAS 统计软件 ， 针对一实际例子 ， 编程建立线性 回归模型 ， 并通过 方差分析和共线性判断等对模型参数进行检 验 ， 调整 模型形式 ， 最后得到与原数据比较拟和的模型 。 【 关键词 】 SAS； 多元线性回归 ； 多重共线性 ； 方差膨胀因子 【 Abstract】 By making programmings in SAS, this

2、paper sets up three linear regression models based on real-world data. After analyzing their respective variance and estimating multicollinearity of variables, the models are adjusted to be more adaptive to the data. 【 Key words】 SAS; Linear analysis; Multicollinearity; Variance inflation factor 1 统

3、计 软件 SAS 简介 某成品的密度可作为衡量该产品的指标 它由生 产过程中的 个 SAS 是美国 SAS 软件研究所研制的一套大型集成应用软件系统 ， 变量所决定 ， 5 具有完备的数据存取、数据管理、数据分析和数据展现功能。 尤其是创 业产 品 统 计分析系统部 分，由于其具有 强大的数据分析 能力，在数 据处理和统计分析领域，被誉为国际上的标准软件和最权威的优秀统 计软件包， 广泛应用于政府行 政管理、科研 、教育、生产 和金融等不同 领域，发挥着重要的作用。 SAS 系统操作以编程为主，人机对话界面不 太友好，系统地学习和掌握 SAS，需要花费一定的时间和精力。 但无论 从速度或功能等

4、各个方面， SAS 作为专业统计软件中的巨无霸， 现在 还很难有什么统计软件足以与之抗衡 。 本文使用的是 SAS For Windows 6.12 。 2 实例背景 ： X1 = 该成品所含水量 X2 = 该成品生产过程中所包含的重复使用材料数 3 4 5 现有 48 组数据如表 1。 3 回归分析 首先对 48 组数据进行简单的描述统计量的计算 ， 3.1 模型（ 1） 见表 2。 本文使 用的数据 来源于 料库。 中 Industry 的数据资 表 1 首先从最简单的线性回归模型入手，假设回归模型形式如下： y=0+1x1+2x2+3x3+4x4+5x5+ （ 1 ） 54 X1 X2

5、 X3 X4 X5 Y X1 X2 X3 X4 X5 Y 0 800 135 578 13.195 104 75 800 135 550 12.745 103 0 800 135 578 13.195 102 75 800 135 550 12.745 111 0 800 135 578 13.195 100 75 800 135 550 12.745 111 0 800 135 578 13.195 96 75 800 135 550 12.745 107 0 800 135 578 13.195 93 75 800 135 550 12.745 112 0 800 135 578 13.1

6、95 103 75 800 135 550 12.745 106 0 800 150 585 13.180 118 75 800 150 595 13.885 111 0 800 150 585 13.180 113 75 800 150 595 13.885 107 0 800 150 585 13.180 107 75 800 150 595 13.885 104 0 800 150 585 13.180 114 75 800 150 595 13.885 103 0 800 150 585 13.180 110 75 800 150 595 13.885 104 0 800 150 58

7、5 13.180 114 75 800 150 595 13.885 103 0 1000 135 590 13.440 97 75 1000 135 530 11.705 116 0 1000 135 590 13.440 87 75 1000 135 530 11.705 108 0 1000 135 590 13.440 92 75 1000 135 530 11.705 104 0 1000 135 590 13.440 85 75 1000 135 530 11.705 116 0 1000 135 590 13.440 94 75 1000 135 530 11.705 112 0

8、 1000 135 590 13.440 102 75 1000 135 530 11.705 111 0 1000 150 590 13.600 104 75 1000 150 590 13.835 110 0 1000 150 590 13.600 102 75 1000 150 590 13.835 115 0 1000 150 590 13.600 101 75 1000 150 590 13.835 114 0 1000 150 590 13.600 104 75 1000 150 590 13.835 114 0 1000 150 590 13.600 98 75 1000 150

9、 590 13.835 114 0 1000 150 590 13.600 101 75 1000 150 590 13.835 114 生产过程的平均温度 烘 干炉中的温度 原材料的质量指标 科技信息 IT 论坛 SCIENCE & TECHNOLOGYINFORMATION 2009 年 第 9 期 其中 x1, ,x5 表示数据中的自变量 ， y 为表示产品密度的因变量 。 fii 就称为 2 Xi 的方差膨胀因子，它与 Ri2 有如下关系 ： 2 进行方差分析和参数检验，得到结果见表 3 。 时， 当 Ri 0，即 Xi 与其 他自变量 不线性相关 时， VIFi=1； 当 0 Ri

10、1 ；当 2 ，即 与其他自变量完全线性相关时， 。 从图 2 结果可以看到 ，决定系数 R-Square = 0.6375， 表明方程模 VIFi 1 Ri 1 Xi VIFi= 拟得并不理 想，回归方程的显著性检验 p 值虽然较理想 (.0001)，但回 所有自 变量中 最大的 VIFi 通常用 来作为 多重共 线性严 重程 度的 指 归系数的显著性检验表明除了常数项和 x3 的系数高度显著外 ， 其余 标，如果 maxVIFi 10 ，说明共线性可能严重影响了最小二 乘估计值， 就要进行自变量的筛选等来调整原方程。 系数都不十分显著，特别是 看到： x4 和 x5 。 另外我们通过绘制残

11、差图，可以 在模型 （1） 中出现了类似于问题 （1） 的结果，以下为其 VIF 结果 。 Variance Variable Intercept X1 X2 X3 X4 X5 很明显， VIF4 和 VIF5 DF 1 1 1 1 1 1 都太大了。 Inflation 0 3.63163 1.02953 2.23149 40.14088 29.70489 以下 的 Pearson 系 数 相 关 矩 阵 matrix）反映了各变量之间的关系。 （ Pearson correlation coefficients 图 1 模型 （ 1） 的残差图 可以看到，在 y =105 ，残 差都在零线

12、以下。 所以综合上述，模型（ 1） 并不是一个与原数据拟和十分理想的模型。 表 2 表 3 由上面的数据可看出 ， X4 和 X5 有很强的相关性，且 X4 与 y 更相 关。 由此考虑去除 x4 或把 x4 和 x5 都去除。 3.3 模型（ 2）和模型（ 3） p p 完全模型的误差方差的估计 -(n-2p) 即若用 平方和，则 SSEP 表示 k 个自变量中的 p 个自变量建立的方程的剩余 Cp= SSE p -(n-2p-2) 3.2 调整模型的思路 MSE 如果每个数对 (p+1 ， Cp)表示一个预测变量的子集，则数对 (p ， Cp)的 曲线图显示了 预测观察响应 的模型的好坏

13、，一般的 好的模型 其 (p+1 ， Cp)点靠近 45 度 直线。 也就是按照 Cp 准则选 择除完全模型外 Cp 值与 (p+1)最接近的模型。 R VIF ， SAS ， 模型（ 2 ）和模型（ 3）： 2 y= + x + x x + x x + x + 2 在多元线性回归的应用中可能碰到这样的问题：（ 1） 在某个检验 0 3 3 12 1 2 23 2 3 4 4 2 2 2 2 水 平 下，整个回归 方程的统计检验 小于 ，而方程的各 偏回归系数 该模型是在所有剔除 X5 后由 X1， X2， X3， X4， X1 ， X2 ，X3 ， X4 ， 以及 的 检验却大于 ；（ 2）

14、 根 据专业知识， 某 自变量与因 变量间关 系密切 ， X1X2， .， X3X4 组成的所有可能的自变量组所建立的回归方程 中选择 出来的。 但 检 验 结 果 大 于 。 在 统 计 学 中 这 种 现 象 称 为 多 重 共 线 性 模型 （ 3 ）： y= + x + x x + x x + x x x + （ 3 ） （ multicollinearity ）。 当自变量间存在近似的线性关系，即某个自变量能 0 2 2 23 2 3 13 1 3 123 1 2 3 近似的由其它自变量的线性函数来描述，就会造成参数 估计的误差急 剧增大，从而导致了上述的问题。 如 何识别自变 量组

15、（ X1,X2, ,Xn） 是否存在 多重共 线性， 首先想 到 以 X1,X2, ,Xn 中的 一个（如 Xi）为因 变量，其 他的 Xj(ji)为自变 量 建立回归 方程，看 此回归方 程的决 定系数 （记 为 Ri ） 是否较 大，若 2 Ri ， Xi Xj 。 n 自变量 相应的就可求得 n 个 Ri ，只要其中 有一个 Ri 较 大，该组自变 2 2 量就存在多重共线现象。 而在实际中并不需要建立 n 个回归方程来求 Ri ， (variance inflation factor, VIF) 标准。 设 X1,X2, ,Xn 的 相关矩阵 CORRx，可以 证明 Ri 与 (COR

16、Rx)2 1 fii fii=(1-Ri ) 2 统计量 具有 个参数（ 包括截距）的子集模型的残差平方和 = 2 22 2 2 -1 该模型是从将 x4 和 x5 都剔除了的回归方程中选取出来的。 但是模型（ 3）的 VIF 还是明显偏大，如下： Variable DF Variance Inflation INTERCEP 1 0.00000000 X2 1 6.38480145 X13 1 82.00000000 X23 1 5.41736289 X123 1 82.99728629 而模型（ 2）则符合要求： Standardized Variance Variable DF Esti

17、mate Inflation 55 科技信息 IT 论坛 SCIENCE & TECHNOLOGYINFORMATION 2009 年 第 9 期 INTERCEP X3 X1X2 X2X3 1 1 1 1 0.00000000 0.88567868 0.21251572 -0.17327640 0.00000000 2.33109818 1.60950648 1.23935515 4 结论 通过三个模型的比较，可以认为模型 把模型（ 2）的各系数代入方程得： （2 ） 最好 。 2 X4*X4 1 -0.76078293 2.72263588 2 y=64.33222+0.909998x3+

18、0.000047934x1x2-0.000084587x2x3-0.000238x 即为所求得的回归方程。 科 4 所以模型（ 2）比模 型（ 3 ）好，以下为模型（ 1）和（ 2） 的 R 和 MSE 的 比较。 【 参考文献 】 点。 MODEL Model(1) Model(2) 可看出，模型 （2） 优于模型 R-Square 0.6375 0.6964 （ 1 ），由模型 （2 ） Root MSE 4.95985 4.81775 的残差图也说明了这一 1 王孝仁 ， 王松桂 编译 . 实 用多元 统计分 析 M . 上海科 学技 术出版 社， 1990， 195-264. 2上海师

19、范大学数学系概率统计教研组编 .回归分析及其试验设计 M .上 海教 育出版社， 1978. 3沈其君主编 .SAS 统计分析 M .东南大学出版社 . 4 SAS DOC INSIGHT. http:/rss.acs.unt.edu/sasdoc/insight. 5 SAS 6.12 教程 . http:/ 作者 简介 ： 张宇山 （ 1975.5）， 男 ， 汉族 ， 广东兴宁人 ， 广东 商学院数学与 计 算科学学院讲师 ， 硕士 ， 主要从事应用数学和数理统计的研究 。 责任编辑 ： 韩铭 图 2 模型 （ 2） 的残差图 至于模型的回归 诊断，以下为残差的 Q-Q图 。 图中的 “

20、” 号表示 标准正态 u 值的参 考直线， “* ”号表示实际 残差数据点，如果残差服从 正态分布 ，则观测值数据 “* ”构成的直线 与参考直线基本 重合。 在图 中，残差值与参考直线基本重合所以可以认为误差服从正态分布。 图 3 模型 （ 2） 的残差的 Q-Q 图 （ 上接第 97 页 ）找到了这种幻觉 。 超越性、有无店铺经营 。 大学生在找工作 时要特别注意 ： 1 ） 通过正规的招聘 单位寻找 工 随着社会 、 经济的发展 ， 新形势下的大学 生安全问题也 出现了一 作。 各 高校与教育 行政部门所安排 的就业招聘需 要严格审查单位 资 质，可靠性比较高。 2）通过其他途径找到的工

21、作要严格审查公司 的资 质与信用，包括从网上、营业地的工商部门查询，要求对方出示 营业执 照和组织机构代码证书、开户许可证书、税务登记证书和代理授权 书。 3 ） “朋友不言商 ”，传销多通过同学、朋友等熟人进行，不要因朋 友感情 害了自己。 4 ）仔细弄清直销与传销的区别：有无入门费、有无依托优质 产品、产品是否在市场上销售、有无退货保障制度、销售人员结 构有无 些新的特征。 我 们一方面要从 现实之中多 加观 察，提高警惕 性、警觉 性，对于大学生的安全教育工作严抓不懈，做到 “ 防患于未燃 ”；另一个 方面又要能很好 的处理突发事 故，一旦发生， 学校与学生都 能沉着应 对，采取相应的策略。 科 责任编辑 ： 田瑞鑫 56