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1、6.4 6.4 无穷区间上的反常积分简介无穷区间上的反常积分简介6 6.4.4.1 1 无穷区间上的反常积分的概念无穷区间上的反常积分的概念6 6.4.4.2 2 无穷区间上反常积分计算举例无穷区间上反常积分计算举例例例 1求由曲线求由曲线 y = e- -x， y 轴轴及及 x 轴所围成轴所围成开口开口曲边梯形的面积曲边梯形的面积. 解解这是一个开口曲边梯形，这是一个开口曲边梯形， 为求其面积，任取为求其面积，任取 b 0, + )， 在有限区间在有限区间 0, b 上，上， 以曲线以曲线 y = e- - x为曲边的曲边为曲边的曲边梯形面积为梯形面积为.e11ede00bbxbxx by
2、= e- -x yxO(0,1) 开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积 一、一、无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分xAbaxbdelim . 1e11lim bby = e- -xyxbO(0,1)即即当当 b + + 时时，阴影部分曲边梯形面积的极限就，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，是开口曲边梯形面积，定义定义 1设函数设函数 f (x) 在在 a, + + ) )上连续上连续， 取实取实数数 b a，如果极限如果极限 babxxfd)(lim 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间 a, + + ) ) 上的广义积分上的广义积分，.d)(
3、limd)( babaxxfxxf这时也称这时也称广义积分收敛广义积分收敛，,d)( axxf记作记作即即存在存在，否则称否则称广义积分发散广义积分发散. .定义定义 2设函数设函数 f (x) 在在 (-(- , b 上连续上连续， 取 实取 实数数 a b， 如果极限如果极限 baaxxfd)(lim 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间(-(- , b 上的广义积分上的广义积分，xxfxxfbbaad)(limd)( 这时也称这时也称广义积分收敛广义积分收敛，,d)( bxxf记作记作即即存在存在，否则称否则称广义积分发散广义积分发散. .定义定义 3设
4、函数设函数 f (x) 在在 (-(- , + + ) ) 内连续内连续，且且对任意实数对任意实数 c， 如果广义积分如果广义积分xxfxxfccd )(d)( 与与 则称上面两个广义函数积分之和为则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无在无穷区间穷区间 (- - , + + ) 内的广义积分内的广义积分，,d)(d)(d)( ccxxfxxfxxf这时也称广义积分收敛，这时也称广义积分收敛，,d)( xxf记作记作即即都收敛都收敛，否则称广义积分发散否则称广义积分发散.若若 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数，并记的一个原函数，并记),(lim)(xFFx ).(lim)(xF
5、Fx 则定义则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为中的广义积分可表示为 axxfd)( axF)(，)()(aFF bxxfd)(bxF )(，)()( FbF xxfd)( )(xF. )()( FF例例 2求求.d1102xx 解解xxd1102 0arctan x.202 .dcos0的收敛性的收敛性xx 例例 3判断判断解解.sindcos00 xxx由于当由于当 x + + 时时，sin x 没有极限，所以广义积分没有极限，所以广义积分发散发散 .例例 4计算计算.de0 xxx 解解用分部积分法，得用分部积分法，得 0dexxxxxde0 00deexxxx. 1e0 xxxxx
6、xx elimelim其其中中, 0e1lim xx. 0e0 xx即即例例 5判断判断.lnde 的收敛性的收敛性xxx解解 elnlndxx elndxxx elnlnx故该积分发散故该积分发散.例例 6证明反常积分证明反常积分 1,d1xxp 当当 p 1 时，时，收敛；当收敛；当 p 1 时，发散时，发散 .证证 p = 1 时，则时，则 11lndxxx所以该反常积分发散所以该反常积分发散. 11111dppxpxx . 1, 1,11ppp当当当当当当 p 1 时，时，综合上述，综合上述，该反常积分收敛该反常积分收敛. 当当 p 1 时，时，该反常积分发散该反常积分发散. p 1
7、时，则时，则定义定义 4设函数设函数 f (x) 在区间在区间 ( (a, b 上连续上连续，取取 e e 0 ， 如果极限如果极限xxfbad )(lim0 e ee e 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在区间在区间 ( (a, b 上上的反常积分，的反常积分，.d )(limd )(0 xxfxxfbaba e ee e这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，否则称否则称反常积分发散反常积分发散. .,)(lim xfax且且,d )(xxfba 记作记作即即存在存在，二、二、无界函数的广义积分无界函数的广义积分定义定义 5设函数设函数 f (x) 在区间在区间 a,
8、b) 上连续上连续，取取 e e 0 ， 如果极限如果极限.d)(lim0 xxfba e ee e 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在区间在区间 a, b) 上上的反常积分的反常积分.xxfxxfbabad)(limd)(0 e ee e这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，否则称否则称反常积分发散反常积分发散. .,)(lim xfbx且且，xxfbad )( 记作记作即即存在存在，定义定义 6设函数设函数 f (x) 在在 a, b 上除点上除点 c (a, b) 外连续外连续，,)(lim xfcx且且如果下面两个反常积分如果下面两个反常积分xxfxxfbccad
9、)(d)( 与与 则称这两个反常积分之和为函数则称这两个反常积分之和为函数 f (x) 在区在区间间 a, b 上上的反常积分的反常积分，.d)(d)(d)(xxfxxfxxfbccaba 这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，否则，称否则，称反常积分发散反常积分发散. .,d )(xxfba 记作记作即即都收敛都收敛，若若 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数，的一个原函数，并并记记)(lim)(xFaFax ).(lim)(xFbFbx )(lim)(xFcFcx ).(lim)(xFcFcx 或或则定义则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为中的反常积分可表示为xxfbad)(
10、).()()(aFbFxFba xxfxxfxxfbccabad)(d)(d)( bccaxFxF )()().()()()( cFbFaFcFxxfbad)( )()()( aFbFxFba例例 7判断判断.1d10 收敛性收敛性xx解解故故积分的收敛积分的收敛. 101dxx. 21210 x 例例 8讨论反常积分讨论反常积分.d10 的的收收敛敛性性pxx解解当当 p = 1 时，时，则则.lnd11010 xxx故积分发散故积分发散.当当 p 1 时时 10dpxx .1,1,11时时当当发散发散时，时，当当ppp10111 pxp综上所述，得：当综上所述，得：当 p 1 时，该反常积分收敛，时，该反常积分收敛，.111时时，该该反反常常积积分分发发散散；当当其其值值为为pp