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1、平衡微平衡微分方程分方程几何方几何方程程物理方物理方程程应变与应变与位移的位移的关系关系应变协应变协调方程调方程方程方程应力应应力应变关系变关系本构方本构方程方程程方程物理方物理方程程应力应应力应变关系变关系本构方本构方程方程程方程eLyUyb31 拉伸和压缩时的应力应变曲线拉伸和压缩时的应力应变曲线弹性极限弹性极限屈服上限屈服上限屈服下限屈服下限比例极限比例极限塑性流动阶段塑性流动阶段强化阶段强化阶段软化阶段软化阶段卸载卸载如果如果 s+ s =2 s，则称为理想包辛格效应，则称为理想包辛格效应具有强化性具有强化性质的材料随质的材料随着塑性变形着塑性变形的增加，屈的增加，屈服极限在一服极限在
2、一个方向上提个方向上提高，而在相高，而在相反方向降低反方向降低0AP )1( APT)1( APT初始截面积初始截面积变形后截面积变形后截面积荷载荷载 A B sO esseEE A sO BE1E s esseEE )(1 A sO BssE A sO Bs =1O n = 1n = 0n=1/2n=1/3nA 单向拉压单向拉压纯剪切纯剪切横向与纵向变形关系横向与纵向变形关系E E拉压弹性模量；拉压弹性模量；G剪切弹性模量；剪切弹性模量； 泊松比泊松比G )1(2 EG考虑考虑x方向的正应变：方向的正应变：x 产生的产生的x方向应变：方向应变：Exx 1y产生的产生的x方向应变：方向应变：E
3、yx 2z产生的产生的x方向应变：方向应变：Ezx 3叠加后得叠加后得321xxxx )(1zyxxE 同理：同理：)(1xzyyE )(1yxzzE 即即物理方程：物理方程：Gxyxy Gzxzx Gyzyz Gyzyz Gzxzx Gxyxy )(1yxzzE )(1zyxxE )(1xzyyE 说明：说明：1.方程表示了各向同性材料的方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系，称为广义应力与应变的关系，称为广义Hooke定律。也称为弹性问题定律。也称为弹性问题物理方程。物理方程。2.方程组在线弹性条件下成立。方程组在线弹性条件下成立。)(21zyxzyxE 令：令：zyx mzyx 3)(
4、 E 21则：则：3)(zyxm m称为平均应力称为平均应力; 称为体积应变称为体积应变KEmm )21(3称为体积弹性模量称为体积弹性模量)21(3 EK Km 物理方程：物理方程：xyxyxyG 2 令令 EEx 1)(1zyxxE )(1zyxxxE GExyxyxyxy212 Gxyxyxy22 Gyzyzyz22 Gzxzxzx22 EEyy 1 EEzz 1 EExx 1物理方程：物理方程： xyxyzzzxzxyyyzyzxxEEEEEE )1(2,211)1(2,211)1(2,211或：或： xyxyxyzzzxzxzxyyyzyzyzxxGGGGGGGGG 2,22,22,
5、2 各种弹性常数之间的关系各种弹性常数之间的关系)21(3,)21)(1(,)1(2 EKEEGGseijij21 Gsesese21332211 G21131332322121 313131231222 Tresca)条件条件(1864)当最大剪应力达到材料的某一定值时，材料就开当最大剪应力达到材料的某一定值时，材料就开始屈服，进入塑性状态。表示为始屈服，进入塑性状态。表示为 max = k当当 1 2 3 时可写作时可写作 1 - 2 = 2k在主应力的次序未知的情况下，在主应力的次序未知的情况下，Tresca屈服条件应屈服条件应表示为：表示为： 上式中至少一个等式成立时，材料就开始进入塑
6、上式中至少一个等式成立时，材料就开始进入塑性变形。性变形。 kkk222133221 Tresca屈服条件参数屈服条件参数常数常数k由试验确定。如由单拉试验，一般取由试验确定。如由单拉试验，一般取k = s/2 (有时取有时取k = s/ )。如由纯剪切试验，。如由纯剪切试验，k = s。因此，按照。因此，按照Tresca屈服条件，材料屈服条件，材料的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在 s = s/2。3Tresca屈服条件的几何表示屈服条件的几何表示(屈服面屈服面)在三维应力空间中，在三维应力空间中， 1 - 2 = 2k 是一对与是一对与 平面的法线平面
7、的法线(等倾线等倾线)以及以及 3轴轴平行的平面。平行的平面。因此，因此，Tresca屈服条件的屈服面是由三对互屈服条件的屈服面是由三对互相平行、垂直于相平行、垂直于 平面的平面组成的正六角平面的平面组成的正六角柱体表面。它与柱体表面。它与 平面的截线（屈服线）是平面的截线（屈服线）是一个正六边形。它的外接圆半径是一个正六边形。它的外接圆半径是 （内切圆半径是（内切圆半径是 ）。）。3/22k2/kTresca屈服条件的几何表示屈服条件的几何表示(屈服面屈服面) 平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹O 1 2 3Mises条件条件Tresca条件条件Tresca屈服条件的几何表示屈服条件的几何表示
8、(屈服面屈服面) 3= 0 平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹Mises条件条件Tresca条件条件O 1 2Tresca屈服条件的几何表示屈服条件的几何表示(屈服面屈服面) 1 2 3o应力空间屈服面应力空间屈服面对对Tresca屈服条件的评价屈服条件的评价Tresca屈服条件是主应力的线性函数，对于屈服条件是主应力的线性函数，对于主应力方向已知且不改变的问题，应用较主应力方向已知且不改变的问题，应用较方便，但忽略了中间主应力的影响，且屈方便，但忽略了中间主应力的影响，且屈服线上有角点，给数学处理带来了困难，服线上有角点，给数学处理带来了困难，没有考虑平均应力对屈服的影响。没有考虑平均应力对屈
9、服的影响。当应力强度达到一定数值时，材料进入塑当应力强度达到一定数值时，材料进入塑性状态。性状态。Mises条件可看成为当形变比能达到一定值条件可看成为当形变比能达到一定值时，材料进入屈服状态。时，材料进入屈服状态。或认为只要应力偏张量的第二不变量达到或认为只要应力偏张量的第二不变量达到某一数值时（或八面体剪应力）达到一定某一数值时（或八面体剪应力）达到一定数值时，材料进入塑性状态。数值时，材料进入塑性状态。 22132322212s 22222222)(6)()()(szxyzxyxzzyyx si 20323Ji 或或或或其中其中按照按照Mises条件条件3ss 213232221121
10、GWs 213232221031 21323222121 i 2132322212)()()(61 J应力强度、等效应力应力强度、等效应力形变比能形变比能应力偏量张量第二不变量应力偏量张量第二不变量八面体（等倾面）上的剪应力八面体（等倾面）上的剪应力Mises屈服条件的几何表示屈服条件的几何表示(屈服面屈服面) 平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹Mises条件条件外切外切Tresca条件条件O 1 2 3内接内接Tresca条件条件Mises屈服条件的几何表示屈服条件的几何表示(屈服面屈服面) 3= 0 平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹O 2 1Mises条件条件Tresca条件条件pd ppp
11、ppddddd313123131222 pd pd 240cos32120cos32cos32321 iiisss 240cos32240cos120cos32120coscos32cos332211 idpiidpiidpippppppdddsdesdesdeijije ddsdesdesdeipippp 23332211ipiijpijspidsdeddd 23,23 莱维米泽莱维米泽斯本构方程斯本构方程莱维米泽莱维米泽斯流动法则斯流动法则普朗特罗伊普朗特罗伊斯流动法则斯流动法则普朗特罗伊普朗特罗伊斯本构方程斯本构方程pijeijijdedede dsGdsdeijijij 2 dGddd
12、sGdsdedGdddsGdsdedGdddsGdsdezxxzxzzzzyzyzyzyyyxyxyxyxxx2,22,22,2 zxixzxzzizzyziyzyzyiyyxyixyxyxixxdWGddsdWGdsdedWGddsdWGdsdedWGddsdWGdsde 2222223,2323,2323,23222232idWkdWd 普朗特罗伊普朗特罗伊斯本构方程斯本构方程设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的 ij、 ij、ui， 求在此基础上，给定体力增量求在此基础上，给定体力增量dfi、ST上面力增量上面力增量 、Su上位上位移增量移
13、增量 时，物体内部各点的应力增量时，物体内部各点的应力增量d ij、应变增量、应变增量d ij 、位移增量位移增量dui。确定这些增量的基本方程组有：确定这些增量的基本方程组有：1） 2）3）本构关系（理想弹塑性材料）本构关系（理想弹塑性材料） 弹性区弹性区 ifdiud0, jiijdfd ijjiijdudud,21 0 ijf ijkkijijdEGdd 2增量理论的基本方程及边值问题的提法增量理论的基本方程及边值问题的提法 塑性区塑性区4）5） 此外，在弹塑性交界面上还应满足一定的连续条件和间此外，在弹塑性交界面上还应满足一定的连续条件和间断性条件。断性条件。 在给定加载历史时，可以对
14、每时刻求出增量，然后用在给定加载历史时，可以对每时刻求出增量，然后用“积分积分”（累计）的方法得出应力和应变等分布规律。（累计）的方法得出应力和应变等分布规律。 (书中书中p103107例题，自学，注意解题思路例题，自学，注意解题思路) 0 ijf ijijijfdGdSe 2kkkkdEd 21 0, 00, 0dfdfd jiijfdld iiuddu i ijpiiijijijsGsGse21232 ipiG 3 ijijse zxzxyzyzxyxyxxxxxxsesese222ii 23 zxiixzziizyziiyzyiiyxyiixyxiixsesese 3,233,233,2
15、3 zxiipzxziipzyziipyzyiipyxyiipxyxiipxGsGeGsGeGsGe 13,212313,212313,2123pijeijijeee 伊伊柳柳辛辛本本构构方方程程设在物体设在物体V内给定体力内给定体力fi ，在应力边界，在应力边界ST上给定面力上给定面力 ，在位，在位移边界移边界Su上给定上给定i，要求物体内部各点的应力，要求物体内部各点的应力 ij、应变、应变 ij、位移位移ui 。确定这些未知量的基本方程组有：确定这些未知量的基本方程组有：1）2）3） 4） if0, jiijf ijjiijuu,21 kkkkijiiijEes 2132ijijiss2
16、3 ijijiee32 jiijfl 全量理论的基本方程及边值问题的提法全量理论的基本方程及边值问题的提法5） 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，问题时，提出的弹性解法显得很方便。提出的弹性解法显得很方便。 将将 代入用位移表示的平衡微分方程得：代入用位移表示的平衡微分方程得： iiuu ijijeGs 12 023, ijijjjikikfeGGuuGK 或或 在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。在弹性状态
17、时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。 213 EK jijijjikikeGfGuuGK,23 其中其中 0)()(000 pijijijijpijijijpdadddwij 0, 0)
18、(0 pijijpijijijddd 1/2 a 1 ijpijfdd ijf 0)(0 ijf 00 , 0ijijdff 000 , 0ijijdff 卸载卸载ijf ,0 f塑塑性性加加载载ijf ,塑塑性性加加载载卸载卸载中中性性变变载载0 f后继面后继面后继面后继面0 fijf ,中中性性变变载载加载加载卸载卸载卸卸载载0)(0 pijijijijpdaddw 1/2 a 1 0)(0 pijijijd 0 pijijdd ijpijFdd 000 , 0ijijdFF 屈服面屈服面(加加载面载面)函数函数 dsdeijpij dsGdsdeijijpij 2ijijsGe21 ijiiijse 23 刚塑性模刚塑性模型型小变形弹小变形弹塑性模型塑性模型比例加载弹比例加载弹塑性模型塑性模型