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1、第二十三讲锐角三角函数一、特殊角的三角函数值一、特殊角的三角函数值: :303045456060sinsin_coscos_tantan_122232322212331 13二、直角三角形中的边角关系二、直角三角形中的边角关系(1)(1)三边之间的关系三边之间的关系:_.:_.(2)(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系:_.:_.(3)(3)边角之间的关边角之间的关系系: :sinAsinA= =cosBcosB=_,=_,sinBsinB= =cosAcosA=_,=_,tanAtanA=_,=_,tanBtanB=_.=_.a a2 2+b+b2 2=c=c2 2A+B=90A+B=90
2、acbcabba三、解直角三角形的应用三、解直角三角形的应用1.1.仰角和俯角仰角和俯角: :如图如图1,1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角, ,视线在水平线视线在水平线_的叫做仰角的叫做仰角, ,在水平线在水平线_的叫做俯角的叫做俯角. .图图1 1上方上方下方下方2.2.坡度坡度( (坡比坡比) )和坡角和坡角: :如图如图2,2,通常把坡面的铅直高度通常把坡面的铅直高度h h和和_之比叫做坡度之比叫做坡度( (或叫做坡比或叫做坡比),),用字母用字母_表示表示, ,即即i=_;i=_;坡面与坡面与_的夹角叫做坡角的夹角叫做坡角, ,记作记作.所以所以
3、i=_=i=_=tantan. .3.3.方位角方位角: :指北或指南的方向线与目标方向所成的小于指北或指南的方向线与目标方向所成的小于9090的角叫做方位角的角叫做方位角. .图图2 2水平水平宽度宽度li ihl水平面水平面hl【思维诊断思维诊断】( (打打“”“”或或“”)”)1 1锐角三角函数是一个比值锐角三角函数是一个比值.( ).( )2 2锐角三角函数中，角度是自变量锐角三角函数中，角度是自变量.( ).( )3 3直角三角形各边长扩大直角三角形各边长扩大3 3倍，其正弦值也扩大倍，其正弦值也扩大3 3倍倍.( ).( )4 4由由coscos 得锐角得锐角6060. ( ).
4、( )12，5 5锐角锐角的正弦值随角度的增大而增大的正弦值随角度的增大而增大.( ).( )6 6锐角锐角的余弦值随角度的增大而增大的余弦值随角度的增大而增大.( ).( )7 7坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比.( ).( )8 8解直角三角形时，必须有一个条件是边解直角三角形时，必须有一个条件是边.( ).( )热点考向一热点考向一 锐角三角函数概念锐角三角函数概念【例例1 1】(2014(2014巴中中考巴中中考) )在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90,sin A= ,sin A= 则则tan Btan B的值为的值为( )( )513
5、，1251312A.B.C.D.1312125【思路点拨思路点拨】先由先由sin Asin A 表示出表示出RtRtABCABC中中A A的对边与斜的对边与斜边长，再由勾股定理求出另一条直角边长，利用锐角三角函数边长，再由勾股定理求出另一条直角边长，利用锐角三角函数的定义求解的定义求解. .513【自主解答自主解答】选选D.sinD.sin A= A= 设设BC=5xBC=5x，AB=13xAB=13x，513，22AC12ACABAC12xtan B.BC5则，故【规律方法规律方法】根据定义求三角函数值的方法根据定义求三角函数值的方法1.1.分清直角三角形中的斜边与直角边分清直角三角形中的斜
6、边与直角边. .2.2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(k(有时也可以设为有时也可以设为1)1)，在求三角函数值的过程中约去，在求三角函数值的过程中约去k.k.3.3.正确应用勾股定理求第三条边长正确应用勾股定理求第三条边长4.4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值应用锐角三角函数定义，求出三角函数值 【真题专练真题专练】1.(20141.(2014湖州中考湖州中考) )如图，已知如图，已知RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=AC=4 4，tan A= tan A= 则则BCBC的长是的长是( )( )A
7、 A2 B2 B8 8C C2 D.42 D.412，55【解析解析】选选A.A.因为因为所以所以 解得解得BC=2.BC=2.BCBC1tan A,tan A,AC42BC142，2.(20142.(2014威海中考威海中考) )如图，在下列网格中，如图，在下列网格中，小正方形的边长均为小正方形的边长均为1 1，点，点A A，B B，O O都在格都在格点上，则点上，则AOBAOB的正弦值是的正弦值是( )( )3 101110ABCD102310【解析解析】选选D.D.作作ACOBACOB于点于点C C，22AC2AO24则，AC210202 5,sin AOB.AO102 5则【变式训练变
8、式训练】如图如图,AOB,AOB是放置在正方形网格中的一个角是放置在正方形网格中的一个角, ,则则cosAOBcosAOB的值是的值是. . 【解析解析】连接连接ACAC由网格图知由网格图知AOCAOC是是等腰直角三角形，设小正方形的边长等腰直角三角形，设小正方形的边长为为1 1，则，则coscos AOB AOB答案：答案：OC5OA10，OC52OA210223.(20143.(2014汕尾中考汕尾中考) )在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，若，若则则coscos B B的值是的值是( )( )3sin A5，4334A.B.C.D.5543【解析解析】选选B.B.在在Rt
9、RtABCABC中，中，C=90C=90, , 所以所以BC3sin A,AB5BC3cos B.AB5热点考向二热点考向二 特殊角三角函数值的计算特殊角三角函数值的计算【例例2 2】(2013(2013重庆中考重庆中考) )计算计算6tan 456tan 45-2cos 60-2cos 60的结果的结果是是( )( )A.4 B.4 C.5 D.5A.4 B.4 C.5 D.5【思路点拨思路点拨】将将coscos 60 60，tan 45tan 45的值分别代入计算，即可的值分别代入计算，即可得出答案得出答案33【自主解答自主解答】选选D.6tan 45D.6tan 45-2cos 60-2
10、cos 60=6=61-21-2 =6-1=5. =6-1=5.12【规律方法规律方法】熟记特殊角的三角函数值的两种方法熟记特殊角的三角函数值的两种方法1.1.按值的变化：按值的变化：3030，4545,60,60角的正余弦的分母都是角的正余弦的分母都是2,2,正正弦的分子分别是弦的分子分别是 余弦的分子分别是余弦的分子分别是 正切分别正切分别是是2.2.特殊值法：特殊值法：(1)(1)在直角三角形中，设在直角三角形中，设3030角所对的直角边为角所对的直角边为1,1,那么三边长分别为那么三边长分别为1, 2.(2)1, 2.(2)在直角三角形中，设在直角三角形中，设4545角所对角所对的直角
11、边为的直角边为1,1,那么三边长分别为那么三边长分别为 再根据锐角三角函数的再根据锐角三角函数的定义推导即可定义推导即可. .1, 2, 3,3, 2,1,3,1, 3.33,1,1, 2,【真题专练真题专练】1.(20141.(2014天津中考天津中考) )coscos 60 60的值等于的值等于( )( )【解析解析】选选A.cosA.cos 60 60= =133A.B.C.D. 32321.22.(20142.(2014凉山州中考凉山州中考) )在在ABCABC中，若中，若| |coscos A- |+(1-tan B) A- |+(1-tan B)2 2=0,=0,则则C C的度数是
12、的度数是( )( )A.45A.45 B.60 B.60 C.75 C.75 D.105 D.105【解析解析】选选C.C.由题意得，由题意得，coscos A- =0,1-tan B=0 A- =0,1-tan B=0，coscos A= , A= ,tan B=1,A=60tan B=1,A=60,B=45,B=45, ,故故C=180C=180-A-B=75-A-B=75. .121212【方法技巧方法技巧】锐角三角函数值的应用锐角三角函数值的应用(1)(1)已知特殊角，求相应角的三角函数值已知特殊角，求相应角的三角函数值. .(2)(2)根据特殊角的三角函数值，求相应锐角的度数根据特殊
13、角的三角函数值，求相应锐角的度数(3)15(3)15，7575角的三角函数值，可通过构造含角的三角函数值，可通过构造含3030角或角或4545角的直角三角形求出角的直角三角形求出3.(20143.(2014白银中考白银中考) )ABCABC中，中，A A，B B都是锐角，若都是锐角，若sin Asin A 则则C=_.C=_.【解析解析】因为因为 所以所以A=60A=60，B=60B=60，所以所以C=60C=60. .答案：答案：606031cos B22，31sin A,cos B22，4.(20134.(2013齐齐哈尔中考齐齐哈尔中考) )请运用你喜欢的方法求请运用你喜欢的方法求tan
14、 75tan 75_【解析解析】如图，作如图，作BCDBCD，使，使C C9090，DBCDBC3030，延长延长CBCB到到A A，使，使ABABBDBD，连接，连接ADADABABBDBD，A AADBADBDBCDBC30302A2A，A A1515，ADCADC7575设设CDCDx(x0)x(x0)，则，则ABABBDBD2CD2CD2x2x，答案：答案：2 2BC3CD3x，ACACABBC23 xtan ADCtan 75CD23 x23x ， 35.(20145.(2014贺州中考贺州中考) )计算：计算：【解析解析】原式原式= =2 01401( 32)1sin 45 .2
15、221 12.22 热点考向三热点考向三 解直角三角形解直角三角形【例例3 3】(2013(2013常德中考常德中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，AEAE是是BCBC边上的中线，边上的中线，C C4545，sin Bsin BADAD1 1(1)(1)求求BCBC的长的长. .(2)(2)求求tan DAEtan DAE的值的值13，【解题探究解题探究】(1)(1)求求BCBC的长的两个思考的长的两个思考: :图中有直角三角形吗图中有直角三角形吗? ?若有若有, ,请写出来请写出来. .提示提示: :图中的直角三角形分别是图中的直角三角形分别
16、是RtRtABD,RtABD,RtADC,RtADC,RtADEADE. .能求出能求出BD,DCBD,DC的长吗的长吗? ?提示提示: :分别在分别在RtRtABD,RtABD,RtADCADC中中, ,求求BD,DCBD,DC的长的长. .(2)(2)求求tanDAEtanDAE值的两个思考值的两个思考: :DAEDAE在哪个直角三角形中在哪个直角三角形中? ?提示提示: :在在RtRtAEDAED中中. . 如何求如何求DAEDAE的对边的对边DEDE的长的长? ?提示提示: :先由先由AEAE是是BCBC边上的中线求出边上的中线求出CECE的长的长, ,再由再由DE=CE-CDDE=C
17、E-CD求得求得DEDE的长的长. . 【尝试解答尝试解答】(1)AD(1)AD是是BCBC边上的高，边上的高，ADBADBADCADC9090在在RtRtABDABD中，中，sin Bsin B ADAD1 1，ABAB3 3BDBD在在RtRtADCADC中，中，C C4545，CDCDADAD1 1BCBCBDBDCDCDAD1AB3 ，2222ABAD312 2 2 2 1(2)AE(2)AE是是BCBC边上的中线，边上的中线，112 2 1DEBCDC2 2 112222 2 1DE2 2 12Rt ADEtan DAEAD12在中，【规律方法规律方法】解直角三角形的三点注意解直角三
18、角形的三点注意1.1.解直角三角形时解直角三角形时, ,要尽量用到已知条件的数据要尽量用到已知条件的数据, ,防止防止“积累误积累误差差”. .2.2.遵守遵守“有弦有弦( (斜边斜边) )用弦用弦( (正弦、余弦正弦、余弦),),无弦用切无弦用切( (正切正切),),宁乘宁乘勿除勿除”的原则的原则, ,提高解题的正确性提高解题的正确性. .3.3.必要时必要时, ,画出图形帮助分析画出图形帮助分析. .【真题专练真题专练】1.(20141.(2014孝感中考孝感中考) )如图如图, ,在在ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD相交成的相交成的锐角为锐角为,若若AC=AC=
19、a,BDa,BD=b,=b,则则ABCDABCD的面积是的面积是( () )A. A. absinabsin B.absinB.absinC.abcosC.abcos D. D. abcosabcos1212【解析解析】选选A.A.作作DEACDEAC，垂足为，垂足为E E，四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，BD=bBD=b，ODCODC11ODbDEOD sin bsin 2211a11SOC DEbsin absin ,222281ABCD4Sabsin .2 ，的面积2.(20142.(2014苏州中考苏州中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC=5
20、,AB=AC=5,BC=8.BC=8.若若BPC= BAC,BPC= BAC,则则tanBPCtanBPC= =. .12【解析解析】如图所示，过点如图所示，过点A A作作AEBCAEBC于点于点E.E.AB=AC=5,AB=AC=5,BE= BC= BE= BC= 8=4,8=4,BAE= BAC,BAE= BAC,BPC= BAC,BPC=BAE.BPC= BAC,BPC=BAE.在在RtRtBAEBAE中，由勾股定理得中，由勾股定理得答案：答案：121212122222AEABBE543,BE4tan BPCtan BAE.AE3433.(20133.(2013荆门中考荆门中考) )如图
21、如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,ACB=90ACB=90,D,D是是ABAB的中点的中点, ,过过D D点作点作ABAB的垂线的垂线交交ACAC于点于点E,BC=6,sinA= ,E,BC=6,sinA= ,则则DE=DE=. .35【解析解析】在在RtRtABCABC中，中，C C9090，BCBC6 6，ABAB1010，D D是是ABAB的中点，的中点，ADAD ABAB5 5ADEADEACBACB，答案：答案：3sin A5 ，2222ACABBC1068 12DEADDE515DEBCAC684，即，解得1544.(20144.(2014重庆中考重庆中考) )如图，如图
22、，ABCABC中，中，ADBCADBC，垂足为点垂足为点D D，若，若BC=14BC=14，AD=12AD=12，tanBADtanBAD= =求求sin Csin C的值的值34，【解析解析】ADBC,tanBADADBC,tanBAD= =tanBADtanBAD= AD=12,= AD=12,BD=9,CD=BC-BD=14-9=5.BD=9,CD=BC-BD=14-9=5.在在RtRtADCADC中，由勾股定理中，由勾股定理, ,得得BD.AD3,42222ACADCD12513,AD12sin C.AC13热点考向四热点考向四 解直角三角形的应用解直角三角形的应用【例例4 4】(20
23、14(2014南充中考南充中考) )马航马航MH370MH370失联后失联后, ,我国政府积极参与我国政府积极参与搜救搜救. .某日某日, ,我两艘专业救助船我两艘专业救助船A A，B B同时收到有关可疑漂浮物的同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物讯息，可疑漂浮物P P在救助船在救助船A A的北偏东的北偏东53.5053.50方向上，在救助方向上，在救助船船B B的西北方向上，船的西北方向上，船B B在船在船A A正东方向正东方向140140海里处海里处.(.(参考数据：参考数据：sin 36.5sin 36.50.6,cos 36.50.6,cos 36.50.8,tan 36.50.8
24、,tan 36.50.75).0.75).(1)(1)求可疑漂浮物求可疑漂浮物P P到到A A，B B两船所在直线的距离两船所在直线的距离. .(2)(2)若救助船若救助船A A、救助船、救助船B B分别以分别以4040海里海里/ /时，时，3030海里海里/ /时的速度时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P P处处. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)过点过点P P作作PEABPEAB于点于点E,E,在在RtRtAPEAPE中求中求PEPE即可即可. .(2)(2)在在RtRtBPEBPE中中, ,求出求出BP,
25、BP,分别计算出两艘船需要的时间分别计算出两艘船需要的时间, ,即可即可作出判断作出判断. .【自主解答自主解答】(1)(1)如图所示，过点如图所示，过点P P作作PEABPEAB于点于点E.E.由题意，得由题意，得PAE=36.5PAE=36.5，PBA=45PBA=45，设设PE=xPE=x海里，则海里，则BE=PE=xBE=PE=x海里海里. .AB=140AB=140海里，海里，AE=(140-x)AE=(140-x)海里海里. .在在RtRtPAEPAE中，中，解得解得x=60 x=60海里海里. .所以可疑漂浮物所以可疑漂浮物P P到到A A，B B两船所在直线的距离为两船所在直线
26、的距离为6060海里海里. .PExtan PAE0.75,AE140 x，即(2)(2)在在RtRtPBEPBE中，中，PE=60PE=60海里，海里，PBE=45PBE=45, ,则则BP= 84.8(BP= 84.8(海里海里),),B B船需要的时间为：船需要的时间为： 2.83(2.83(小时小时),),在在RtRtPAEPAE中，中， = =sinPAEsinPAE，AP=AP=PEPEsinPAEsinPAE=60=600.6=100(0.6=100(海里海里),),AA船需要的时间为船需要的时间为:100:10040=2.5.2.8340=2.5.2.832.5,A2.5,A船
27、先到达船先到达. .2PE60 284.830PEAP【规律方法规律方法】直角三角形解决实际问题的方法直角三角形解决实际问题的方法1.1.利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题, ,一般先把一般先把实际问题转化为数学问题实际问题转化为数学问题, ,若题中无直角三角形若题中无直角三角形, ,需要添加辅助需要添加辅助线线( (如作三角形的高等如作三角形的高等) )构造直角三角形构造直角三角形, ,再利用解直角三角形再利用解直角三角形的知识求解的知识求解. .2.2.解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直角三角解直角三角形时结合图形分清图形中哪个
28、三角形是直角三角形形, ,哪条边是角的对边、邻边、斜边哪条边是角的对边、邻边、斜边. .此外正确理解俯角、仰角此外正确理解俯角、仰角等名词术语是解答此类题目的前提等名词术语是解答此类题目的前提. .【真题专练真题专练】1.(20141.(2014台州中考台州中考) )如图如图, ,某翼装飞行运动员从离水平地面高某翼装飞行运动员从离水平地面高AC=500mAC=500m的的A A处出发处出发, ,沿着俯角为沿着俯角为1515的方向的方向, ,直线滑行直线滑行16001600米到米到达达D D点点, ,然后打开降落伞以然后打开降落伞以7575的俯角降落到地面上的的俯角降落到地面上的B B点点, ,
29、求他求他飞行的水平距离飞行的水平距离BC(BC(结果精确到结果精确到1m).(1m).(参考数据参考数据:sin15:sin15 0.26,cos150.26,cos150.97,tan150.97,tan150.27)0.27)【解析解析】过点过点D D作作DEACDEAC，作，作DFBCDFBC，垂足分别为，垂足分别为E E，F.F.ACBCACBC，四边形四边形ECFDECFD为矩形，为矩形，EC=DF.EC=DF.在在RtRtADEADE中，中，ADE=15ADE=15，AD=1 600AD=1 600，AE=AE=ADsinADEADsinADE=1 600sin 15=1 600s
30、in 15，DE=DE=ADcosADEADcosADE=1 600cos 15=1 600cos 15. .EC=AC-AEEC=AC-AE，DF=500-1 600sin 15DF=500-1 600sin 15. .在在RtRtDBFDBF中，中，BF=BF=DFtanFDBDFtanFDB= =ECtanECtan 15 15. .BC=CF+BF=1 600cos 15BC=CF+BF=1 600cos 15+(500-1 600sin 15+(500-1 600sin 15)tan 15)tan 151 575.1 575.答：运动员水平飞行的距离为答：运动员水平飞行的距离为1 5
31、751 575米米. .2.(20142.(2014聊城中考聊城中考) )美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过, ,沿沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观. .在数学课在数学课外实践活动中外实践活动中, ,小亮在河西岸滨河大道一段小亮在河西岸滨河大道一段ACAC上的上的A,BA,B两点处两点处, ,利用测角仪分别对东岸的观景台利用测角仪分别对东岸的观景台D D进行了测量进行了测量, ,分别测得分别测得DAC=60DAC=60,DBC=75,DBC=75, ,又已知又已知AB=100AB=100米米, ,求观景台求
32、观景台D D到徒骇河到徒骇河西岸西岸ACAC的距离约为多少米的距离约为多少米( (精确到精确到1 1米米).(tan60).(tan601.73, 1.73, tan75tan753.73)3.73)【解析解析】作作DFACDFAC，垂足为点，垂足为点F F，设，设DF=h.DF=h.在在RtRtDFADFA中，中，即观景台即观景台D D到徒骇河西岸到徒骇河西岸ACAC的距离约为的距离约为323323米米. .DFtan DAF.FAhhhFA.tan DAFtan 601.73DFRt DFBtan DBF,FBhhhhhFB.FAFB100.tan DBFtan 753.731.733.7
33、31.73 3.73 100h323.2在中，解得米命题新视角命题新视角锐角三角函数的阅读理解题锐角三角函数的阅读理解题【例例】(2014(2014遂宁中考遂宁中考) )如图如图, ,根据图中数据完成填空根据图中数据完成填空, ,再按再按要求答题要求答题: :sinsin2 2A A1 1+sin+sin2 2B B1 1= =;sin;sin2 2A A2 2+sin+sin2 2B B2 2= =; ;sinsin2 2A A3 3+sin+sin2 2B B3 3= =. .(1)(1)观察上述等式观察上述等式, ,猜想猜想: :在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90, ,都有
34、都有sinsin2 2A+ A+ sinsin2 2B=B=. .(2)(2)如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,B,C,A,B,C的对边分别的对边分别是是a,b,ca,b,c, ,利用三角函数的定义和勾股定理利用三角函数的定义和勾股定理, ,证明你的猜想证明你的猜想. .(3)(3)已知已知:A+B=90:A+B=90, ,且且sinAsinA= = 求求sinBsinB. .513，【审题视点审题视点】创创新新点点(1)(1)以阅读理解题的形式出现以阅读理解题的形式出现(2)(2)综合运用锐角三角函数概念、特殊角的三角函综合运用锐角三角函数概念、特殊角的三角
35、函数值、解直角三角形等知识数值、解直角三角形等知识切切入入点点第第(1)(1)题通过类比得到题通过类比得到sinsin2 2A+sinA+sin2 2B=1.B=1.第第(2)(2)题题, ,锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义求求sinA,cosAsinA,cosA计计算算sinsin2 2A+cosA+cos2 2AA结论结论. .第第(3)(3)题题,sin,sin2 2A+sinA+sin2 2B=1sinB= B=1sinB= 计算得出结果计算得出结果21sin A【自主解答自主解答】(1)1.(1)1.(2)(2)在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90. . sinsin
36、2 2A+sinA+sin2 2B=B=ADB=90ADB=90，BDBD2 2+AD+AD2 2=AB=AB2 2，sinsin2 2A+cosA+cos2 2A=1.A=1.(3) sin(3) sin2 2A+sinA+sin2 2B=1B=1，absin Asin Bcc，222abc，5sin A13，2512sin B1 ().1313【规律方法规律方法】锐角三角函数中的几个重要关系式锐角三角函数中的几个重要关系式1.1.若若A A为锐角，则有为锐角，则有sin(90sin(90A)=A)=coscos A A，cos(90cos(90A)A) =sin A. =sin A.2.2
37、.平方关系：同一个角的正弦和余弦的平方和等于平方关系：同一个角的正弦和余弦的平方和等于1 1，即，即sinsin2 2A+cosA+cos2 2A=1. A=1. 3.3.正余弦与正切之间的关系：一个角的正切值等于这个角的正余弦与正切之间的关系：一个角的正切值等于这个角的正弦值与余弦值的比，即正弦值与余弦值的比，即 或或sin A=tan sin A=tan A Acoscos A. A.4.4.正切之间的关系：正切之间的关系：tan tan A Atantan B=1(A+B=90 B=1(A+B=90).).sin Atan Acos A【真题专练真题专练】1.(20141.(2014宜宾
38、中考宜宾中考) )规定规定sin(-x)=-sin(-x)=-sinxsinx，cos(-xcos(-x)=)=coscos x x，sin(x+ysin(x+y)=sin )=sin xcosxcos y+cosy+cos xsinxsin y y，据此判断下列等式成，据此判断下列等式成立的是立的是_(_(写出所有正确的序号写出所有正确的序号).).cos(-60cos(-60)= )= sin 75sin 75= = sin 2x=sin 2x=2sin 2sin xcosxcos x x；sin(x-ysin(x-y)=sin )=sin xcosxcos y-cosy-cos xsin
39、xsin y. y.12 ；624；【解析解析】cos(-60cos(-60)=)=coscos 60 60= = 命题错误；命题错误；sin 75sin 75=sin(30=sin(30+45+45)=sin 30)=sin 30cos45cos45+cos 30+cos 30sin 45sin 45= = 故命题正确故命题正确. .sin 2x=sin sin 2x=sin x xcoscos x+cosx+cos x xsinsin x=2sin x=2sin x xcoscos x x，故命题正确；故命题正确；sin(x-ysin(x-y)=)=sinxsinxcos(-y)+cosx
40、cos(-y)+cosxsin(-ysin(-y)=)=sinxsinxcoscos y y- -coscos x xsinsin y y，故命题正确，故命题正确答案：答案：12，12326222224，2.(20132.(2013湛江中考湛江中考) )阅读下面的材料：阅读下面的材料：先完成阅读填空，再按要求答题：先完成阅读填空，再按要求答题： 则则sin sin 2 23030coscos 2 23030=_=_； 则则sin sin 2 24545coscos 2 24545=_=_； 则则sin sin 2 26060coscos 2 26060=_=_观察上述等式，猜想：对任意锐角观察
41、上述等式，猜想：对任意锐角A A，都有，都有sin sin 2 2A Acoscos 2 2A=A=_13sin 30cos 3022 ，22sin 45cos 4522 ，31sin 60cos 6022 ，(1)(1)如图，在锐角三角形如图，在锐角三角形ABCABC中，利用三角函数中，利用三角函数的定义及勾股定理对的定义及勾股定理对A A证明你的猜想证明你的猜想. .(2)(2)已知：已知：A A为锐角为锐角( (coscos A A0)0)且且sin Asin A求求coscos A A35，【解析解析】填空答案：依次填：填空答案：依次填：11111111(1)(1)过点过点B B作作B
42、DACBDAC于点于点D D，则，则ADBADB9090在在RtRtADBADB中，中，由勾股定理得由勾股定理得BDBD2 2ADAD2 2ABAB2 2，即即sin sin 2 2A Acoscos 2 2A A1.1.(2)sin A(2)sin A sin sin 2 2A Acoscos 2 2A A1 1，A A为锐角，为锐角，BDADsin Acos AABAB，222222222BDADBDADABsin Acos A()()1ABABABAB，35，2234cos A1 sin A1 ( )55 【典例典例】(2013(2013昆明中考昆明中考) )如图如图, ,为了为了缓解交
43、通拥堵缓解交通拥堵, ,方便行人方便行人, ,在某街道计在某街道计划修建一座横断面为梯形划修建一座横断面为梯形ABCDABCD的过街的过街天桥天桥, ,若天桥斜坡若天桥斜坡ABAB的坡角的坡角BADBAD为为3535, ,斜坡斜坡CDCD的坡度为的坡度为i= i= 11.2,11.2,上底上底BC=10m,BC=10m,天桥高度天桥高度CE=5m,CE=5m,求天桥下底求天桥下底ADAD的长度的长度? ? ( (结果精确到结果精确到0.1m,0.1m,参考数据参考数据sin35sin350.57,cos350.57,cos350.82, 0.82, tan35tan350.70)0.70)【误
44、区警示误区警示】错误错误分析分析 第步出现错误第步出现错误对坡度理解错误对坡度理解错误, ,坡度为垂直高度与水平宽度的比坡度为垂直高度与水平宽度的比. .正确正确解答解答 在第步后面应该改为在第步后面应该改为: :斜坡斜坡CDCD的坡度为的坡度为i=11.2,i=11.2,ED=1.2CE=1.2ED=1.2CE=1.25=6(m).5=6(m).AD=AF+FE+EDAD=AF+FE+ED=7.14+10+6=23.1423.1(m).=7.14+10+6=23.1423.1(m).答答: :天桥下底天桥下底ADAD的长度约为的长度约为23.1m.23.1m.CE1ED1.2，【规避策略规避策略】正确理解测量术语正确理解测量术语直角三角形的应用问题直角三角形的应用问题, ,常涉及坡度常涉及坡度( (或坡比或坡比) )、仰角、俯、仰角、俯角、方位角等专业术语角、方位角等专业术语. .正确理解这些术语的含义正确理解这些术语的含义, ,对求出正确对求出正确答案起着至关重要的作用答案起着至关重要的作用. .