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1、第三章 通信系统的理论工具二随机过程结束放映学习目录学习要求内容简介内容简介返回结束随机过程是研究一切随机现象随时间演变过程的数学工具通信系统中的信号与噪声都可看做随时间变化的随机过程。例如信源发送的信号必须具有一定的不可预测性；信号在传输过程中遇到各种噪声干扰等都具有随机性。因此通信中的信源、噪声以及信号传输中的特定线性都需要用随机过程模型来描述。本章主要介绍随机过程的基本概念和数字特征基础，重点研究通信系统中常见的几种重要的随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的情况。 3.1 随机信号的性质 3.2 随机过程的基本概念 3.3 平稳随机过程 3.4 高斯随机过程 3.5 窄带随机过
2、程 3.6 通信系统中常见的噪声 3.7 随机过程通过线性系统学习目录 2.7 随机过程及其在通信中的应用通信系统中很多需要进行分析的信号都是随机信号，所以用以描述随机现象的概率论、随机过程、数理统计等随机数学立论成了必不可少的理论工具。一、随机变量的概率分布随机变量随机变量：若某种试验A的随机结果用X表示，则称X为随机变量，并设其取值为x。随机变量的分布函数随机变量的分布函数：随机变量X取值不超过某个数x的概率P(X x)，记为FX(x)=P(X x)，称此函数为随机变量X的分布函数。分布函数的性质(1) 当x-时，FX(x)0，记为：FX(-)=0；(2) 当x+时，FX(x)1，记为：F
3、X(+)=1；(3) 设x1x2，则有：FX(x1) FX(x2)3.1 随机信号的性质二、随机变量的概率密度连续随机变量概率密度连续随机变量概率密度：随机变量X在任何区间(a,b上取值的概率可写成：(1)(2) 分布函数FX(x)是单调递增函数，即 ；(3) 任何随机变量的概率密度曲线下的面积恒等于1。dxxdFxpXX)()( 概率密度是分布函数的导数概率密度是分布函数的导数baXdxxpbXaP)()()()()(xXPdyypxFxXX0)(xpX3.1 随机信号的性质1 dxxpX)(3.1 随机信号的性质离散随机变量概率密度离散随机变量概率密度：对于离散随机变量，可以将其分布函数表
4、示为：离散随机变量概率密度由其分布函数FX(x)求导而得。它表示当xxi时，pX(x)=0；当x=xi时， pX(x)= 。 niiiXxxupxF1)()( niiiXxxpxp1)()(三、随机变量的数字特征数学期望数学期望：对于连续随机变量，其数学期望定义为：数学期望的性质数学期望的性质：(1) 若随机变量X1,X2,Xn的数学期望存在，且各量之和的数学期望也存在，则有：(2) 常量与随机变量之和的数学期望：(3) 若随机变量X和Y相互独立，则XdxxxpXEX )()(又称统计平均值)()()()(nnXEXEXEXXXE 2121)()(XECXCE )()()(YEXEXYE 3.
5、1 随机信号的性质三、随机变量的数字特征方差方差：是随机变量X与其数学期望 之差的平方的数学期望对于离散随机变量而言，上述方差的定义可写成：对于连续随机变量而言，方差的定义：)()(22XXEXDX X称为标准偏差称为标准偏差X3.1 随机信号的性质2222222222XXXXXXXXXE )( iiipXxXD2)()(pi是是X X取值为取值为x xi的概率的概率 dxxpXxXDX)()()(23.1 随机信号的性质方差方差的性质的性质(1) 常量的方差等于0，即D(C)=0；(2) 设D(X)存在，C为常量，则：(3)设D(X)和D(Y)都存在，且相互独立，则对于多个互相独立的随机变量
6、，不难证明：)()(XDCXD)()(2XDCCXD)()()(YDXDYXD)()()()(nnXDXDXDXXXD 2121定义：设E=e是一个样本空间，若对每一时刻tT，都有定义在E上的随机变量X(t,e)与之对应，则称依赖t的一组随机变量X(t,e), tT, eE是一个随机过程，常简化为X(t), tT。 通信系统中的通信系统中的信号信号和和噪声噪声都是都是随机随机的。的。 一、随机过程的定义数学期望数学期望：方差方差自相关函数自相关函数自相关函数表示在两个时刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程度。 )(),()(iXiitmdxtxxptXE2)()()(iiitXEtXEt
7、XD )()(),(2121tXtXEttRX 3.2 随机过程的基本概念一维分布一维分布 一维概率分布函数一维概率分布函数 一维概率密度函数一维概率密度函数 一维概率函数一维概率函数二、随机过程的概率分布( , )( )iiF x tP X tx( )iiipP X tx3.2 随机过程的基本概念xtxFtxpii ),(),(二维分布 二维概率分布函数 二维概率密度函数12121122( ,; , )( ),( )F x x t tP X tx X tx相互独立),(),(),;,(2211212121txFtxFttxxFXX 3.2 随机过程的基本概念21212122121xxttxx
8、Fttxxp ),;,(),;,(多维分布 多维概率分布函数 多维概率密度函数12121122( , , , ; , , , ) ( ), ( ), , ( )nnnnnF x xx t ttP X tx X txX tx3.2 随机过程的基本概念nnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxp 2121212121),.,;,.,(),.,;,.,(两个时刻抽样点的混合矩自相关函数自相关函数互相关函数互相关函数自协方差函数自协方差函数互协方差函数互协方差函数121212121212( ,)( )() (,;,)XRt tE X tX tx x f xxt tdx dx 121212( ,)(
9、 )() ( ,;,)XYRt tE X t Y txyf x y t tdxdy 1211221212( ,)( )( )( )( ) ( ,)( )( )XXXXxxCt tEX tmtX tmtRt tm t m t1211221212( ,)( )( )( )( ) ( ,)( )( )XYXYXYXYCt tEX tmtY tmtRt tmt mt3.2 随机过程的基本概念独立、不相关和正交的关系相互独立相互独立正交正交互不相关互不相关1212( , ; ,)( , )( ,)XYf x y t tfx tfy t12( ) ( )0E X t Y t12121212( ,)cov(
10、 ),() ( ,)( )()0XYXYXYCt tX tY tRt tmtmt。3.2 随机过程的基本概念),(),(),;,(2121tyFtxFttyxF四、随机过程的基本分类按统计特性分类按记忆特性分类平稳随机过程和非平稳随机过程纯粹随机过程马尔可夫过程独立增量过程112211( , ;, ;,)(, )nnnnjjjF x t x tx tF x t1122221111( ,|,;,;, ; , )( ,|,)nnnnnnnnnnnnF x txtxtx t x tF x txt11()( )( ,) iiiiX tX tX t t 相互独立3.2 随机过程的基本概念按概率分布分类按
11、功率谱特性分类高斯随机过程和非高斯随机过程白噪声过程和有色噪声过程3.2 随机过程的基本概念 3.3 平稳随机过程平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程，在通信领域中占有重要地位。若一个随机过程X(t)统计特性与时间起点无关，则称此随机过程是在严格意义上的平稳随机过程，简称严格平稳随机过程：),.,;,.,(),.,;,.,( nnnnnntttxxxptttxxxp21212121数学期望数学期望：方差方差自相关函数自相关函数实际中，若同时满足随机过程的数学期望与随机过程的数学期望与t无关为常数无关为常数；自相自相关函数只与时间间隔有关关函数只与时间间隔有关时，则称此随机过程为宽平稳随
12、机过程。CmtXEX)(CtXEtXEtXDX22)()()()()(),(2121XXXRttRttR平稳随机过程的自相关函数及其性质 3.3 平稳随机过程自相关函数：自相关函数：性质性质(1) 随机过程X(t)的平均功率(2) 随机过程X(t)的直流功率(3)(4) 随机过程X(t)的R()在=0时取最大值。(5) 随机过程X(t)的交流功率)()()(tXtXERXPtXER)()0(2CtXER)()(2)()( RR)0()(RR2)()0( RR 3.3 平稳随机过程平稳随机过程的功率密度一个非周期确定的功率信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对于平稳随机过程同
13、样成立，即平稳过程的功率谱密度PX(f)与其自相关函数R()是一对傅里叶变换。deRfPjX)()(dfefPRjX)()( 3.3 平稳随机过程例3-1：某随机相位余弦波，其中A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。(1)求X(t)的自相关函数与功率谱密度；(2)讨论X(t)的各态历经性。0sinsincoscos2)sinsincos(cos221)cos()()(20202020dtdtAdttAdtAtXEtmcccccX注：各态历经性是平稳随机过程的统计平均值等于它的任意一次实现的时间平均值。解：(1) 考察X(t)是否广义平稳，求其数学期望 3.3 平稳随机过程0)(
14、cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEtXtXEttRcccccccX(t)的自相关函数令t2-t1=，得故X(t)为广义平稳随机过程)()(cos2),(221RAttRc根据功率谱密度PX(f)与其自相关函数R()是一对傅里叶变换：所以功率谱密度为：(2)求时间平均： 3.3 平稳随机过程)()()(cosccc)()(2)(2ccXAP0)cos(1lim22TTcTdttATmcTTccTTcTTTccTAdttdtTAdttAtATRcos2
15、)22cos(cos2lim)(cos)cos(1lim)(22222222计算得a=a, R()= R()，因此随机相位余弦是各态历经的。 3.4 高斯随机过程高斯随机过程又称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种过程。实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程，如，常见的热噪声就是一种高斯过程。若一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示： )(exp)(),.,;,.,(/ njnkkkkjjjjknnnXaxaxBBBtttxxxp11212122121212122)();(kkkkkatXEtXEa11121221112nn
16、nnbbbbbbB kjkkjjjkatXatXEB)()(其中归一化协方差函数归一化协方差矩阵的行列式 3.4 高斯随机过程高斯随机过程的随机变量之间既互不相关，又相互独立。可仅研究一维高斯过程的性质。高斯随机过程性质高斯随机过程性质(将pX(x)记为p(x)(1) p(x) 对称与直线x=a，即p(a+x)=p(a-x)(2) p(x)在a点达到极大值 ，p(x)在区间(-,a)内单调上升，在区间(a,)内单调下降；在x时，p(x)0。(3)(4) p(x)中，a表示分布中心，表示集中程度，p(x)图像会随着的减小而变高和变窄。当a=0, =1时，称p(x)为标准正态分布的密度函数。a21
17、)(xfx0)2/(11)(dxxp2/exp212)(exp21)(222xaxxp 3.5 窄带随机过程在通信系统中，由于设备和信道受带通特性限制，信号和噪声的频谱常被限制在一个较窄的频带内。换句话说，若信号或噪声的带宽和其“载波”或中心频率相比很窄，则称其为窄带随机过程。0ff 窄带随机过程可表示为：0)()(cos)()(0tatttatXXXXX(t)的随机包络X(t)的随机相位窄带随机过程还可改写为：ttXttXtXSC00sin)(cos)()()(sin)()()(cos)()(ttatXttatXXXSXXCX(t)的同相分量X(t)的正交分量设X(t)是一个0均值平稳窄带高
18、斯过程。分析X(t)对应的两分量的特性(1) 数学期望数学期望：(2) 自相关函数自相关函数：由于X(t)是平稳的，故有： 3.5 窄带随机过程0sin)(cos)()(00ttXEttXEtXESC0)(0)(tXEtXESC)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),()()(),(00000000ttttRttttRttttRttttRtXtXEttRCSCCSCX)(),(XXRttR若令t=0，则上式表示为：若令 ，则有：有上述分析可知，若X(t)是平稳的窄带随机过程，则其两分量也是平稳的。若之上两式同时成立，则有 3.5 窄带随机过程00s
19、in)(cos)()(CSCXRRRct200sin)(cos)()(SCSXRRR)()()()(SCCSSCRRRR) 0() 0() 0(SCXRRR222scX这表明 Xc(t)、Xs(t)、X(t)具有相同的平均功率或方差。噪声来源:自然噪声、人为噪声、电路噪声；出现特性：脉冲型噪声和连续型噪声；功率谱形状：白噪声和有色噪声；作用方式：加性和乘性噪声；概率分布服从高斯分布就称它为高斯噪声； 3.6 通信系统中常见的噪声功率谱密度： 单位是W/Hz 自相关函数： 20nPn RO20n PO20n一、白噪声 3.6 通信系统中常见的噪声 2221)(2100ndendePRjjX绝大多
20、数通信系统中的热噪声都具有均匀的功率谱密度。虽然热噪声的功率均匀分布在从直流到106MHz的范围内，并不是所有频带，但在通信系统工作频率范围内热噪声是均匀分布的，所以只要通信系统的带宽远小于热噪声带宽，就可以把热噪声看作是白噪声。 3.6 通信系统中常见的噪声定义：噪声瞬时幅度值的概率分布服从高斯分布（正态分布）。重要性质：（1）n维分布完全由数学期望、方差及两两之间的相关函数所决定；（2）广义平稳的也是严格平稳的，因而与时刻t1无关；（3）互不相关，则统计独立；二、高斯噪声2)(exp21),(221axtxpXa为均值为均值为标准偏差为标准偏差 3.6 通信系统中常见的噪声三、窄带高斯噪声
21、在通信系统中，由于设备和信道受带通特性限制，信号和噪声的频谱常被限制在一个较窄的频带内。换句话说，若信号或噪声的带宽和其“载波”或中心频率相比很窄，则称其为窄带随机过程。表示法一：表示法一： 表示法二：表示法二： 0 tttttnc,cos ttnttntttttttncsccccsincossinsincoscos (x)为为X(t)的随机包络的随机包络(t)为为X(t)的随机相位的随机相位 3.6 通信系统中常见的噪声222nnnscnc(t)和和ns(t)特性特性(1) n(t)是一个0均值平稳窄带高斯噪声，则nc(t)和ns(t)也是0均值平稳窄带高斯噪声； Enc(t)Ens(t)0
22、 (2) 由于n(t)是平稳的，故有： ，即它与时间起点无关，仅与有关。(3)n(t)在同一时刻上得到的nc(t)和ns(t)是不相关的，且统计独立。)(),(XXRttR 3.6 通信系统中常见的噪声 经计算得到结论：一个均值为0，方差为的平稳高斯窄带过程，其包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布，并且，就一维分布而言随机包络和随机相位是统计独立的。 )(),(),(ppp 2021220222 ddppnnexp),()(02222 nndppexp),()( 3.6 通信系统中常见的噪声 3.7 随机过程通过线性系统通信系统的作用就是传递信号，而通信系统中所遇到的信号或噪声一般都是随机的，因
23、此我们需要讨论随机过程通过系统后输出过程的问题。本书，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础上的。即若系统的响应为vo(t)/Vo()，输入信号为vi(t)/ Vi() ，系统的单位冲激响应为h(t)/H()，则有：dthvthtvtviio)()()()()()()()(ioVHV 3.7 随机过程通过线性系统若线性系统是物理可实现的，则0)()()(dthvtvio若把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。则输入过程Xi(t)的每个样本与输出过程 Xo(t)的响应样本
24、之间满足：假定输入过程Xi(t)是平稳随机过程，根据上述关系，可求出系统输出过程Xo(t)的统计特性。0)()()(dtXhtXio 3.7 随机过程通过线性系统输出过程输出过程Xo(t)的数学期望的数学期望：输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，与时间t无关。输出过程输出过程Xo(t)的自相关函数：的自相关函数：000)()()()()()(dhadtXEhdtXhEtXEiio0)()0(dhH)0()(HatXEo 011001011111)()()()()()()()()()(),(ddtXtXEhhdtXhdtXhEtXtXEttRiiiiooo)()
25、()(11iiiRtXtXE)()()()(),(0011oioRddRhhttR 3.7 随机过程通过线性系统输出过程输出过程Xo(t)的功率谱密度的功率谱密度： 令= +-输出过程输出过程Xo(t)的概率分布：的概率分布：从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，利用输入输出关系式总可以确定输出过程的分布。注：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯的。deRPjoo)()( deddRhhPjio)()()()(00)()()()()(*) ()()()(200iijijjoPHPHHdeRdehdehP 3.7 随机过程通过线性系统例3-2：低通白噪声。即白噪声通过理想
26、矩形的低通滤波器后的情况。设白噪声的双边功率谱密度为n0/2，试求滤波器输出噪声的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。解：设理想低通滤波器的传输特性为：则输出噪声的功率谱密度为：其自相关函数为：其他,0,)(0HtjeKHHionKPHP2)()()(0202HHHfffjjoofnKdfenKdePRHHsin2)(21)(0202020 3.7 随机过程通过线性系统)(oP2002KnHfHf)(oRHfnK020Hf21Hf21如图可见，输出噪声的功率谱密度被限制在一定范围之内，在此范围外则为零，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。由自相关函数图可知，这种带限白噪声仅在=k/2fH(k=
27、1,2,3,.)上得到的随机变量才互不相关。即若对此带限白噪声按抽样定理抽样，其各抽样值也是互不相关的随机变量。习习 题题1.什么是白噪声，其频谱和自相关函数有何特点？2.冲激响应的定义是什么，其傅里叶变换是什么？3.随机变量的分布函数和概率密度是什么关系？4.设一个随机过程X(t)=2cos(2t+) - t，其中是一个离散随机变量，具有如下概率分布P(=0)=0.5， P(=/2)=0.5，试求EX(t)和RX(0,1)5. Z(t)=Xcos2f0t-Ysin2f0t为一随机过程。其中X、Y为独立的高斯随机变量，均值为0，方差为1。(1) 求aZ(t)和RZ(t, t+)，问Z(t)为平稳随机过程吗？(2) 求Z(t)瞬时值的概率密度函数FZ(z)。(提示：Z(t)的瞬时值是高斯随机变量。)习习 题题6. 设的分布为正态分布，E=2，D=1，求在区间(0,4)上取值的概率。