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1、反比例函数反比例函数反比例函数的反比例函数的图象和性质图象和性质现实世界中的现实世界中的反比例关系反比例关系归纳归纳知识结构图知识结构图实际应用实际应用1.什么叫反比例函数？什么叫反比例函数？ 形如形如 的函数称为的函数称为反比例函数。反比例函数。(k为常数，为常数，k0)其中其中x是自变量，是自变量，y是是x的函数。的函数。xky 2.反比例函数有哪些等价形式？反比例函数有哪些等价形式？y=kx-1xy=kxky 一、有关概念：一、有关概念：1.在下列函数表达式中在下列函数表达式中,x均为自变量均为自变量,哪些哪些y是是x的反比的反比例函数例函数?每一个反比例函数相应的每一个反比例函数相应的
2、k值是多少值是多少? xy51是是x的反比例函数的反比例函数, k =5; 22xy不是反比例函数不是反比例函数; 23xy是是x的反比例函数的反比例函数, k =2; 04xy不是反比例函数不是反比例函数;1.在下列函数表达式中在下列函数表达式中,x均为自变量均为自变量,哪些哪些y是是x的反比的反比例函数例函数?每一个反比例函数相应的每一个反比例函数相应的k值是多少值是多少? 255xy 不是不是x的反比例函数的反比例函数; 236xy不是不是x的反比例函数的反比例函数;是是x的反比例函数的反比例函数, k=2; 127 xy xy3328是是x的反比例函数的反比例函数, .332 k如果如
3、果y y与与z成成正正比例比例, z 与与x成成正正比例比例,则则 y 与与x 的函数的函数关系是：关系是： 如果如果y y与与z成成反反比例比例, z 与与x成成正正比例比例,则则 y 与与x 的函数的函数关系是：关系是： 如果如果y y与与z成成正正比例比例, z 与与x成成反反比例比例,则则 y 与与x 的函数的函数关系是：关系是： 如果如果y y与与z成成反反比例比例, z 与与x成成反反比例比例,则则 y 与与x 的函数的函数关系是：关系是： y y与与x x成正比例成正比例y y与与x x成反比例成反比例y y与与x x成反比例成反比例y y与与x x成正比例成正比例3.若若y=(
4、a+2) x a2+2a-1是是x的反比例函数，则的反比例函数，则a = .2.若若y= -3x a+1是是x的反比例函数，则的反比例函数，则a = ；-204.下列的数表中分别给出了变量下列的数表中分别给出了变量y与与x之间的对应关之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是系，其中是反比例函数关系的是( ).x1234y6897x 1234y 8543 x 1234y 5876x1234y1213141A:C:D:B:D5.已知已知y是关于是关于x的反比的反比例函数例函数,当当x = -3时，时，y = 0.6;求函数解析式和自求函数解析式和自变量变量x的取值范围。的取值范围。xky 因为当因
5、为当 x = -3 时时y = 0.6，36 . 0ky与与x的函数关系式为的函数关系式为xy8 . 1解解:设设所以有所以有解得解得: k = -1.86.已知已知y与与x+1成反比例成反比例,当当x = 2时，时，y = -1，求函数，求函数解析式和自变量解析式和自变量x的取值的取值范围。范围。1xky解解:设设因为当因为当 x =2 时时y = -1，121k所以有所以有解得解得:k = - 3y与与x的函数关系式为的函数关系式为13xy7.已知已知y与与x-2成反比例，并且当成反比例，并且当x = 3时，时，y =2 求求x=1.5时时, y的值的值. 2xky因为当因为当 x =3
6、时时y =2，232ky与与x的函数关系式为的函数关系式为22xy把把 x=1.5 代入函数关系式得代入函数关系式得:425 . 12y解解:设设所以有所以有解得解得: k=2答答:当当x=1.5时时, y的值为的值为-4.函数函数反比例函数反比例函数解析式解析式图象形状图象形状k0位置位置增减性增减性k0位置位置增减性增减性 双曲线双曲线双曲线两支分别在双曲线两支分别在第一、第三象限第一、第三象限在每个象限内在每个象限内y随随x的增大而增大的增大而增大双曲线两支分别在双曲线两支分别在第二、第四象限第二、第四象限在每个象限内在每个象限内y随随x的增大而减小；的增大而减小；)0(或或1kkxyk
7、xyxky3.反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质:填一填1.1.函数函数 是是 函数，其图象为函数，其图象为 ，其中其中k=k= ，自变量，自变量x x的取值范围为的取值范围为 . .2.2.函数函数 的图象位于第的图象位于第 象限象限, , 在每一象限内在每一象限内,y,y的值随的值随x x的增大而的增大而 , , 当当x x0 0时时,y,y 0,0,这部分图象位于第这部分图象位于第 象限象限. .x2y x6y 3.3.函数函数 的图象位于第的图象位于第 象限象限, , 在每一象限内在每一象限内,y,y的值随的值随x x的增大而的增大而 , , 当当x x0 0时时,y,y 0
8、,0,这部分图象位于第这部分图象位于第 象限象限. .x6y 练练 习习 1. 已知已知k0,则函数则函数 y1=kx+k与与y2= 在同一坐标系中在同一坐标系中的图象大致是的图象大致是 ( )xk3.设设x x为一切实数，在下列为一切实数，在下列函数中，当函数中，当x x减小时，减小时，y y的的值总是增大的函数是值总是增大的函数是( )( )(A) y = -5x -1 ( B)y = (C)y=-2x+2； (D)y=4x.2xxy0 0 xy0 0 xy0 0 xy0 0(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)(A)(A)xy0 0 xy0 0(B)(B)(C)(C)(D)(D
9、)xy0 0 xy0 0DCC 4.考察函数考察函数 的图象的图象, ,当当x=-2x=-2时时,y=,y= _ _ , ,当当x-2x-2时时,y,y的取值范围是的取值范围是 _ _ ; ;当当y y-1-1时时,x,x的取值范围的取值范围是是 _ _ . .xy2-1-1y0 x0那么下列各点中一定也在此图象上的点是那么下列各点中一定也在此图象上的点是( )1.若点若点(-m，n)在反比例函数在反比例函数xky A. (m，n) B. (-m，-n) C. (m，-n) D. (-n，-m)的图象上，的图象上，C2.若反比例函数的图象过点若反比例函数的图象过点(-1,2),则其解析式为则其
10、解析式为 .xy23.如果反比例函数如果反比例函数xmy31的图象位于第二、四象限，的图象位于第二、四象限，那么那么m的范围为的范围为 。31m4.4.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1与与y y2 2的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .x4y y1 y2yxo-1y1y2AB-24.4.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1与与y y2
11、 2的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .x4y x xk ky y(k(k0)0)y2 y1yxo-2-2Ay1y2-1B4.4.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1与与y y2 2的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .x4y x xk ky y(k(k0)0)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )且且x x1 10 0 x x2 2yxox x1 1x x2 2Ay1y2By1 0y24.4
12、.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1、y y2 2与与y y3 3的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .x4y A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2),C(4,y),C(4,y3 3) )yxo-1y1y2AB-24 4Cy3y3 y1y2做一做PDoyx1.1.如图如图, ,点点P P是反比例函数是反比例函数 图象上图象上的一点的一点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD的面积的面积为为 . .xy2(m,n)
13、13k. 3|,|kkSAPCO矩形,四象限图像在二又._, 3,. 9函数的解析式是则这个反比例阴影部分面积为轴引垂线轴向分别由图像上的一点是反比例函数如图yxPxkyPACoyxP.3xy解析式为解:由性质(2)可得A.S = 1 B.1S2_._.S, S,面面ABC的ABC的, , BC平行于xBC平行于x, ,AC平行于yAC平行于y 的任意的任意O O于原于原上上的的x x1 1y yB是B是A,A, ,7.如7.如则 积为 轴 轴两点对称关 图图点点像像函数函数 ACoyxB解解:由上述性质由上述性质(3)可知可知,SABC = 2|k| = 2C如图如图:A、C是函数是函数 的
14、图象上任意两点，的图象上任意两点，x x1 1y y A.S1S2 B.S1S2 C.S1 = S2D.S1和和S2的大小关系不能确定的大小关系不能确定. C由上述性质由上述性质1可知选可知选CABoyxCD DS1S2_ _ _ _. ., ,S S 的的面面R Rt t, ,S S 的的面面R Rt tD D. .垂垂足足, ,的的垂垂C C作作y yB B. .垂垂足足, , 的的垂垂A A作作x x市市2 20 00 00 0年年) )6 6. .( (武武2 2O OC CD D1 1A AO OB B则积为积为记为线轴过为线轴过汉 .,21|21,21|21,21|21321111
15、ASSSkSkSkSOOCBOBAOA故选即解解:由性质由性质(1)得得A._,)0(1,. 8321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2.)2(;) 1 ( :的面积一次函数的解析式求AOBAyOBx. 2,8,)2003.(3的纵坐标都是的横坐标和点且点两点的图象交于的图象与反比例函数已知一次函数如图年成都BABAxybkxy4.利用反比例函数解决实际问题利用反比例
16、函数解决实际问题:关键是关键是:建立反比例函数模型建立反比例函数模型.5.主要类型主要类型:(1)形积类形积类:(2)行程类行程类:(3)压强类压强类:(4)电学类电学类:体积不变体积不变,底面积底面积与与高高成反比例成反比例.总路程不变总路程不变,速度速度与与时间时间成反比例成反比例.压力不变压力不变,压强压强与与面积面积成反比例成反比例.电压不变电压不变,电流电流与与电阻电阻成反比例成反比例.(5)杠杆原理杠杆原理: 阻力阻力阻力臂阻力臂=动力动力动力臂动力臂电压不变电压不变,输出功率输出功率与与电阻电阻成反比例成反比例.),1 , 0()2(;) 1 (的面积求轴交于点与轴交于点与直线求
17、双曲线的解析式AODDxCyACyxoADCB。：，如果垂足为轴作过点在第一象限内交于与双曲线直线是坐标原点如图年凉山统考题214, ,)2004.(4OBABOBBxABAAxkyOAO（1 1）分别写出这两个函数的表达式。）分别写出这两个函数的表达式。（2 2）你能求出点）你能求出点B B的坐标吗？的坐标吗？ 你是怎样求的？你是怎样求的？（3 3）若点）若点C C坐标是（坐标是（44， 0 0）. .请求请求BOCBOC的面积。的面积。5 5、如图所示，正比例函数、如图所示，正比例函数y=ky=k1 1x x的图象与的图象与反比例函数反比例函数y= y= 的图象交于的图象交于A A、B B两点，其两点，其中点中点A A的坐标为（的坐标为（ ，2 2 ）。）。 33k2xCD（4，0）