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1、第二讲 曲线运动与万有引力课前自测诊断卷考点一运动的合成与分解平抛运动1.考查关联速度、速度的分解问题质量为m的物体P置于倾角为1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑轻质定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角2时(如图)，以下判断正确的选项是()AP的速率为vBP的速率为vcos 2C绳的拉力等于mgsin 1 D绳的拉力小于mgsin 1解析：选B将小车速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解为v1、v2，P的速率v1vcos 2，A错误，B正确；小车向右做匀速直线运动，2减小，P的速率增大，绳的拉力大于mgsin
2、1，C、D错误。2考查多体的平抛及与斜面的综合问题横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如下图。它们的竖直边长都是底边长的一半，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。以下判断正确的选项是()A图中三小球比拟，落在a点的小球飞行时间最短B图中三小球比拟，落在c点的小球飞行过程速度变化最大C图中三小球比拟，落在c点的小球飞行过程速度变化最快D无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直解析：选D题图中三个小球均做平抛运动，可以看出a、b和c三个小球下落的高度关系为hahbhc，由t，得tatbtc，
3、又vgt，那么知vavbvc，A、B项错误；速度变化快慢由加速度决定，因为aaabacg，那么知三个小球飞行过程中速度变化快慢相同，C项错误；由题给条件可以确定小球落在左边斜面上的瞬时速度不可能垂直于左边斜面，而对右边斜面可假设小球初速度为v0时，其落到斜面上的瞬时速度v与斜面垂直，将v沿水平方向和竖直方向分解，那么vxv0，vygt，且满足tan (为右侧斜面倾角)，由几何关系可知tan ，那么v0gt，而竖直位移ygt2，水平位移xv0tgt2，可以看出xy，而由题图可知这一关系不可能存在，那么假设不能成立，D项正确。3考查平抛运动与斜面、圆的组合问题如下图，a、b两小球分别从半圆轨道顶端
4、和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，假设小球b能落到斜面上，那么()Aa、b两球不可能同时落在半圆轨道和斜面上B改变初速度的大小，b球速度方向和斜面的夹角可能变化C改变初速度的大小，a球可能垂直撞在圆弧面上Da、b两球同时落在半圆轨道和斜面上时，两球的速度方向垂直解析：选D将半圆轨道和斜面重合在一起，如图甲所示，设交点为A，如果初速度适宜，可使小球做平抛运动落在A点，那么运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上。b球落在斜面上时，速度偏向角的正切值为位移偏向角正切值的2倍，即tan b2tan b21，可得b45，即b球的
5、速度方向与水平方向成45角，此时a球落在半圆轨道上，a球的速度方向与水平方向成45角，故两球的速度方向垂直，选项A错误，选项D正确。改变初速度的大小，b球位移偏向角不变，因速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的2倍，故速度偏向角不变，b球的速度方向和斜面的夹角不变，选项B错误。假设a球垂直撞在圆弧面上，如图乙所示，那么此时a球的速度方向沿半径方向，且有tan 2tan ，与平抛运动规律矛盾，a球不可能垂直撞在圆弧面上，选项C错误。4考查体育运动中的平抛运动、临界极值问题一带有乒乓球发射机的乒乓球台如下图。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不
6、同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。假设乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择适宜的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，那么v的最大取值范围是()A. v L1 B. v C. v D. v 解析：选D设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。那么竖直方向上有3hhgt12，水平方向上有v1t1。由两式可得v1 。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3hgt22，在水平方向有 v2t2。由两式可得v2 。那么v的最大取值范围为v1vv2。应选项D正确。5考查运动的合成与分解多项
7、选择(2022全国卷)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运发动在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运发动先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其vt图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。那么()图(a)图(b)A第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小B第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大C第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大D竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大解析：选BDvt图像中图线与t轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中所围面积大表示在竖直方向
8、上位移大，A错。比拟身体姿态对下落速率的影响，应控制两次水平速度相同，运发动在水平方向上的运动可看成匀速直线运动，由xvt知运动时间长的水平位移大，B对。从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度小于第一次，C错。vt图像的斜率表示加速度，速率为v1时，第二次加速度小，设阻力为f，由mgfma，可得第二次受到的阻力大，D对。考点二圆周运动6.考查水平面内的圆周运动问题(2022浙江选考)一质量为2.0103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，以下判断正确的选项是()A
9、汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4104 NC汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑D汽车能平安转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2解析：选D汽车转弯时受到重力，地面的支持力，以及地面给的摩擦力，其中摩擦力充当向心力，A错误；当最大静摩擦力充当向心力时，速度为临界速度，大于这个速度那么发生侧滑，根据牛顿第二定律可得fm，解得v m/s m/s20 m/s，所以汽车转弯的速度为20 m/s时，所需的向心力小于1.4104 N，汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车能平安转弯的向心加速度a m/s27 m/s2，即汽车能平安转弯的
10、向心加速度不超过7.0 m/s2，D正确。7考查竖直面内的圆周运动问题(轻绳模型)多项选择如下图，水平地面上有一光滑弧形轨道与半径为r的光滑圆轨道相连，且固定在同一个竖直面内。将一个质量为m的小球由圆弧轨道上某一高度处无初速释放。为使小球在沿圆轨道运动时始终不脱离轨道，这个高度h的取值可为()A3rB2rCr D0.8r解析：选AD小球可能做完整的圆周运动，刚好不脱离圆轨道时，在圆轨道最高点重力提供向心力：mgm；由机械能守恒得：mghmg2rmv2，联立解得：h2.5r。也可能不超过与圆心等高处，由机械能守恒得：mghmgr，得：hr，综上得为使小球在沿圆轨道运动时始终不离开轨道，h的取值范
11、围为：hr或h2.5r；故B、C错误，A、D正确。8考查圆周运动与平抛运动相结合的问题如下图，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径为R的圆盘。圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。放置在圆盘边缘的质量为m的物体与圆盘之间的动摩擦因数为10.5，与餐桌之间的动摩擦因数为20.25，餐桌高也为R。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。(1)为使物体不滑到餐桌上，求圆盘的角速度的最大值为多少？(2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面，求餐桌半径R1的最小值为多大？(3)假设餐桌半径R2R，那么在圆盘角速度缓慢增大时，求物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置
12、到圆盘中心的水平距离L为多少？解析：(1)为使物体不从圆盘上滑出，向心力不能大于物体与圆盘之间的最大静摩擦力，即1mgm2R解得 。(2)物体恰好从圆盘上甩出时的角速度1 ，那么速度v11R 当物体滑到餐桌边缘速度减小到0时，恰好不滑落到地面，根据匀变速直线运动规律，有22gx1v12可得滑过的位移x1R餐桌最小半径R1R。(3)假设餐桌半径R2R，由几何关系可得物体在餐桌上滑行的距离x2R根据匀变速直线运动规律，有2(2gx2)v22v12可得物体离开餐桌边缘的速度v2 设物体离开餐桌到地面所需时间为t，根据平抛运动规律x3v2t，Rgt2可知物体离开餐桌边缘后的水平位移x3由几何关系可得，
13、落地点到圆盘中心的水平距离LR。答案：(1) (2)R(3)R考点三万有引力定律9.考查行星运动与开普勒定律多项选择(2022全国卷)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。假设只考虑海王星和太阳之间的相互作用，那么海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A从P到M所用的时间等于B从Q到N阶段，机械能逐渐变大C从P到Q阶段，速率逐渐变小D从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：选CD在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90，因此引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C项正确；海王星从P到M的时间小于
14、从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确。10考查重力与万有引力的关系多项选择一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为N，假设地球是质量均匀的球体，半径为R。那么地球的自转周期为(设地球外表的重力加速度为g)()A地球的自转周期为T2 B地球的自转周期为T C地球同步卫星的轨道半
15、径为RD地球同步卫星的轨道半径为2R解析：选AC在北极FN1G，在赤道GFN2mR，根据题意，有FN1FN2N，联立计算得出：T2 ，所以A正确，B错误；万有引力提供同步卫星的向心力，那么：Gm，联立可得：r3，又地球外表的重力加速度为g，那么：mgG，得：rR，C正确，D错误。11考查中心天体质量和密度的计算在未来的“星际穿越中，某航天员降落在一颗不知名的行星外表上。该航天员从高 hL 处以初速度v0水平抛出一个小球，小球落到星球外表时，与抛出点的距离是 L，该星球的半径为R，引力常量为G，以下说法正确的选项是()A该星球的重力加速度gB该星球的质量MC该星球的第一宇宙速度vv0D该星球的密
16、度解析：选D设星球外表的重力加速度为g，那么根据小球的平抛运动规律得：Lgt2，L，故v0t2L，联立得g，A错误；在星球外表有mgG，联立g，解得M，该星球的密度为，B错误，D正确；设该星球的近地卫星质量为m0，根据重力等于向心力得m0gm0，解得vv0，C错误。考点四人造卫星和宇宙航行12.考查卫星运行的参量比拟2019年4月21日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第44颗北斗导航卫星。假设组成北斗导航系统的这些卫星在不同高度的轨道上都绕地球做匀速圆周运动，其中低轨卫星离地高度低于同步卫星。关于这些卫星，以下说法正确的选项是()A低轨卫星的环绕速率可能大于7.9 km/
17、sB地球同步卫星可以固定对一个区域拍照C低轨卫星和地球同步卫星可能具有相同的速率D低轨卫星和地球同步卫星可能具有相同的周期解析：选B根据万有引力提供向心力Gm得v ，可知轨道越大，速度越小，低轨卫星轨道半径大于近地卫星的半径，故低轨卫星的环绕速率小于7.9 km/s，故A错误；同步卫星的周期与地球的自转周期相同，相对地球静止，可以固定对一个区域拍照，故B正确；低轨卫星离地高度低于同步卫星，故低轨卫星的环绕速率大于同步卫星，故C错误；根据开普勒第三定律k可知，低轨卫星小于地球同步卫星的周期，故D错误。13考查卫星的变轨问题多项选择作为一种新型的多功能航天飞行器，航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特
18、点于一身。假设一航天飞机在完成某次维修任务后，在A点从圆形轨道进入椭圆轨道，如下图，A点距地面的高度为2R(R为地球半径)，B点为轨道上的近地点，地球外表重力加速度为g，地球质量为M。又知假设物体在离星球无穷远处时其引力势能为零，那么当物体与星球球心距离为r时，其引力势能EpG(式中m为物体的质量，M为星球的质量，G为引力常量)，不计空气阻力。以下说法正确的选项是()A该航天飞机在轨道上经过A点的速度小于经过B点的速度B该航天飞机在轨道上经过A点时的向心加速度大于它在轨道上经过A点时的加速度C在轨道上从A点运动到B点的过程中，航天飞机的加速度一直变大D可求出该航天飞机在轨道上运行时经过A、B两
19、点的速度大小解析：选ACD在轨道上A点为远地点，B点为近地点，航天飞机经过A点的速度小于经过B点的速度，故A正确。在A点，航天飞机所受外力为万有引力，根据Gma，知航天飞机在轨道上经过A点和在轨道上经过A点时的加速度相等，故B错误。在轨道上运动时，由A点运动到B点的过程中，航天飞机距地心的距离一直减小，故航天飞机的加速度一直变大，故C正确。航天飞机在轨道上运行时机械能守恒，有mvA2mvB2，由开普勒第二定律得rAvArBvB，结合mg，rA3R，rBR，可求得vA、vB，故D正确。14考查双星、多星模型多项选择2017年10月16日，美国激光干预引力波天文台等机构联合宣布首次发现双中子星并合
20、引力波事件，如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，假设A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，那么()AA的质量一定大于B的质量BA的线速度一定大于B的线速度CL一定，M越大，T越大DM一定，L越大，T越大解析：选BD设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度相等且为，根据万有引力定律可知：GmA2RA，GmB2RB，距离关系为：RARBL，联立解得：，因为RARB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：vARA、vBRB，因为角速度相等，半径RARB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确；又因为T，联立以上可得周期为：T2 ，所以总质量M一定，两星间距离L越大，周期T越大，故C错误，D正确。9