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1、一、函数的周期性 若存在常数T T 0,0,使对任意x xD都有f f（x x+ +T T）f f（x x）, ,则称函数y=f(x)y=f(x)为周期函数，常数T T叫做该函数的一个周期。周期性的几个结论（1）若f(x+a)f(x+b)(ab）,则f(x)是周 期函数,ba是它的一个周期；（2）若f(x+a)f(x)（a0），则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；（3）若f(x+a) (a0，且f（x）0), 则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期. 1f x二、函数图像的变换1、图像的平移：、图像的平移： 把函数把函数yf（x）的图像沿着轴向左）的图像沿着轴向左(向右向右)平移平移a
2、个单位就得到函数个单位就得到函数yf（x+a）(a0)的的图像图像 把函数把函数yf（x）的图像沿着向上）的图像沿着向上(向下向下)平平移移a个单位就得到函数个单位就得到函数yf（x）+a的图像的图像),( ba)(xfy若若 ，则函数，则函数 的图象关于点的图象关于点 对称对称bxafxaf2)()(2bax，0 x)()(xfxf偶函数：偶函数：)(xfy函数函数的图象的图象关于直线关于直线对称对称)()(xbfxaf若若则函数则函数)(xfy的图象关于直线的图象关于直线 对称对称 ，0)()(xfxf 对称对称 )(xfy奇函数奇函数 :图象关于点图象关于点函数函数的的0 , 0若若应用
3、形：通过点的特征判定()()2axaxa2、函数图像的对称与翻转：、函数图像的对称与翻转：（1）若）若f（x+a）f（bx），则函数），则函数f（x）的图象关于直线的图象关于直线x 对称，对称，（2）若）若f（a+x）f（ax），函数），函数f（x）的图）的图象关于直线象关于直线xa对称；对称；（3）若有）若有f（a+x）f（bx），则函数），则函数f(x)的图象关于点（的图象关于点（ ，0）中心对称，）中心对称，（4）若）若f（a+x）f（ax），则函数），则函数f（x）的图象关于点（的图象关于点（a，0）中心对称）中心对称.2ab2ab(5)函数函数 yf（x）与）与 函数函数yf（x）的
4、图像关）的图像关 于轴对称于轴对称(6) 函数函数yf（x）与函数）与函数yf（x）的图像关）的图像关 于原点对称于原点对称(7) 把函数把函数yf（x）的图像在）的图像在x轴下方的图像沿着轴下方的图像沿着x轴翻到轴翻到x轴上方，轴上方，x轴上方的图像不变，就得到轴上方的图像不变，就得到的函数的函数y f（x）的图像）的图像(8)把函数把函数yf（x）的图像在）的图像在y轴左侧的图像去掉，轴左侧的图像去掉，y右侧的图像沿着右侧的图像沿着y轴对称翻折到轴对称翻折到y轴左侧、轴左侧、y轴右轴右侧的图像不变方的图像不变，就得到的函数侧的图像不变方的图像不变，就得到的函数yf(x)的图像的图像 若f（
5、x）的图象有两条对称轴xa和x b（ab），则f（x）必为周期函数，且2ba是它的一个周期； 若f（x）图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（ab），则f（x）必为周期函数，且2ba为它的一个周期； 若f（x）的图象有一对称轴xa和一个对称中心（b，0）（ab），则f（x）必为周期函数，且4ba是它的一个周期.【例【例1】已知函数已知函数f（x）的定义域为）的定义域为R，则，则下列命题中下列命题中:若若f（x2）是偶函数，则）是偶函数，则函数函数f（x）的图象关于直线）的图象关于直线x2对称；对称；若若f（x+2）f（x2），则函数），则函数f（x）的图象关于原点对称；的图象关于原点对称；
6、函数函数yf（2+x）与函数）与函数yf（2x）的）的图象关于直线图象关于直线x2对称；对称；函数函数yf（x2）与函数）与函数yf（2x）的图象关于直线的图象关于直线x2对称对称.其中正确的命题序号是其中正确的命题序号是 .【解析】【解析】是错误的，由于是错误的，由于f（x2）是偶）是偶函数得函数得f（x2）f（x2），所以），所以f（x）的图象关于直线的图象关于直线x2对称；对称；是错误的，是错误的，由由f（x+2）f（x2）得）得f（x+4）f（x），进而得），进而得f（x+8）f（x），所以），所以f（x）是周期为）是周期为8的周期函数的周期函数是错误的，是错误的，在第一个函数中，用在
7、第一个函数中，用x代代x，y不变，即可不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；轴对称；是正确的，令是正确的，令x2t，则，则2xt，函数，函数yf（t)与与yf（t）的图象）的图象关于直线关于直线t0对称，即函数对称，即函数yf（x2）与）与yf（2x）的图象关于直线）的图象关于直线x2对称对称.【例【例2】 f（x）是定义在）是定义在R上的以上的以3为周期的奇函数，且为周期的奇函数，且f（2）0，则方程则方程f（x）0在区间（在区间（0，6）内解的个数的最小值是内解的个数的最小值是 ( )A2 B3 C4 D5【解析】【解析】f（x）为奇函
8、数，）为奇函数，f（0）0，又，又函数函数f（x）以）以3为周期，且为周期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在区间（在区间（0，6）内的解有）内的解有1，2，3， 4，5.故选故选D.【例例3】 已知函数已知函数f（x）的定义域为）的定义域为xxR且且x1，f（x+1）为奇函数，当）为奇函数，当x1时，时，f（x）2x2x+1，则当，则当x1时，时，f（x）的递减区间是）的递减区间是 （ ）A ，+） B（1， C ，+） D（1， 54547474【解析】【解析】 由由f（x+1）为奇函数得）为奇函数得f（x+1）f（x+1），），f（x）的）的图象
9、关于点（图象关于点（1，0）中心对称，又由）中心对称，又由已知可画出已知可画出f（x）在（）在（，1）上的）上的图象，再根据中心对称画出图象，再根据中心对称画出f（x）在）在（1，+）上的图象，由图象易知，）上的图象，由图象易知，f（x）在）在 ，+）上单调递减，故）上单调递减，故应选应选C.74例例4对函数对函数f（x），）， 当当x（，）时，时，f（2x）f（2+x），），f（7x）f（7+x），在闭区间），在闭区间0,7上，只有上，只有f（1）f（3）0.（1）试判断函数）试判断函数yf（x）的奇偶性；）的奇偶性；（2）试求方程）试求方程f（x）0在闭区间在闭区间2005，2005上的根
10、的个数，并证上的根的个数，并证明你的结论明你的结论.【解】【解】 （1）由已知得）由已知得f（0）0，f（x）不是奇）不是奇函数，又由函数，又由f（2x）f（2+x），得函数），得函数yf（x）的对称轴为的对称轴为x2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），），f（x）不是偶函数）不是偶函数.故函数故函数yf（x）是非奇非偶函数；）是非奇非偶函数；(2)由由f（4x）f（14x） f（x）f（x+10），），从而知从而知yf（x）的周期是）的周期是10.又又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故故f（x）在）在0，10和和10，0上均有两个上均有两个解，从而可知函数解，
11、从而可知函数yf（x）在）在0，2005上有上有402个解，在上个解，在上2005，0有有400个解，所以函个解，所以函数数yf（x）在）在2005，2005上有上有802个解个解.已知函数已知函数 是定义在是定义在R上的偶函数，且满足上的偶函数，且满足 ， 当当 时，时， ，则，则 , f(17.5)= 。)(xfy )() 2(xfxf10 x12)( xxf）5 .15( f练习例1：已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(-x+3) = f(x)，且f(1)= -1，则 f (5) + f (14) =_.已知已知 是定义在是定义在R上的偶函数，其图象关于直线上的偶函数，其图象关于直线
12、对称，对称，当当 时，时， ，则，则 时时 = 。 (A) (B) (C) (D)(xf2 , 2x)(xf1) (2xxf2, 6x2x12x1) 2(2 x1) 2(2x1) 4(2x例例2函数的对称性与周期性.问题一：对于函数f(x)，若满足f(x-1)=f(1-x)则y=f(x)的图象（ ）.关于直线 x=0对称 B. 关于直线x=1对称 .C 关于直线 x=-1对称 D 以上都不对函数的对称性与周期性问题一：对于函数f(x)，若满足f(x-1)=f(1-x)则y=f(x)的图象（ ）关于直线 x=0对称 B. 关于直线x=1对称 C 关于直线 x=-1对称 D 以上都不对解法一 ：（
13、图象法） 轴对称特征：如果一个函数有对称轴且存在两个不同自变量的对应函数值相等，则对称轴一定在两个自变量的中点位置上。 由 f(x-1)=f(1-x) 对称轴为 函数的图象关于直线x=0 对称02)1 () 1(Xxx.问题二：对函数y=f(x) 在同一坐标系下，函数y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象 （ ） A .关于直线x=0 对称 B.关于直线x=1 对称 C. 关于直线x=-1对称 D. 以上都不对 .问题二：对函数y=f(x) 在同一坐标系下，函数y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象 （ ） A .关于直线x=0 对称 B.关于直线x=1 对称 C. 关于直线x=-1对
14、称 D. 以上都不对 分析：用特例法或图象法易求对称轴为 x=1 题型2：对函数y=f(x)在同一坐标系下，求函数y=f(x-a)与y=f(b-x)(a,b R) 的对称轴 解法：a=b时换元 解法二（特例法） 由 f(1-x)=f(x-1) 令 x=0 有 f(-1)=f(1) 则函数的对称轴为 02) 1(1x课上练习1，已知函数f(x)图象如图所示，则f(x)=( )A, B,x2-2|x|+1 C,|x2-1| D, 1|22xx122 xx答案A2、已知函数y=|x+1|-|x-2|画出其图象，说明它关于哪个点对称（不必证明），并指出函数的最值。 3、已知定义在（-，+）上的函数f(
15、x)的图象关于原点及x=1对称。求f(0);若0 x1时，f(x)=x,求x-1,3时，f(x)的解析式 1、关于直线x=a的对称特征X=aa+xa-xy=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之也成立练习：已知定义在实数集上的函数f(x)满足f(5-x)=f(5+x),若f(x)在（5，+）上单调增，则f(x)在（-，5）上的单调性如何？由此你得到什么结论？单调减关于x=a对称的图形在对称轴两侧对称区间上单调性相反求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析式解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y)在函数y=f(
16、x)图象上，故y=f(x1),而x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为所求结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称2、关于直线y=b对称函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x)结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则f(x)+g(x)=2b反之也成立3、关于点(a,0)对称练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称
17、的解析式答案：y=-f(2a-x)结论：-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0.已知对于任意x、yR，都有4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)恒成立，且f(1)=1/4，求f(2010)的值是多少？函数周期性解题的一道经典试题.试题说明：本题是一道2010年重庆理科数学高考的一道填空试题(分值5分)，十分压轴题，属于拔高题和拉分题，要想在短时间内得到正确的答案，这务必要求学生平时对“函数的周期性”的具体应用要有所熟练！.试题分析：面对抽象函数的题型，喜欢钻研的同学一定
18、会有似曾相似的感觉，但在没有给出具体函数f(x)的解析式的前提下，就要我们求f(2010)的值，这道试题确实有点偏难。那怎么办呢？自变量x=1如何与x=2010联系起来呢？此题的玄机和突破口究竟在何处？我们不妨先从特殊值x=0入手，令x=y=0，代入函数关系式，我们不难得到f(0)=0或f(0)=1/2两种情况。那么到底取哪一种呢？不妨在令x=y=1代入函数关系式，得到：1/4=f(2)+f(0)；令x=2，y=0代入函数关系式，显然f(0)不能等于0，由此得出：f(0)=1/2。但自变量x=1如何与x=2010联系起来呢？在已知f(1)的情况下，要想求出f(2010)的值，数学能力较强的学生
19、一般很容易想到起f(x)的“函数的周期性”，因此能否求出函数f(x)的周期性，是解答本题的关键所在。那么如何通过已知的函数关系式，求出函数的周期呢？这是本题中的另一个困难所在，我们知道，周期函数的一般表达式一 般 是 ： f ( x + T ) = f ( x ) 或 f ( x ) = f ( x + T ) ， 要 想 由“4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)”得到或变成“f(x)=f(x+T)”，我们唯一的办法就是通过对x、y进行特殊的赋值和恒等变形，并且要经过不断的尝试。.第一步、求出f(0)的函数值：令x=y=0，则4f(0)f(0)=f(0+0)+f(0-0)，则f(0)
20、=0或f(0)=1/2. 令x=y=1，且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) f(2)=1/4-f(0).令x=2，y=0且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) 4f(2)f(0)=f(2)+f(2). f(2)=1/4-f(0)，4f(2)f(0)=f(2)+f(2).且f(0)=0或f(0)=1/2 f(0)=1/2.第二步、求出f(x)的周期：.对于任意x、yR，都有4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)恒成立. 对于任意x、yR，都有f(x+y)=4f(x)f(y)-f(x-y)恒成立. 令x=t,y=1，则f(t+1)=4f(1)f(t)-f(t-1)即
21、f(t+1)=f(t)-f(t-1). 令x=t+2,y=1，则f(t+1)+1=4f(1)f(t+1)-f(t)，. 即f(t+2)=f(t+1)-f(t). f(t+1)=f(t)-f(t-1)且f(t+2)=f(t+1)-f(t) . f(t+2)=-f(t-1) 即：f(t+2)+f(t-1)=0. f(t+2)+f(t-1)=0 f(t+5)+f(t+2)=0 . f(t+2)+f(t-1)=0且f(t+5)+f(t+2)=0 . -得：f(t+5)=f(t-1) 即：f(t)=f(t+6).原函数f(x)是以6为周期的周期函数 2 0 1 0 = 6 3 3 5 且 f ( x ) 是 以 “ 6 ” 为 周 期 的 函 数 f(2010)=f(3356)=f(0)=1/2