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1、第十三讲第十三讲 长度比与距离改正长度比与距离改正钱如友钱如友滁州学院地理信息与旅游学院滁州学院地理信息与旅游学院确定水平坐标的流程已知坐标（L，B）地面上观测元素布设水平控制网观测平差大地坐标（L，B）推算归算椭球面上的元素水平方向大地线长大地方位角平面坐标（X，Y）已知坐标（X，Y）高斯平面 的元素归算平差推算水平方向平面距离平面方位角水平方向垂直角地面距离天文经纬度天文方位角水平坐标3.3.3、距离改正、距离改正 高斯投影是一种正形高斯投影是一种正形投影，没有角度变形。但投影，没有角度变形。但除中央子午线外，均存在除中央子午线外，均存在有长度变形。将椭球面上有长度变形。将椭球面上两点间的
2、大地线长化算为两点间的大地线长化算为高斯投影平面上相应两点高斯投影平面上相应两点间的弦长，所加的改正，间的弦长，所加的改正，称为称为距离改正距离改正。xyo12s12S12s12D1、长度比公式、长度比公式BNlylxrGm222222cos)()(正形投影长度比公式正形投影长度比公式BNlylxrGm222222cos)()(或或BNqyqxrEm222222cos)()(3.3.3、距离改正、距离改正BNlylxrGm222222cos)()(n 由大地坐标（由大地坐标（B B，L L）计算长度比的公式）计算长度比的公式522242532236425442232)5814185(cos12
3、0 )1(cos6cos)5861(cossin720 )495(cossin24cossin2ltttBNltBNlBNylttBBNltBBNlBBNXx42224252223542534223)5814185(cos24 )1 (cos2cos)5861(cossin201 )495(cossin6cossinltttBNltBNBNlylttBBNltBBNlBBNlxn 由大地坐标（由大地坐标（B B，L L）计算长度比的公式）计算长度比的公式项，则、略去325ll)45(cos24)1 (cos2124442222tBlBlm BNlylxrGm222222cos)()(42224
4、252223542534223)5814185(cos24 )1 (cos2cos)5861(cossin201 )495(cossin6cossinltttBNltBNBNlylttBBNltBBNlBBNlx)2(cos3)1 (cos1244222tBlBlm522242532236425442232)5814185(cos120 )1(cos6cos)5861(cossin720 )495(cossin24cossin2ltttBNltBNlBNylttBBNltBBNlBBNXxn 由平面坐标（由平面坐标（x x，y y）计算长度比的公式）计算长度比的公式)45(cos24)1 (c
5、os2124442222tBlBlm 代入上式：并省略取第二个式子的主项BNylcosl,04)1 (21222Nymn 由平面坐标（由平面坐标（x x，y y）计算长度比的公式）计算长度比的公式4422224)1 (21NyNym2322221111RMNNcVNVN44222421RyRym5010020030035020B30B40B50ByOx同理得到更精密的同理得到更精密的长度比公式：长度比公式：n 长度比或长度变形（长度比或长度变形（m m - 1 - 1）规律）规律44222421RyRym)45(cos24)1 (cos2124442222tBlBlm 1 1）长度比（变形）仅
6、与点的位置有关，与点周围的方向无关长度比（变形）仅与点的位置有关，与点周围的方向无关；2 2）l l=0=0或或y y=0=0，m m=1=1，即中央子午线上的点，长度比恒等于，即中央子午线上的点，长度比恒等于1 1，长，长 度变形恒为度变形恒为0 0；3）l l00或或y y00，m1m1，即不在中央子午线上的点，其长度比恒，即不在中央子午线上的点，其长度比恒 大于大于1 1，长度变形恒大于，长度变形恒大于0 0；4）同一纬圈上的点，该点越远离中央子午线，长度比越大，长同一纬圈上的点，该点越远离中央子午线，长度比越大，长 度变形也越大度变形也越大；5）同一子午圈上的点，子午圈与赤道的交点处长
7、度比（变形）同一子午圈上的点，子午圈与赤道的交点处长度比（变形） 最大最大；6）同一投影带中，分带子午线与赤道的交点处长度比）同一投影带中，分带子午线与赤道的交点处长度比（变形）（变形） 最大。最大。 如图所示，设椭球面上有如图所示，设椭球面上有P1,P2 P1,P2 点点大地线长大地线长度为度为S S，在高斯投影面上的投影为，在高斯投影面上的投影为 , ,投影曲投影曲线长为线长为 。连接。连接 两点的直线弦长为两点的直线弦长为D D。由。由 S S 化至化至D D所加的改正，即为距离改化所加的改正，即为距离改化 。21,PP21,PPs21PP Sm1SDS 目的是求目的是求D D与与S S
8、之关系，关键是求平面曲之关系，关键是求平面曲线长线长s s与弦长与弦长D D之关系。之关系。DsS s s与与D D之关系之关系dD21PP ds21PPvvdsdDcossvdsD0cos 设设 是是 弦上的微分线段，弦上的微分线段， 表表示弧线示弧线 上的微分线段，它们的夹上的微分线段，它们的夹角为角为 ，则有，则有 因此因此vvcos 由于由于 是一个小角，最大不会超过方向改化值是一个小角，最大不会超过方向改化值 ，因此可把，因此可把 展展开为级数：开为级数： 21cos2vv2、长度改正：、长度改正：myxxR)(21122最大已是二次项， D与与s之差之差 是四次项微小量。当是四次项
9、微小量。当取最大取最大40,s=50KM时，时，代入上式得代入上式得 ，化算为相对中误差为，化算为相对中误差为 ：22smms122812 1050000000结论结论: :用用D D代替代替s s在最不利的情况下也不会超过在最不利的情况下也不会超过1mm,1mm,实际上可实际上可以认为大地线的平面投影曲线长度以认为大地线的平面投影曲线长度s s等于其弦线长度等于其弦线长度D D。ssdsvvdsDss2)21 (cos2020v式中式中 用用 的最大值代替。的最大值代替。dsmdSdDmdS 对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上
10、是很微小的，可以认为是一个常数，因而可以用际上是很微小的，可以认为是一个常数，因而可以用D/SD/S来代来代替替dD/dSdD/dS，即有：，即有：2212mymR DmS代入代入22(1)2mmyDSR242224(1)22424mmmmmyyyDSRRR当S70km,ym0S0，即投影到平面上变长了。这和前面的高斯投，即投影到平面上变长了。这和前面的高斯投影结论（影结论（m-1m-1）00一致。故工程测量中总希望减小一致。故工程测量中总希望减小yy减小减小S S或（或（m-1m-1），），其措施是采用其措施是采用3 3带、带、1.51.5带、独立带（投带、独立带（投影带的选择）或选择计算基准面（投影面的选择）。影带的选择）或选择计算基准面（投影面的选择）。计算说明：计算说明：1)1)需要知道两点的平需要知道两点的平面面近似坐标近似坐标，可用于，可用于将平面边长将平面边长D与大地线与大地线长长S之间的互相转化；之间的互相转化；2 2）距离改正）距离改正S量级量级较大，各等水平控制较大，各等水平控制网一般不能忽视；网一般不能忽视；3 3）下标）下标m 的含义。的含义。