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1、（一）向量代数（一）向量代数向量的表示向量的表示方向余弦方向余弦内积内积外积外积混合积混合积向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦
2、的坐标表示式)1coscoscos(222 4 4、数量积、数量积 cos|baba 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式5 5、向量积、向量积 sin|bac 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系.(叉积、外积叉积、外积)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyz
3、zy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合积、混合积 重点 1-2，1-4，1-5（二）直线和平面方程（二）直线和平面方程平面方程平面方程直线方程直线方程平面与直线位置关系平面与直线位置关系距离、夹角距离、夹角异面直线异面直线平面束平面束平面的平面的点位式方程点位式方程0001112220 xxyyzzXYZXYZ0 DCzByAx平面的平面的一般方程一般方程 0000 zzZyyYxxX已知一个平面过空间中的一点已知一个平面过空间中的一点
4、且其法向量为且其法向量为 则平面的则平面的点法式方程点法式方程为：为： ZYXn, 0000,zyxMpzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程 ptzzntyymtxx000直线的参数方程直线的参数方程 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程平面与直线位置关系平面与直线位置关系 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行 两直线异面的判定两直线异面的判定平面束平面束 定理定理2.3.1 设两个平面设两个平面交于一条直线交于一条直线 ，则以，则以 为轴的为轴的共轴平面束方共轴平面束方程程是是 其中其中 是不全为零的任
5、意实数是不全为零的任意实数.1111122222:0,:0AxB yC zDA xB yC zD111122220,Ax By Cz DAx B y Cz D, l适用于求过已知直线的平面方程适用于求过已知直线的平面方程距离、夹角距离、夹角点到直线的距离点到直线的距离0.M Md vv 两异面直线之间的距离121212,.M Md v vvv0111111 ZYXZYXzzyyxx0222222 ZYXZYXzzyyxx公垂线方程公垂线方程异面直线异面直线例例2.4.5 试求直线试求直线在平面在平面 上的射影直线方程，并求上的射影直线方程，并求 与与 的夹角的夹角.解解 直线直线 的方向向量为
6、的方向向量为为简单起见，取为为简单起见，取为 又平面又平面 的法向量的法向量 依公式依公式(2.4.9)，直线，直线 与平面与平面 的夹角的夹角 满足满足 10,:10 xyzlxyz :0 xyzll 1,1, 11, 1,12 0,1,1 l6sin.3n vn v6arcsin.3所以所以1,1,1 .v1,1,1 .n下面求直线下面求直线 在平面在平面 上的射影直线方程上的射影直线方程.l 以直线以直线 为轴的平面束方程为为轴的平面束方程为 即即在平面束中找一个平面与平面在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂垂直，那么依两平面垂直的条件，有直的条件，有解得解得 ，于是经过直线
7、，于是经过直线 且与平面且与平面 垂直的平垂直的平面方程为面方程为所求的射影直线方程为所求的射影直线方程为l110,xyzxyz0,xyz 1110, :1:1 l10,yz 0,10.xyzyz 重点、难点 2-4（三）常见的曲面（三）常见的曲面柱面方程柱面方程锥面方程锥面方程 旋转曲面方程旋转曲面方程曲线族生成的曲面曲线族生成的曲面直纹曲面直纹曲面柱面由它的柱面由它的准线和母线方向准线和母线方向所确定所确定柱面方程柱面方程,.xxyyzzlmnF x y zG x y z 图图3.1.锥面由它的锥面由它的准线和顶点准线和顶点所确定所确定锥面方程锥面方程 设点设点 不是顶点不是顶点 ,则点则
8、点 在锥面上当且仅当由在锥面上当且仅当由点点 与与 所确定的直线必与准线所确定的直线必与准线 相交于某点相交于某点 ,因此因此(3.2.3), ,P x y z,P x y z,.xxyyzzxxyyzzF x y zG x y z 0P0PPP.旋转曲面方程旋转曲面方程 点点 当且仅当存在点当且仅当存在点 ,使得点使得点 位于过点位于过点 的的纬圆纬圆上上, 因此有因此有从上述方程组中消去从上述方程组中消去 ,便得到旋转曲面便得到旋转曲面 的一般的一般方程方程.P x,y,zS1111P x ,y ,z(3.3.1)222222000101010111111111,0,0,0.xxyyzzx
9、xyyzzl xxm yyn zzF x ,y ,zG x ,y ,zP1P111,x y zSP1P0OXYZ五种常见的二次曲面五种常见的二次曲面1222222Czbyax1222222 czbyax1222222 czbyaxzqypx 2222zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq22=164xyz3241=0 xyz习题习题4在双曲抛物面在双曲抛物面 上上, 试求平行于平试求平行于平面面 的直母线方程的直母线方程. 解解 族直母线族直母线 的方向向量为的方向向量为依题意依题意,于是于是 是所求的一条直母线是所求的一条直母线.,4242xyxyz1 1,.2 44113240,2
10、44 21211xyz42212xyz2(此时此时 ).同法可求出属同法可求出属于于 族的另一条直母线为族的另一条直母线为直纹曲面直纹曲面 解解 在已知二直线上分别取点在已知二直线上分别取点 和和 其中其中 是参数，于是动直线方程为是参数，于是动直线方程为因直线因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令与已知双曲线相交，令 ,有有故得故得 ，代入，代入 中得中得 ( , , )c( , ,)c, (3.4.8).xyzccxy ,xyxyc . c0z ,(3.4.9),yzc ,()xzc c ,xycz 例例3.4.7 求与两直线求与两直线 与与 均均相交，且与双曲线相交，且与双曲线 也相交
11、的动直线所产生也相交的动直线所产生的曲面方程的曲面方程.消去参数即得所求曲面方程为消去参数即得所求曲面方程为.zxyc曲线族生成曲面曲线族生成曲面重点柱面方程柱面方程锥面方程锥面方程 旋转曲面方程旋转曲面方程曲线族生成的曲面曲线族生成的曲面直纹曲面直纹曲面五种常见的二次曲面五种常见的二次曲面（四）二次曲面的一般理论（四）二次曲面的一般理论坐标变换坐标变换利用旋转变换和平移（绕轴旋转）化简利用旋转变换和平移（绕轴旋转）化简二次曲面的方程二次曲面的方程 坐标变换坐标变换111213212223313233, , ,i j ki j k ccccccccc1112130212203132330,.xc xc yc zxyc xc yc zyzc xc yc zz23+课后作业：课后作业： P122 1,3,5选做：选做：94-2 课件、作业。