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1、二次函数与函数的零点一、知识要点1二次函数的解析式(1)一般式： f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)a(xh)2k(a0)；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1， x2， 则其解析式为f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图象和性质a0a0 图象定义域R值域4acb24a，4acb24a单调性在 ，b2a上递减，在b2a，上递增在 ，b2a上递增，在b2a，上递减奇偶性b0 时为偶函数，b 0既不是奇函数也不是偶函数图象特点对称轴： xb2a；顶点：b2a，4acb24a2函数的零点(1)定义：使函数 yf(x
2、)的值为 0 的实数 x 称为函数y f(x)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系：方程 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数yf(x)在区间 a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)0)的图象与零点的关系 0 0 0 二次函数yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点(x1,0)， (x2,0) (x1,0) 无交点零点个数两个一个零个5.二分法的定义在区间 a，b上连续不断且f(a) f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数f(x)的
3、零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二、例题分析例 1已知二次函数f(x)同时满足以下条件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)0 的两根的立方和等于17. 求 f(x)的解析式自主解答 依条件，设f(x)a(x1)215(a0)，即 f(x)ax22axa15. 令 f(x)0，即 ax22axa150，则 x1x22， x1x2115a. 而 x31x32(x1x2)33x1x2(x1x2)2332 115a290a. 即 290a17，则 a 6.故 f(x) 6x212x 9. 例 2(2014
4、盐城模拟 )已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当 a 2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使y f(x)在区间 4,6上是单调函数；(3)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间自主解答 (1)当 a 2 时， f(x)x24x3(x2)21. 又 x 4,6，函数 f(x)在4,2上为减函数，在2,6 上为增函数 f(x)maxf(4)(4 2)2135，f(x)minf(2) 1. (2)函数f(x)x22ax3 的对称轴为x a，且 f(x)在4,6上是单调函数， a6 或 a4，即 a6 或 a4. (3)当 a1 时， f(x)x22x3， f(|x|
5、)x22|x| 3，此时定义域为x 6,6，且 f(x)x2 2x3，x0，6，x22x3，x 6，0， f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0例 3 (2013玉林模拟 )是否存在实数a，使函数f(x)x22axa 的定义域为 1,1时，值域为 2,2？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由解： f(x)x22ax a(xa)2a a2.当 a 1 时， f(x)在1,1上为增函数，f 1 1 3a 2，f 1 1a，解得 a 1(舍去 )；当 1a0 时，f a aa2 2，f 1 1a2，解得 a 1. 当 01 时， f(x)在1,1上为减函数，f 1 13a2，f
6、 1 1a，a 不存在综上可知a 1 例 4(1)(2013唐山模拟 )设 f(x)exx4，则函数 f(x)的零点在 (k，k1)(kZ)上，则 k_. (2)(2013朝阳模拟 )函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_自主解答 (1) f(x)exx 4， f(x)ex10，函数 f(x)在 R 上单调递增 f(1)e1 4e30，f(1)f(2)0. (2)由条件可知f(1)f(2)0，即 (22a)(41a)0，即 a(a3)0，解得 0a0 ，4x1 x 0的零点个数为_自主解答 令 f(x)0，即 2x x3 20，则 2x 2 x3. 在
7、同一坐标系中分别画出y2x2 和 y x3的图象，由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交点，故函数f(x)2xx32 在区间 (0,1)内有一个零点(2)当 x0 时，函数有零点x14；当 x0 时，作出函数 y ln x，yx22x 的图象，观察图象可知两个函数的图象(如图 )有 2 个交点，即当x0 时函数 f(x)有 2 个零点故函数f(x)的零点的个数为3. 答案 (1)1(2)3 例 5 (2012 无锡模拟 )已知关于x 的二次方程x22mx2m 10. (1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0
8、,1)内，求 m 的取值范围解： (1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1 与 x 轴的交点分别在区间(1,0)和 (1,2)内，如图 (1)所示，得f 0 2m 10，f 1 4m 20，解得56m0，f 1 0， 0，0m12，m12.m12或m12，1m0，即12m12，m 的取值范围是12，12 . 三、当堂练习1 已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(2,4)， 且过点 (3,0) ， 则 f(x) _(用一般式表示 )解析： 依题意可设f(x)a(x2)24(a0)，代入点 (3,0)可得 0a(32)24.从而 a 4，所以 f(x) 4(x2)24 4x216x12. 答
9、案： 4x216x12 2(教材习题改编)已知函数y x22x3 在闭区间 0，m上有最大值3，最小值2，则 m的取值范围为_解析： 如图，由图象可知m 的取值范围 1,2 答案： 1,2 3(2012 泰州质检 )若方程 x22mx40 的两根满足一根大于1，一根小于1，则 m 的取值范围是 _解析： 设 f(x) x2 2mx4，则题设条件等价于f(1)0，即 12m 452. 答案： m524 若函数 f(x)x2axb的两个零点是2和 3， 则函数 g(x)bx2 ax1的零点是 _解析： 函数 f(x)x2ax b 的两个零点为2 和 3，23a，23 b，即 a5， b 6. g(
10、x)bx2 ax1 6x25x1，令 g(x)0，得 x12或13. 答案： 12，135若二次函数f(x)ax22xc 的值域是 0， )，则 ac 的最小值为 _解析： 由已知 a0，4ac 44a0， ac1，c0. ac2 ac2.当且仅当ac1 时，取等号， a c 的最小值为2. 答案： 2 6 (2013 温州模拟 )方程 x2ax 20 在区间 1,5 上有解，则实数 a 的取值范围为 _解析： 令 f(x)x2ax 2，由题意，知f(x)图象与 x 轴在 1,5上有交点，则f 1 0，f 5 0，解得235a1. 答案：235，17(2012 江苏高考 )已知函数f(x)x2
11、axb(a，bR)的值域为 0， )，若关于x 的不等式 f(x)c 的解集为 (m，m6)，则实数c 的值为 _解析： 因为 f(x)的值域为 0， )，所以 0，即 a24b，所以 x2axa24c0 的解集为(m，m6)，易得 m，m6 是方程 x2axa24 c0 的两根，由一元二次方程根与系数的关系得2m6 a，m m6 a24c，解得 c9.答案： 9 8(2014 无锡联考 )设函数f(x)mx2mx1，若 f(x)0 的解集为R，则实数m 的取值范围是 _解析： 若 m 0；显然 10 恒成立，若m0，则m0， 0， 4m0. 故所求范围为40 恒成立即可结合f(x)ax2(3
12、a)x1 的图象，当a0 时验证知符合条件当a0 时必有 a0，当 x3a2a0 时，函数在 ( ，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f(0)0 即可，解得0 a3；当x3a2a0 即可，解得3a9，综上所述可得a 的取值范围是0 a9.答案： 0,9) 10 已知 f(x) 4x24ax4a a2在区间 0,1内有最大值 5， 求 a 的值及函数表达式f(x)解： f(x) 4 xa224a，抛物线顶点坐标为a2， 4a . 当a21，即 a2 时， f(x)取最大值 4a2. 令 4a2 5，得 a21，a 12(舍去 )；当 0a21，即 0a0，所以若存在实数a 满足条件，则只需f(1) f(3)0 即可，即 f(1) f(3)(13a2a1) (9 9a6 a1) 4(1a)(5a1)0. 所以 a15或 a1.检验：当f(1)0 时， a1. 所以 f(x)x2x.令 f(x)0，即 x2x0.得 x0 或 x 1. 方程在 1,3上有两根，不合题意，故a1. 当 f(3)0 时， a15，此时 f(x)x2135x65，令 f(x)0，即 x2135x650，解得 x25或 x 3. 方程在 1,3上有两根，不合题意，故a15. 综上所述， a 的取值范围为，15 (1， )