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1、初中数学基础知识及经典题型讲解初中数学基础知识及经典题型讲解目录第一章绪论 2 1.1初中数学的特点2 1.2怎么学习初中数学2 1.3如何去听课 5 1.4几点建议 6 第二章应知应会知识点7 2.1代数篇 7 2.2几何篇 11 第三章例题讲解 17 第四章兴趣练习 29 4.1代数部分 29 4.2几何部分 45 第五章复习提纲 50 第一章绪论1.1初中数学的特点1.2怎么学习初中数学1，培养良好的学习兴趣。两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好
2、的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。（4）听课中注意老师讲解
3、时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活， 如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可*，在应用概念判断、 推理时会准确。2，建立良好的学习数学习惯。习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习数学的过程
4、中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。3，有意识培养自己的各方面能力。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别是，教师为了
5、培养这些能力，会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习题的解答时的一题多解、 举一反三的训练归类， 应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型， 在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。学好初中数学， 需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想， 分类讨论思想， 数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观
6、察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。解数学题时， 也要注意解题思维策略问题， 经常要思考： 选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。 高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。5、逐步形成“以我为主”的学习模式。数学不是老师教会的，而是在老师的引导下， 自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于 探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品
7、质； 在学习过程中， 要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论， 经常进行一题多解， 一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活” ，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。6、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。记数学笔记， 特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中扩展的课外知识。 记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或
8、推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药； 解答问题完整、推理严密。1.3如何去听课认真听好每一节棵。要上好每一节课， 数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课， 有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。概念课要重视教学过程， 要积极体验知识产生、 发展的过程， 要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣；在解决问
9、题的过程中，体会到成功的喜悦。习题课要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的诀窍。除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做”和“大题小做”的解题方法，即对选择题、 填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目不妨把“大”拆“小”，以“退”为“进”，也就是把一个比较复杂的问题，拆成或退为最简单、最原始的问题
10、，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃，进一步升华，就能凑成一个大题， 即退中求进了。 如果有了这种分解、 综合的能力，加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。复习课在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。 要反思对所学习的知识、技能有 没有达到课程所要求的程度； 要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题(包括基本图形、图像等 )，典型问题有没有真正弄懂弄通了，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己的错误， 找出
11、产生错误的原因， 订出改正的措施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方” ，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，通过你的努力，到高考时你的数学就没有什么“病例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用， 达到深化理解、 发展能力的目的， 因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反三、熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。1.4几点建议1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。如：我在讲课时的注解。2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记
12、载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。3、记忆数学规律和数学小结论。4、与同学建立好关系，争做“小老师” ，形成数学学习“互助组” 。5、争做数学课外题，加大自学力度。6、反复巩固，消灭前学后忘。7、学会总结归类。从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类。总之，对初中生来说，学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极展开思维的翅膀， 主动地参与教育全过程， 充分发挥自己的主观能动性，愉快有效地学数学。其次要掌握正确的学习方法。 锻炼自己学数学的能力， 转变学习方式，
13、 要改变单纯接受的学习方式， 要学会采用接受学习与探究学习、合作学习、 体验学习等多样化的方式进行学习，要在教师的指导下逐步学会“提出问题实验探究开展讨论形成新知应用反思”的学习方法。 这样，通过学习方式由单一到多样的转变，我们在学习活动中的自主性、探索性、合作性就能够得到加强，成为学习的主人。第二章应知应会知识点2.1代数篇一数与式（一）有理数1有理数的分类2数轴的定义与应用3相反数4倒数5绝对值6有理数的大小比较7有理数的运算（二）实数8实数的分类9实数的运算10科学记数法11近似数与有效数字12平方根与算术根和立方根13非负数14零指数次幂负指数次幂（三)代数式15代数式代数式的值16列
14、代数式（四）整式17整式的分类18整式的加减乘除的运算19幂的有关运算性质20乘法公式21因式分解（五）分式22分式的定义23分式的基本性质24分式的运算（六）二次根式25二次根式的意义26根式的基本性质27根式的运算二方程和不等式（一）一元一次方程28方程方程的解的有关定义29一元一次的定义30一元一次方程的解法31列方程解应用题的一般步骤（二）二元一次方程32二元一次方程的定义33二元一次方程组的定义34二元一次方程组的解法（代入法消元法加减消元法）35二元一次方程组的应用（三）一元二次方程36一元二次方程的定义37一元二次方程的解法（配方法因式分解法公式法十字相乘法）38一元二次方程根与
15、系数的关系和根的判别式39一元二次方程的应用（四）分式方程40分式方程的定义41分式方程的解法（转化为整式方程检验）42分式方程的增根的定义43分式方程的应用（五）不等式和不等式组44不等式（组）的有关定义45不等式的基本性质46一元一次不等式的解法47一元一次不等式组的解法48一元一次不等式（组）的应用三函数（一）位置的确定与平面直角坐标系49位置的确定50坐标变换51平面直角坐标系内点的特征52平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置53对称问题： P(x,y)Q(x,- y）关于 x 轴对称P(x,y)Q(- x,y)关于 y 轴对称P(x,y)Q(- x,- y)关于原点对称54变量
16、自变量因变量函数的定义55函数自变量因变量的取值范围（使式子有意义的条件图象法）56函数的图象：变量的变化趋势描述（二）一次函数与正比例函数57一次函数的定义与正比例函数的定义58一次函数的图象：直线，画法59一次函数的性质（增减性）60一次函数 y=kx+b(k 0)中 kb 符号与图象位置61待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）62一次函数的平移问题63一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系（图象法）64一次函数的实际应用65一次函数的综合应用（1）一次函数与方程综合（2）一次函数与其它函数综合（3）一次函数与不等式的综合（4）一次函数与几何综合（三）反比例函数
17、66反比例函数的定义67反比例函数解析式的确定68反比例函数的图象：双曲线69反比例函数的性质（增减性质）70反比例函数的实际应用71反比例函数的综合应用（四个方面面积问题）（四）二次函数72二次函数的定义73二次函数的三种表达式（一般式顶点式交点式）74二次函数解析式的确定（待定系数法）75二次函数的图象：抛物线画法（五点法）76二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）77二次函数 y=ax2+bx+c(a0)中 abc与特殊式子的符号与图象位置关系78求二次函数的顶点坐标对称轴最值79二次函数的交点问题80二次函数的对称问题81二次函数的最值问题（实际应用）82二次函数的平移问题83二
18、次函数的实际应用84二次函数的综合应用（1）二次函数与方程综合（2）二次函数与其它函数综合（3）二次函数与不等式的综合（4）二次函数与几何综合2.2几何篇1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短7 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行9 同位角相等两直线平行10 内错角相等两直线平行11同旁内角互补两直线行12 两直线平行同位角相等13 两直线平行内错角相等14 两直线平行同旁内角互补15
19、 三角形两边的和大于第三边16 三角形两边的差小于第三边17 三角形三个内角的和等18018 直角三角形的两个锐角互余19 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边对应角相等22 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 23 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 24 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 25 有三边对应相等的两个三角形全等(SSS) 26 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 27 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28
20、到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合33 等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于6034 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等 (等角对等边 ) 35 三个角都相等的三角形是等边三角形36 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半3
21、9 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上45 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称46 直角三角形两直角边ab的平方和等于斜边c 的平方即 a+b=c 47 如果三角形的三边长abc有关系 a+b=c 那么这个三角形是直角三角形48 四边形的内角
22、和等于36049 四边形的外角和等于36050 多边形内角和定理n 边形的内角的和等于 (n-2)18051 任意多边的外角和等于36052 平行四边形的对角相等53 平行四边形的对边相等54 夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形的对角线互相平分56 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 对角线互相平分的四边形是平行四边形59 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形的四个角都是直角61 矩形的对角线相等62 有三个角是直角的四边形是矩形63 对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形的四条边都相等65 菱形的对角线互相垂直并且每一条对
23、角线平分一组对角66 菱形面积 =对角线乘积的一半即S=(ab)2 67 四边都相等的四边形是菱形68 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形的四个角都是直角四条边都相等70 正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角71 关于中心对称的两个图形是全等的72 关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分73 如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点对称74 等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等76 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形78 如果一组平行线在一
24、条直线上截得的线段相等那么在其他直线上截得的线段也相等79 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰80 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边81 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半82 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半L=(a+b)S=L h 83 如果 a:b=c:d那么 ad=bc 如果 ad=bc那么 a:b=c:d 84 如果 a/b=c/d那么(a b)/b=(cd)/d 85 如果 a/b=c/d=m/n(b+d+n0)那么(a+c+ +m)/(b+d+ +n)=a/b86 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例87 平行于三角形一边的直线截
25、其他两边(或两边的延长线 )所得的对应线段成比例88 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线 )所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线 )相交所构成的三角形与原三角形相似91 两角对应相等两三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS) 94 三边对应成比例两三角形相似(SSS) 95 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜
26、边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似96 相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 相似三角形周长的比等于相似比98 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101 圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等105 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆106 和
27、已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线108 到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109 不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111平分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧112圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等
28、115在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等118半圆(或直径 )所对的圆周角是直角 ;90的圆周角所对的弦是直径119如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形120 圆的内接四边形的对角互补并且任何一个外角都等于它的内对角121直线 L 和O 相交 dr 直线 L 和O 相切 d=r 直线 L 和O 相离 dr 122 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123 圆的切线垂直于经
29、过切点的半径124 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126 从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127 圆的外切四边形的两组对边的和相等128 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129 如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等130 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等131 如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132 从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133 从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的
30、积相等134 如果两个圆相切那么切点一定在连心线上135两圆外离 dR+r两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(Rr)两圆内含 dR-r(Rr) 136 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137 把圆分成 n(n3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形138 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆是同心圆139 正 n 边形的每个内角都等于 (n-2)180/n 140 正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n个全等的直角三角形141 正 n 边
31、形的面积 Sn=pnrn/2p表示正 n 边形的周长142 正三角形面积 3a/4a表示边长143 如果在一个顶点周围有k 个正 n 边形的角由于这些角的和应为360因此 k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式 :L=nR/180 145 扇形面积公式 :S 扇形=nR/360=LR/2 146 内公切线长 =d-(R-r)外公切线长 =d-(R+r) 第三章例题讲解【例】如图 10，平行四边形 ABCD 中，AB 5，BC 10，BC边上的高 AM =4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合） 过 E作直线 AB的垂线，垂足为 FFE与 DC的延
32、长线相交于点 G ，连结 DE ，DF 。（1）求证： BEF CEG （2）当点 E在线段 BC上运动时， BEF和CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设 BE x，DEF的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时， y 有最大值，最大值是多少？图 10 MBDCEFGxA解析过程及每步分值1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDG1 分所以,BGCEGBFE所以BEFCEG3 分（ 2）BEFCEG与的周长之和为定值4 分理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以FHCG，FGCH因此，BEF
33、CEG与的周长之和等于BCCHBH由BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6，所以BCCHBH24 6 分理由二：由AB5，AM4，可知在 RtBEF与 RtGCE中，有：4343,5555EFBEBFBEGEECGCCE，AMxHGFEDCB所以，BEF的周长是125BE， ECG的周长是125CE又BECE10，因此BEFCEG与的周长之和是246 分（ 3）设BEx，则43,(10)55EFxGCx所以211 43622(10)522 55255yEF DGxxxx8 分配方得：2655121()2566yx所以，当556x时，y有最大值 9 分最大值为121610 分【例】如图二次
34、函数yax2bxc( a0)与坐标轴交于点ABC且 OA 1OB OC 3（1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方程（3）点 MN在 yax2bxc 的图像上 (点 N在点 M的右边 ) 且 MN x 轴求以 MN为直径且与 x 轴相切的圆的半径解析过程及每步分值（1）依题意( 1 0)(3 0)(03)ABC，分别代入2yaxbxc 1 分解方程组得所求解析式为223yxx 4 分（2）2223(1)4yxxx 5 分顶点坐标(14)，对称轴1x 7 分（3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为(1)rr， 8 分把N点代入223yxx得1172r 9 分同理可得另一种
35、情形1172r圆的半径为1172或1172 10 分【例 3】已知两个关于 x的二次函数1y 与当xk时，217y；且二次函数2y 的图象的对称轴是直222112()2(0)612yya xkkyyxx，线1x（1）求k的值；（2）求函数12yy，的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由解析过程及每步分值（1）由22112()2612ya xkyyxx，得22222121()612()2610()yyyyxxa xkxxa xk又因为当xk时，217y，即261017kk，解得11k，或27k（舍去），故k的值为1（2）由1k，得2222610
36、(1)(1)(26)10yxxa xa xaxa，所以函数2y的图象的对称轴为262(1)axa，于是，有2612(1)aa，解得1a，所以2212212411yxxyxx，（3）由21(1)2yx，得函数1y的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1 2)，；由22224112(1)9yxxx，得函数2y的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为( 19)，；故在同一直角坐标系内，函数1y的图象与2y的图象没有交点【例 4】如图 , 抛物线24yxx与 x 轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接 AB,把 AB所的直线沿y 轴向上平移 , 使它经过原点O,得到直线l, 设 P是直线 l 上一动
37、点 . （1）求点 A的坐标 ; （2）以点 A、B、O、P为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形, 请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标 ; （ 3）设以点A、 B、 O、 P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x, 当46 268 2S时, 求 x 的取值范围 . 解析过程及每步分值解： （1）4)2(422xxxyA(-2,-4) （2）四边形ABP1O为菱形时， P1(-2,4) 四边形 ABOP2为等腰梯形时，P1(5452，) 四边形 ABP3O为直角梯形时，P1(5854，) 四边形 ABOP4为直角梯形时，P1(51256，) （3）由已知条件可求得AB
38、 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x 当点 P在第二象限时，x0, 过点 A、 P分别作 x 轴的垂线，垂足为A、 P则四边形POA A的面积44)2(21)2(224xxxxxSSSOPPAAP梯形PAAPO AA B的面积42421BAAS)0(84xxSSSBAAAAPO286264S，286264SS即2868426484xx21242223Sxx 的取值范围是21242223x【例 4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量 x成正比例关系
39、， 如图所示； 种植花卉的利润2y 与投资量x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量 x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解析过程及每步分值解： （1）设1y=kx, 由图所示，函数1y=kx的图像过（ 1， 2） ，所以 2=1k，2k故利润1y关于投资量x的函数关系式是1y=x2；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y=2ax，由图12- 所示，函数2y=2ax的图像过（ 2，2） ，所以222a，21a故利润2y关于投资量x的函数关系式是221xy；（
40、2）设这位专业户投入种植花卉x万元（80 x） ，则投入种植树木（x8）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=)8(2x+221x=162212xx=14)2(212x当2x时，z的最小值是14；因为80 x，所以622x所以36)2(2x所以18)2(212x所以32141814)2(212x，即32z，此时8x当8x时，z的最大值是32. 【例 5】如图，已知( 4,0)A，(0,4)B，现以 A点为位似中心，相似比为9:4 ，将OB向右侧放大， B点的对应点为 C （1）求 C点坐标及直线 BC的解析式 ; （2）一抛物线经过 B、C两点，且顶点落在 x 轴正半轴上，求该抛物线的解
41、析式并画出函数图象 ; （3）现将直线 BC绕 B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线 AB距离为3 2的点 P解析过程及每步分值解: （1）过 C点向 x 轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：ABO ACD ，49AOBOADCD由已知( 4,0)A，(0,4)B可知：4,4AOBO9ADCDC 点坐标为(5,9)直线 BC的解析是为：409450yx化简得：4yx（2）设抛物线解析式为2(0)yaxbxc a，由题意得：24925540cabcbac，解得：111144abc222125454abc解得抛物线解析式为2144yxx或22144255yxx又2214
42、4255yxx的顶点在x 轴负半轴上，不合题意，故舍去满足条件的抛物线解析式为244yxx（准确画出函数244yxx图象）（3） 将直线 BC绕 B点旋转与抛物线相交与另一点P，设 P到 直线 AB的距离为h，故 P点应在与直线AB平行，且相距3 2的上下两条平行直线1l和2l上由平行线的性质可得：两条平行直线与y 轴的交点到直线BC的距离也为3 2如图，设1l与 y 轴交于 E点，过 E作 EF BC于 F 点，在 RtBEF中3 2EFh，45EBFABO，6BE可以求得直线1l与 y 轴交点坐标为(0,10)同理可求得直线2l与 y 轴交点坐标为(0,2)两直线解析式1:10lyx；2:
43、2lyx根据题意列出方程组：24410yxxyx；2442yxxyx解得：11616xy；2219xy；3320 xy；4431xy满足条件的点P有四个，它们分别是1(6,16)P，2( 1,9)P，3(2,0)P，4(3,1)P.【例 6】如图， 抛物线21:23Lyxx交x轴于 A、B两点， 交y轴于 M点. 抛物线1L向右平移 2 个单位后得到抛物线2L，2L交x轴于 C、D两点 . （1）求抛物线2L对应的函数表达式；（2）抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P是抛物
44、线1L上的一个动点（P不与点 A、B重合） ，那么点P关于原点的对称点 Q是否在抛物线2L上，请说明理由. 解析过程及每步分值【例 7】如图，在矩形ABCD中，9AB，3 3AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合） ，过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为 x ，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CQP的度数；（2）当 x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与 x之间的函数关系式；当 x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？解析过程及每步分值解： （1）如图，四边形ABCD是矩形，A
45、BCDADBC，又9AB，3 3AD，90C，9CD，3 3BC3tan3BCCDBCD，30CDBPQBD，30CQPCDB（2）如图 1，由 轴对称 的性质可知，RPQCPQ，RPQCPQ，RPCP由（ 1）知30CQP，60RPQCPQ，60RPB，2RPBPCPx，PRx，3 3PBx在RPB中，根据题意得：2(3 3)xx，解这个方程得：2 3x（3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，02 3x，21133222CPQSCPCQxxx，RPQCPQ，当02 3x时，232yx当R在矩形ABCD的外部时（如图2） ，2 333x，在RtPFB中，60RPB，22(3 3)PFBP
46、x，D Q C B P R A B A D C （备用图1）B A D C （备用图2）D Q C B P R A （图 1）D Q C B P R A （图 2）F E 又RPCPx，36 3RFRPPFx，在RtERF中，30EFRPFB，36ERx213 31818 322ERFSERFRxx，RPQERFySS，当2 33 3x时，231818 3yxx综上所述，y与x之间的 函数 解析式是：223(02 3)231818 3(233 3)xxyxxx矩形面积9 3 327 3，当02 3x时， 函数232yx随自变量的增大而增大，所以y的最大值是6 3，而矩形面积的727的值727
47、37 327，而7 36 3，所以，当02 3x时，y的值不可能是矩形面积的727；当2 33 3x时，根据题意，得：231818 37 3xx，解这个方程，得3 32x，因为3 323 3，所以3 32x不合题意，舍去所以3 32x综上所述，当3 32x时，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的727第四章兴趣练习4.1代数部分1. 已知：抛物线2yaxbxc与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C其中点A 在 x轴的负半轴上，点C 在 y 轴的负半轴上，线段OA、 OC 的长（ OAOC）是方程2540 xx的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x（1）求 A、B、 C 三点的
48、坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点 D 是线段 AB 上的一个动点（与点A、B 不重合），过点 D 作 DEBC 交 AC于点 E，连结 CD，设 BD 的长为 m，CDE 的面积为S，求 S与 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由2. 已知， 如图 1，过点01E，作平行于x轴的直线l，抛物线214yx上的两点AB、的横坐标分别为1 和 4，直线AB交y轴于点F，过点AB、分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CFDF、（1）求点ABF、 、的坐标；（2）求证：CFDF；（3）点P是抛物线21
49、4yx对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ与CDF相似？若存在， 请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由y x B D O A E C E D C A F B x O y l E D C O F x y （图 1）备用图3. 已知矩形纸片OABC的长为 4，宽为 3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点 （与点OA、不重合），现将POC沿PC翻折得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得直线PEPF、重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点PCD、的坐标，并求过此
50、三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部， 如图， 设OPxADy，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点PCD、三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标4. 如图，已知抛物线243yxx交x轴于 A、B 两点，交y轴于点 C，抛物线的对称轴交x轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0） （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结 CA 与抛物线的对称