六年级奥数-第一讲分数的速算与巧算教学设计.pdf

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1、第一讲分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项： 是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元： 让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂

2、算式，用字母表示后化简为常见的一般形式知识点拨一、裂项综合（一）、 “裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abba ab(2) 对于分母上为3个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将x

3、提取出来即可转化为分子都是1 的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、 “裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11abababababba（2）2222ababababababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项(1) 122334.(1)nn1(1)(1)3nnn(2) 1123234345.(2)(1)(2)(1) (1)4nnnn

4、nn n二、换元解数学题时， 把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法 换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论：纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个 9， 其中 n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母， 其中9 在 0 的左侧0.9aa； 0.99abab；10.09910990ababab；0.990abcaabc，2、单位分数的拆分：例：110=112020=11=11=11=11分析：分数单位的拆分

5、，主要方法是：从分母 N的约数中任意找出两个m和 n, 有：11()()()()mnmnNN mnN mnN mn=11AB本题 10 的约数有 :1,10,2,5.。例如：选1 和 2，有：11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015本题具体的解有：1111111111011110126014351530例题精讲模块一、 分数裂项【例1】11111123423453456678978910【解析】原式111111131232342343457898910111312389 101192160【巩固】333.1234234517181920【解析】原式11111113

6、(.)3123234234345171819181920113 1920111391231819201819206840【例2】计算：57191232348910【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2相比较于2，4，6，这一公差为2 的等差数列( 该数列的第n个数恰好为n的 2 倍) ，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3 与另一个的和再进行计算原式32343161232348910111128321 23234891012323489101111111111

7、3221223233489910233491031111111122129 102334910311112229021071146052315也可以直接进行通项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n，所以2323121212nnnnnnnnn， 再 将 每 一 项 的212nn与312nnn分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同【巩固】计算：5717191155234345891091011（）【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：57171923434589 109 1011这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子

8、是分母的差或和的情况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式观察可知523，734，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以57171923434589 10910112334910234345910111111113424453510119 11111111344510112435911111111111111111113445101122435468109111111111311221031181283325333155所以原式31115565155【巩固】计算：345121245235634671011 13 14【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，

9、就会是5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式2222345121234523456345671011 121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：231 54 ，24264 ，25374 【解析】原式2222345121 234523456345671011 121314154264374101441234523456345671011 121314111123434545611 121344441234523456345671011 121314111111122334344511

10、12121311111112342345234534561011 121311 121314111112231213123411 1213141111122 12132411 1213141771811 121314118211 1411758308616【例3】12349223234234523410【解析】原式12349223234234523410213141101223234234101111111122232323423492349101362879912349 103628800【例4】111111212312100【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”

11、问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11) 11122，112(12)212232，原式22221200992(1)1122334100 101101101101【巩固】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)原式213336461051015501225 1275（1113）（1316）（16110）（1122511275）12741275【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)【解析】2111(12)

12、112，311(12)(123)12123，10011(1299)(12100)129912100，所以原式111210015049150505050【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)（）【解析】原式234101()1 3366104555111111111336610455511155155【例5】22222211111131517191111131. 【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：22()()ababab ，原式111111()()()()()()244668810101212141111111111111()2446688101012121421

13、113()214214【巩固】计算：222222223571512233478【解析】原式22222222222222222132438712233478222222211111111223347821186364【巩固】计算：222222222231517119931199513151711993119951【解析】原式222222222211111315171199311995122299724461994199611111199724461994199611997219969979971996【巩固】计算：22221235013355799101【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关

14、系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221，241 ，261 ，21001，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4 倍，所以可以先将原式乘以4 后进行计算，得出结果后除以4 就得到原式的值了原式22222222124610042141611001222211111111142141611001111115041 3355799101111111111501423355799101111501421011505041016312101【巩固】2244668810101 3355779911【解析】（法 1） ：可先找通项222111111(1)(1)nnannnn原式111

15、11(1)(1)(1)(1)(1)1 33557799 1111555(1)552111111（法 2） ：原式288181832325050(2)()()()()335577991161014185065210453579111111【例6】1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999【解析】11211112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312nnnnnnnn原式11111111()()()()2233445199920001000999100011【巩固】计算：111112123122007【解析】先找通项公式12112()12(1)1

16、nannnnn原式11112(21)3(31)2007(20071)22222221223342007200820072200820071004【巩固】111133535735721【解析】先找通项：1111352122132nann nnn，原式1111111 324354691110121111111 3359112446101211111121112212175264【例7】121231234123502232342350【解析】找通项(1)(1)2(1)(1)212nnnnnannnn原式2334455623344556410182814253647，通过试写我们又发现数列存在以上规律

17、，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式233445564849495050511425364747504851495235023215226【例8】222222222222233333333333331121231234122611212312341226【解析】22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314nnnnnnannnnnnn原式 =211111111()()()()31223342627=2152(1)32781【巩固】2221111112131991【解析】22221(1)(1)1(1)1(1)1(2)nnnannnn原式22339898999

18、9(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)22334455989899992994913 1425364999710098110050【例9】计算：22222223992131991【解析】通项公式：221111112nnnannn n，原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)22334455989899993 14253649997100982233449898999913243597999810029999110050【巩固】计算：222222129911005000220050

19、009999005000【解析】本 题 的 通 项 公 式 为221005000nnn， 没 办 法 进 行 裂 项 之 类 的 处 理 注 意 到 分 母2100500050001005000100100100nnnnnn，可以看出如果把n 换成100n的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个22505050005000将项数和为100 的两项相加，得2222222221001002200100002100500010050001005000100100 1005000nnnnnnnnnnnnnn，所以原式249199 （或者，可得原式中99 项的平均数为1，

20、所以原式1 9999）【例 10 】22222210211211112120154132124【解析】虽然很容易看出3213121，5415141 可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式，于是我们又有)12()1(632112222nnnn 减号前面括号里的式子有10 项，减号后面括号里的式子也恰好有10 项，是不是“一个对一个”呢？22222210211211112120154132124211110153213211621201541321242122201564134212421201541321242122

21、2012120156415413421321242220164142124111013212116111161160模块二、换元与公式应用【例11】 计算：3333333313579111315【解析】 原式333333333123414152414223331515181274225760027848128【巩固】1324359 11【解析】 原式21213131101 10122222222222131101231091231010101121103756【巩固】计算：1 2323 434589 10【解析】 原式22222213314419913333234923492123912349

22、245451980【例12】 计算：234561111111333333【解析】 法一：利用等比数列求和公式。原式711131137132641132729法二：错位相减法设234561111111333333S则23451111133133333S，61333SS，整理可得3641729S法三：本题与例3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3 中的分子为3，与公比4 差 1，所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2 进行算，最后再将所得的结果除以2 即得到原式的值由题设，2

23、345622222222333333S，则运用“借来还去”的方法可得到61233S，整理得到3641729S【例13】 计算：22222222(246100 )(13599 )12391098321【解析】 原式222222222(21 )(43 )(65 )(10099 )10(21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099)10012349910050501501001002【巩固】2314159263141592531415927_；221234876624688766_【解析】 观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1

24、，设31415926a，原式2221111aaaaa原式22123487662 12348766221234876610000100000000【巩固】计算：22222221234200520062007【解析】 原式22222222007200654321(20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)12007200620052004321120071200720150282【例14】 计算：222222222212233445200020011223344520002001【解析】 原式222222222212233445200020011

25、2122323343445452000200120002001122334452000200121324354200120002132435199920012000()()122334420002000200120002000200022222400020012001个2相加【例15】20078.58.51.51.5101600.3【解析】 原式20078.51.58.51.5101600.32007108.51.5101600.3200771600.312.50.312.2【巩固】计算：53 574743【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效

26、果原式5525524524522222552452225545554555451000【巩固】计算：11 1912 1813 1714 16【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式原式22222222154153152151222221541234900 30870其中22221234 可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式2221121216nn nn进行计算【巩固】计算：1 9929839749 51【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式原式504950495048504850150122222250495048501222250

27、4912492222504912492150494950996250494925334925100334925 6782075【巩固】看规律3211 ，332123 ，33321236 ，试求33.36714原式33.333.312141252212314123452210515105151051590 12010800【例16】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624【解析】 令1111246a ，111246b ，则：原式11()()66abab1166abbaba1()6ab11166【巩固】11111111111111(1)()(1)()2342345234

28、5234【解析】 设111234a，则原式化简为：1111(1555aaaa( + )(+)-+)=【巩固】111111111111111111213141213141511121314151213141【解析】 设111111213141a ，111213141b ，原式115151abab115151abaabb1()51ab1115111561【巩固】1111111111111111()()5791179111357911137911（）（【解析】 设111157911A，1117911B ，原式111313ABAB111313ABAABB113AB11113565【巩固】计算11111

29、111111111111111234523456234562345【解析】 设111112345A，11112345B原式1166ABAB1166ABAABB1166AB16(AB)16【巩固】212391239112923912341023410223103410【解析】 设123923410t，则有22211111(1)222222ttttttttt【巩固】21239123911239239()()(1)()23410234102234103410【解析】 设123923410t，则有22211111(1)()()222222ttttttttt【巩固】计算11112111311143114

30、120092009【解析】 设3N11412009. 原式 =112N+11111N=121NN+111NN =112121NNNN. 【巩固】(7.886.775.66)(9.31 10.98 10)(7.886.775.6610)(9.31 10.98)【解析】 换元的思想即“打包” ，令7.886.775.66a，9.31 10.98b，则原式a(10b)(10a)b(10aba)(10abb)101010abaabb (ab) 10(7.886.775.669.31 10.98)10 0.020.2【巩固】计算 (10.450.56)(0.450.560.67)(10.450.560.

31、67)(0.450.56) 【解析】 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算. 设0.450.56a，0.450.560.67b，有原式(1a)b(1b)0.67ababaabba三、循环小数与分数互化【例17】 计算： 0.1+0.125+0.3+0.16 ，结果保留三位小数【解析】方法一： 0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736方法二： 0.1+0.125+0.3+0.161131598990111188530.736172【巩固】0.540.36；191.2 1.2427【解析】 法一：原式5453649

32、489990999011990法二：将算式变为竖式：可判断出结果应该是0.908，化为分数即是9089899990990 原式224191112319201199927999279【巩固】计算： 0.010.120.230.340.780.89【解析】方法一： 0.010.120.230.340.780.89112123234378789890909090909011121317181909090909090= 21690方法二： 0.010.120.230.340.780.89=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09=2.1+0.01(1

33、+2+3+4+8+9)12.127902.1 0.32.4【巩固】计算 （1） 0.2910.1920.3750.526（2） 0.3300.186【解析】（1）原式291192137552659999909999902913755211919999906663301999990（2）原式3301861999990330185999990581【例18】 某学生将 1.23 乘以一个数a时，把 1.23误看成 1.23 ，使乘积比正确结果减少0.3. 则正确结果该是多少 ? 【解析】由题意得：1.231.230.3aa，即：0.0030.3a，所以有：3390010a解得90a，所以1111.

34、231.23 909011190a【巩固】将循环小数 0.027 与 0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少 ? 【解析】 0.027 0.17967227179672117967248560.00485699999999937999999999999循环节有6 位， 1006=16 4，因此第100 位小数是循环节中的第4 位 8，第 10l 位是 5这样四舍五入后第100 位为 9【例19】 有 8 个数， 0.51，23,59, 0.51,24 13,47 25是其中 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第4 个数是0.51，那么按从大到小

35、排列时，第4 个数是哪一个数?【解析】2=0.63,5=0.59,240.510647,13=0.5225显然有 0.51060.510.510.520.50.6 即2413520510.51472593， 8 个数从小到大排列第4 个是 0.51，所以有2413520.510.51472593口 口(“”，表示未知的那2 个数 ). 所以，这8个数从大到小排列第4 个数是 0.51【例20】 真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么 a0.5444440.3636360.908080是多少 ? 【解析】1=0.1428577，27=0.28571

36、4 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ，67=0.857142 因此，真分数7a化为小数后， 从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为 199227=73 21,27-21=6 ，而 6=2+4，所以.=0.8571427a，即6a【巩固】真分数7a化成循环小数之后，从小数点后第1 位起若干位数字之和是9039，则 a 是多少？【解析】我们知道形如7a的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、 5、7、8 这 6 个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857和一个不完

37、整142857组成。903912457833421，而21276，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2 时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142” ，因此这个分数应该为67，所以6a。【巩固】真分数7a化成循环小数之后，小数点后第2009 位数字为7，则 a 是多少？【解析】我们知道形如7a的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6 位数字组成，200963345，因此只需判断当a为几时满足循环节第5 位数是 7，经逐一检验得3a。【例21】20022009和1287化成循环小数后第100 位上的数字之和是_.【解析】如果将20022009和128

38、7转化成循环小数后再去计算第100 位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们发现2002112009287，而10.9，则第 100 位上的数字和为9. 【巩固】纯循环小数0.abc写成最简分数时, 分子和分母的和是58, 则三位数_abc【解析】如果直接把0.abc转化为分数 ,应该是999abc, 因此 ,化成最简分数后的分母应该是999 的约数 , 我们将999分解质因数得 : 3999337 , 这个最简分数的分母应小于58, 而且大于29, 否则该分数就变成了假分数了, 符合这个要求的999的约数就只有37 了 , 因此 , 分母应当为37, 分子就是583721, 也就是说210.9

39、99372737abcabcabc, 因此2127567abc. 【例22】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立（1）11111111111102020；（2）11110【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m 和 n ，有：111()()()mnmnNN mnN mnN mnAB，从分母 n的约数中任意找出两个m 和 n ( mn ) ，有：111()()()mnmnNN mnN mnN mnAB（1） 本题10的约数有： 1，10，2，5例如：选1 和 2，有：11212111010(12)10(12)10(12)3015；从上面变化的过程可以看出，如果取

40、出的两组不同的m 和 n ，它们的数值虽然不同，但是如果m和 n的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的本题中，从10 的约数中任取两个数，共有24410C种，但是其中比值不同的只有5 组： (1 ， 1)；(1 ，2)；(1 ，5)；(1 ，10) ；(2 ， 5)，所以本题共可拆分成5 组具体的解如下：1111111111110202011110126014351530（2）10 的约数有1、2、5、10，我们可选2 和 5：15252111010(52)10(52)10(52)615另外的解让学生去尝试练习【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立111111110【解析】先选

41、 10 的三个约数，比如5、2 和 1，表示成连减式521和连加式521则：11111111041020804016如果选 10、5、2，那么有：1111111103615173485另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3 个单位分数的和或差了比如，要得到111110，根据前面的拆分随意选取一组，比如111101260，再选择其中的一个分数进行拆分，比如1111213156，所以1111101360156【例23】1111111111145【解析】1111111111145721

42、2018304051358191545【巩固】110=11-1=111【解析】11111111041020804016注：这里要先选10 的三个约数，比如5、2 和 1，表示成连减式5-2-1和连加式 5+2+1. 【例24】 所有分母小于30 并且分母是质数的真分数相加，和是_。【解析】小于 30 的质数有2、3、5、 7、11、 13、17、19、23、29 共十个，分母为17 的真分数相加，和等于11621531489()()()()817171717171717171712。类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是131517111113117119123129122

43、2222222211123568911145922【巩固】分母为 1996 的所有最简分数之和是_。【解析】因为 1996=22499。所以分母为1996 的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499 的倍数，499 与 3499。因此，分母为1996 的所有最简真分数之和是11995319935011495997999()()()()11149819961996199619961996199619961996=11235689112=1592【例25】 若1112004ab，其中 a、b 都是四位数，且ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b ）是【解析】2004 的约数有： 1,2004,2

44、,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：1121120042004(12)2004(12)601230061131120042004(13)2004(13)801626721231120042004(23)2004(23)501033401341120042004(34)2004(34)46763507【巩固】如果1112009AB，AB，均为正整数，则B最大是多少？【解析】从前面的例题我们知道，要将1N按照如下规则写成11AB的形式：111()()()mnmnNN mnN mnN mnAB，其中 m 和 n 都是N的约数。如果要让B尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n尽可能

45、地小而m 尽可能地大，因此应当m 取最大的约数，而n 应取最小的约数，因此2009m，1n，所以2009 2008B. 课后练习：练习 1.123456121231234123451234561234567【解析】原式131415161711 212312341234512345612345671111111212123123123412345671111212123456711504050395040练习 2.12389(1)(2)(3)(8)(9)234910【解析】通项为：2(1)111nnn nnnannnn，原式22222123489346789362882345910练习 3.计算

46、：333313599_【解析】 与公式222333112124nnnn相比，333313599 缺少偶数项，所以可以先补上偶数项原式3333333123100241002233331100101212504223221110010125051442225010125112497500练习 4.计算：1111111111112200723200822008232007【解析】 令111232007a，111232008b，原式1112008abbababaabba练习 5.110.150.2180.3111；2.2340.9811 (结果表示成循环小数) 【解析】原式15121823119099

47、09111371111123456790.0123456799931118199999999923422322.23422990990，980.9899，所以23298242222.2340.982119909999090，22122.2340.98111110.090.020.113901190月测备选【备选 1】计算：23993!4!100! . 【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了原式239912312341231003141100112312341231001111111212312312341239912310011121231001

48、12100!【备选 2】计算：222222221223200420052005200612232004200520052006【解析】（法 1） ：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1nnnnnnnannnnnnnn原式 = 213243542005200420062005()()()()()()1223344520042005200520062005200520052401020062006（法 2） ：22222(1)2211122(1)(1)nnnnnannnnnnnn【备选 3】计算：33312320061232006【解析】 原式2123200612

49、320061232006120062006122013021【备选 4】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947【解析】 令621739458126358947a ；739458358947b，原式378378207207abab3786213789207126207ab【备选 5】计算200920091199900999909901 (结果表示为循环小数) 【解析】由于10.0000199900，10.0000199990，所以110.000010.000010.000000009009919990099990，而900991 7 13990191 9901，所以，2009200911110.0000000090099120099990099990990199010.000000000000911120090.0000000000100120090.00000002011009