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1、学习必备欢迎下载圆知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于
2、这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；rddCBAO学习必备欢迎下载图 1rRd图3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂
3、直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推 3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以
4、推出其它的3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。图2rRd图4rRd图 5rRdOEDCBAOCDABFEDCBAOCBAO学习必备欢迎下载即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或90C90CAB是直径推论 3：若三角形一边上的中线等
5、于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOBABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
6、推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：DCBAOCBAOCBAOEDCBANMAO学习必备欢迎下载即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径AB
7、CD，2CEAE BE（3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线2PAPC PB（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。PBAOPODCBAOEDCBADECBPAOBAO1O2学习必备欢迎下载即：1O、2O相交于A、B两点12O O垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1
8、）公切线长：12Rt O O C中，22221122ABCOO OCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、 圆内正多边形的计算（1）正三角形在 O中 ABC是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在R tB O D中 进 行 ：:1:3 :2OD BD OB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OEAE OA；（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlRn：圆
9、心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr hCO2O1BADCBAOECBADOBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO学习必备欢迎下载（2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h十六、知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）
10、圆内接四边形（这是重点）直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线学习必备欢迎下载正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）【典型例题】例 1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm ，那么点导火索的人
11、每秒钟跑6.5m 是否安全？分析： 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：O 120m 爆破中心安全区域解：导火索燃烧的时间为180920.( ) s相同时间内，人跑的路程为2065130.()m人跑的路程 130120mm点导火索的人非常安全例 2. 已知梯形ABCD 内接于 O ，AB CD ， O的半径为4， AB 6，CD 2，求梯形 ABCD的面积。分析： 要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB 、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE CD于 E ，延长 EO交 AB于 F，证 OF AB 。此题容易出现丢
12、解的情况，要注意分情况讨论。解： 分两种情况讨论：（1）当弦 AB 、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1） ：过 O作 OE CD于 E，延长 EO交 AB于 F 学习必备欢迎下载连 OC 、OB ，则 CE DE AB CD ，OE CD OF AB ，即 EF为梯形 ABCD的高在 RtOEC中， EC 1，OC 4 OEOCEC22224115同理， OF7EFOEOF157SABCD梯形122615741574 154 7（2）当弦 AB 、CD在圆心 O的同侧时，如图（2） ：过 O作 OE CD于 E，交 AB于 F 以下证法同（1） ，略。EF157SABCD梯形12261574
13、1574 154 7梯形的面积为或ABCD41574157圆练习一、填空题1、已知O1和O2的半径分别为 2和3，两圆相交于点A、B，且AB2，则O1O2_2、已知四边形ABCD是O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为 _学习必备欢迎下载3、如图，在ABC中，ABAC，C72，O过A、B两点，且与BC切于点B，与AC交于D，连结BD，若BC1，则AC_4、用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为 50厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝）厘米2（不取近似值）5、已知两圆的半径分别为 3和7，圆心距为 5，则这两个圆的公切线有 _条6、如图，以AB为直径
14、的O与直线CD相切于点E，且ACCD，BDCD，AC8 cm，BD2 cm ，则四边形ACDB的面积为 _7、如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，O的半径长为 6 cm，PO10 cm，则PDE的周长是 _图中知，CMR8，MDR8，8、一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_9、如图，已知PA与圆相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与圆相交于点D、E，且PAPBBC，又PD4，DE21，则AB_二、选择题10、有4个命题：直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最大的弧是过圆心的弧；一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧其中真
15、命题是（）（A）（B）（C ）（D ）11、如图，点I为ABC的内心，点O为ABC的外心，O140，则I为（）（A）140（B）125（C ）130（D ）11012、如果正多边形的一个外角等于60，那么它的边数为（）（A）4（B）5（C ）6（D ）7 13、如图，AB是O的弦，点C是弦AB上一点，且BCCA21，连结OC并延长交O于D，又DC2厘米，OC3厘米，则圆心O到AB的距离为（）（A）厘米（B）厘米（C ）2厘米（D ）3厘米14、等边三角形的周长为 18，则它的内切圆半径是（）学习必备欢迎下载（A）6（B）3（C ）（D ）15、如图，O的弦AB、CD相交于点P，PA4厘米，PB
16、3厘米，PC6厘米，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE2厘米，则PE的长为（）（A）4厘米（B）3厘米（C ）厘米（D ）厘米厘米2，则扇形的圆心角是（）（A）120（B）150（C ）210（D ）24017、两圆半径之比为 23，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为（）（A）5厘米（B）11厘米（C ）14厘米（D ）20厘米18、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是（）（A）60（B）90（C ）120（D ）18019、如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧与以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S2
17、，则S1与S2的关系是（）（A）S1S2（B）S1S2（C ）S1S2（D ）S1S2 三、解答题20、如图，在ABCD中，AB4，AD2，BDAD，以BD为直径的O交AB于E，交CD于F，则ABCD被O截得的阴影部分的面积为 _21、如图，ABC内接于O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CBCE，求证：（ 1）BEDG；（2）CB2CF2BFFE22、如图，O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MBMA14，求工件半径的长学习必备欢迎下载23、已知：如图（ 1），O1与O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交O1、O2于C、D两点（C、D不与B重合），
18、连结BD，过点C作BD的平行线交O1于点E，连BE（1）求证：BE是O2的切线；（2）如图（ 2）若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和O2的位置关系（不要求证明）24、如图，已知CP为O的直径，AC切O于点C，AB切O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD2 BP求证：（ 1）PC3 PB；（2）ACPC圆 参考答案一、填空题1、当两圆在AB的两侧时，设O1O2交AB于C，则O1O2AB，且ACBC，学习必备欢迎下载AC1在RtAO2C中，O2C2；在RtAO1C中，O1CO1O22当两圆在AB的同侧时，同理可求O1O22 【答案】22、圆外切四边形的两组对边之和相等，则
19、上、下底之和为10，故中位线长为 5【答案】 53、在ABC中，ABAC，则ABCACB72，BAC36又BC切O于B，ADBC36BDC72ABD723636ADBDBC易证CBDCAB，BC2CDCAADBDBC，CDACADACBCBC2（ACBC）CA解关于AC的方程，得ACBCAC（1）2【答案】 24、铁皮的面积即圆柱的侧面积与两底的面积的和底面圆面积为222）学习必备欢迎下载25、73573，两圆相交，外公切线有 2条，内公切线有 0条【答案】 26、设AC交O于F，连结BFAB为O的直径，AFB90连结OE，则OECD，ACOEBD点O为AB的中点，E为CD的中点OE（BDAC
20、）（82）5（cm ）AB2510（cm ）在RtBFA中，AFCABD826（cm ），AB10 cm，BF8（cm ）四边形ACDB的面积为（28）840（cm2）【答案】 40 cm27、连结OA，则OAAP在RtPOA中，PA8（cm ）由切线长定理，得EAEC，CDBD，PAPB，PDE的周长为学习必备欢迎下载PEDEPDPEECDCPD，PEEAPDDBPAPB16（cm ）【答案】 16 cm8、设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为 4R22 R2，正六边形的面积为 6R2R2，所以它们的比为 2 R2：R249【答案】499、由切割线定理，得PA2PDPEPA10PBB
21、C10PEPDDE25，BE251015DB21156由相交弦定理，得ABBCBEBDAB10156AB9【答案】 9二、选择题10、长度相等的两弧不一定是等弧，故不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故不对【答案】A 学习必备欢迎下载11、因点O为ABC的外心，则BOC、A分别是所对的圆心角、圆周角，所以O2A，故A14070又因为I为ABC的内心，所以I90A9070125【答案】 B12、正多边形的外角等于它的中心角，所以60，故n6【答案】 C 13、延长DO交O于E，过点O作OFAB于F，则CE8厘米由相交弦定理，得DCCEACCB，所以AC2 AC28，故AC2（厘
22、米），从而BC4厘米由垂径定理，得AFFB（24）3（厘米）所以CF32（厘米）在RtCOF中， OF（厘米）【答案】 C 14、等边三角形的边长为 6，则它的面积为629又因为三角形的面积等于内切圆的半径与三角形的周长的积的一半，所以9r18（r为内切圆半径）解此方程，得r【答案】 C 学习必备欢迎下载15、由相交弦定理，得PAPBPDPC43PD6PD2（厘米）由切割线定理，得AE2EDEC （2）2ED（ED26）解此方程得ED2或ED10（舍去）PE224（厘米）【答案】 A16、设扇形的圆心角为n度，半径为R，则解方程组得【答案】 B17、设两圆半径分别为 2 x、3x厘米，则内切时
23、有 3 x2 x4，所以x4于是两圆半径分别为 8厘米、 12厘米故外切时圆心距为 20厘米【答案】 D 18、设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r，则解此方程组，得n180【答案】 D 19、设OAa，则S1a2，弓形ACB的面积a2a2在RtAOB中，ABa，则以AB为直径的半圆面积为学习必备欢迎下载）2a）2a2则S2a2（a2a2）a2【答案】 C 三、简答题20、连结OE、DEADBD，且AB4，AD2，DBA30，且BD6BD为直径，DEB90DEBDsin 30 63，BE63SDEB33O为BD的中点，SBOESDEBDOBD3，DOE23060，S阴影2（SA
24、DBS扇形 DOESEOB）2（262）21、【略证】（ 1）CG为O的切线，EBCGCE学习必备欢迎下载CBCE，EBCEEGCEGCEB（2）EBCEA，FCBO 为公共角，CBFCABCB2CFCACF（CFAF）CF2CFAF由相交弦定理，得CFFABFFE，CB2CF2BFFE即CB2CF2BFFE22、把OM向两方延长，分别交O于C、D两点设O的半径为R从图中知，AB15 cm 又MBMA14，MB153（cm ），MA12 cm从图中知，CMR8，MDR8，由相交弦定理，得AMBMCMMD123（R8）（R8）解此方程，得R10或R10（舍去）故工件的半径长为 10 cm23、【
25、证明】（ 1）连结AB，作O2的直径BH，连结AH则ABHH90，HADB，EBAECAECBD，ADBACEEBA学习必备欢迎下载EBAABH90即EBH90BE是O2的切线（2）同理可知，BE仍是O2的切线24、（1）BD是O的切线，BPC是O的割线，BD2BPBCBD2 BP， 4 BD2BPBC 4 BPBCBCBPPC， 4 BPBPPCPC3 BP（2）连结DOAB切O于点D，AC切O于点C，ODBACB90BB，ODBACBAC2 DOPC2 DOACPC25、（1）【略证】连结ODOA是半圆的直径，ADO90AE切O于点D（2）【略解】AC、AD的长是关于x的方程x2kx40的两个根，且AC2，ACAD2，AD4AD是O的切线，ACB为割线，AD2ACAB又AD2，AC2，AB10则BC8，OB4BEAB，BE切O于B学习必备欢迎下载又AE切O于点D，EDEB在RtABE中，设BEx，由勾股定理，得（x2）2x2102解此方程，得x4即BE的长为4（3）连结BD，有CDB90AD切O于D，ADCABD，且tan ADCtan ABD在ADC和ABD中，AA，ADCABD，ADCABDtan ADC