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1、小学奥数基础教程 ( 五年级)第 1 讲数字迷（一）第 2 讲 数字谜 (二) 第 3 讲 定义新运算 (一) 第 4 讲 定义新运算 (二) 第 5 讲 数的整除性 (一) 第 6 讲 数的整除性 (二) 第 7 讲 奇偶性（一）第 8 讲 奇偶性（二）第 9 讲 奇偶性（三）第 10讲 质数与合数第 11讲 分解质因数第 12讲 最大公约数与最小公倍数（一）第 13讲最大公约数与最小公倍数（二）第 14讲 余数问题第 15讲 孙子问题与逐步约束法第 16讲 巧算 24 第 17讲 位置原则第 18讲 最大最小第 19 讲 图形的分割与拼接第 20 讲 多边形的面积第 21 讲 用等量代换求
2、面积第 22 用割补法求面积第 23 讲 列方程解应用题第 24 讲 行程问题（一）第 25 讲 行程问题（二）第 26 讲 行程问题（三）第 27 讲 逻辑问题（一）第 28 讲 逻辑问题（二）第 29 讲 抽屉原理 (一) 第 30 讲 抽屉原理 (二) 第 1 讲 数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立（每个运算符号只准
3、使用一次）：（5137） （179）=12。分析与解 ：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“”的位置。当“”在第一个内时，因为除数是 13，要想得到整数，只有第二个括号内是 13 的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（513-7）（17+9）。当“”在第二或第四个内时，运算结果不可能是整数。当“”在第三个内时，可得下面的填法： （5+137） （17-9）=12。例2 将 19这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立： =5568。解：将 5568质因数分解为 5568=26329。由此容易知道，将 5568分解为两个两位数的乘积有两种： 5896 和
4、 6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12464， 16348， 24 232，29192， 32174， 48116。显然，符合题意的只有下面一种填法： 17432=5896=5568 。例 3 在 443 后面添上一个三位数，使得到的六位数能被 573整除。分析与解 ：先用443000除以 573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000573=77371 推知， 443000+（573-71） =443502一定能被 573整除，所以应添 502。例 4 已知六位数 3344 是 89 的倍数，求这个六位数。分析与解 ：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做
5、除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是4， 推知商的个位是 6； 由左下式知，十位相减后的差是 1， 所以商的十位是 9。这时，虽然 8996=8544，但不能认为六位数中间的两个内是85，因为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示， a 可能是6 或 7，所以 b 只可能是7 或 8。由左、右两边做除法的商，得到商是3796或 3896。由 379689=337844 ， 3896 89=346744 知，商是 3796，所求六位数是 337844。例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立
6、。分析与解 ：先看竖式的个位。由 Y+N+N=Y或 Y+ 10，推知 N要么是0，要么是 5。如果 N=5 ，那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T 或 T+10，等号两边的奇偶性不同，所以 N5，N=0 。此时，由竖式的十位加法 T+E+E=T 或 T+10，E不是 0 就是 5，但是N=0 ，所以 E=5。竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为 N=0 ，所以I 0，推知 I=1，O=9 ，说明百位加法向千位进2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进 1， 百位加法向千位进 2，且 X0 或 1，所以 R+T+T+1 22
7、， 再由 R，T都不等于 9 知，T只能是 7 或 8。若 T=7， 则 R=8 ， X=3 ，这时只剩下数字 2，4，6没有用过，而 S只比 F大 1，S，F 不可能是 2，4，6 中的数，矛盾。若 T=8， 则 R只能取6 或 7。R=6时，X=3 ，这时只剩下 2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7时，X=4，剩下数字 2，3，6，可取 F=2，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40，10， 10 ， 60 ，而40+10+10正好是 60，真是巧极了！
8、例 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。分析与解 ：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进 1，所以 E=9 ，A=1，B=0。如果个位加法不向上进位，那么由十位加法 1+F=10 ，得 F=9，与E=9矛盾，所以个位加法向上进 1，由 1+F+1=10 ，得到 F=8，这时 C=7。余下的数字有 2，3，4，5，6，由个位加法知， G比D大 2，所以 G ，D分别可取 4，2 或 5，3 或 6，4。所求竖式是解这道题启
9、发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习 1 1. 在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是 621819，求原来的四位数。2. 在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：3. 在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大： 123456789。4. 在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立： 123456789=2.8。5. 将 19 分别填入下式的中，使等式成立： = =3634。6. 六位数 391
10、是 789的倍数，求这个六位数。7. 已知六位数 7888 是 83 的倍数，求这个六位数。第 2 讲 数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相分析与解 ：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个（100000+x）3=10 x+1，300000+3x=10 x+1 ，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。求竖式。例 3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立
11、。解：竖式中除数与 8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以 x=112，被除数为 989112=110768 。 右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例 4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解 ：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=2353的倍数，即除数和商的后三位数一个是 23=8的倍数，另一个是 53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是 8 的倍数。又由竖式特点知 a=9， 从而除数应是 96 的两位数的约数，可能
12、的取值有 96，48，32， 24 和 16。 因为，c=5，5 与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知 b=6。因为商的后三位数是 125 的奇数倍，只能是125，375，625 和 875 之一，经试验只能取 375。至此，已求出除数为16，商为 6.375， 故被除数为6.37516=102。右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n 个 0，则在除数和商中，一个含有因子 2n（不含因子5），另一个含有因子5n（不含因子 2），以此为突破口即可求解。例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（ 1），这个五位数被另一个一位
13、数除得到下页的竖式（ 2），求这个五位数。分析与解 ：由竖式（1）可以看出被除数为10*0（见竖式（1） ），竖式（ 1）的除数为 3 或9。在竖式（ 2）中，被除数的前两位数 10 不能被整数整除，故除数不是 2 或 5， 而被除数的后两位数 *0 能被除数整除，所以除数是 4，6 或8。当竖式（ 1）的除数为 3 时，由竖式（ 1）知， a=1 或 2，所以被除数为 100*0 或 101*0，再由竖式（ 2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 4，被除数为 10020；当竖式（ 1）的除数为 9 时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和
14、应为 8。因为竖式（ 2）的除数只能是 4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有 10080，10260，10440 和 10620 四种可能，最后由竖式（ 2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（ 2）的除数为 8，被除数为10440。所以这个五位数是10020 或 10440。练习 21. 下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的2. 用代数方法求解下列竖式：3. 在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：第 3 讲 定义新运算（一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运
15、算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。例 1 对于任意数 a，b，定义运算“ *”：a*b=ab-a-b 。求 12*4 的值。分析与解 ：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32 。根据以上的规定，求106 的值。3，x=2，求 x 的值。分析与解 ：按照定义的运算，=2，x=6。由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运
16、算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如 +，- ，等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例 1 中，a*b=ab-a-b ，新运算符号使用“ *”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。分析与解 ：按新运算的定义，符号“”表示求两个数的平均数。四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。按通常的规则从左至右进行运算。分析与解 ：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第 1 个数是 1 位数，第 2个数是 2 位数，第
17、3 个数是 3 位数按此规定，得35=3+33+333+3333+33333=37035 。从例 5 知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。例 6 对于任意自然数，定义：n！=12n。例如 4 ！=1234。 那么 1！ +2！ +3！ +100！的个位数字是几？分析与解 ：1！=1，2！=12=2，3！=123=6，4！=1234=24，5！=12345=120，6！=123456=720，由此可推知，从 5！开始，以后 6！，7！，8！， 100！的末位数字都是 0。所以，要求 1！+2！+3！+100！的个位数字，只要把 1！至 4！的个位数字相加便可求得：1+
18、2+6+4=13 。所求的个位数字是 3。例 7 如果 m ， n 表示两个数，那么规定： m n=4n-（m+n ）2。求 3（46）12的值。解：3（46）12 =34 6- （4+6）2 12 =31912 =419-（3+19）2 12 =6512 =412-（65+12）2 =9.5。练习 31. 对于任意的两个数a和 b，规定 a*b=3a-b3。求 8*9 的值。2. 已知 ab 表示 a 除以3 的余数再乘以 b，求134 的值。3. 已知 ab 表示（a-b）（a+b），试计算：（53）（106）。4. 规定 ab 表示 a 与 b的积与 a 除以 b 所得的商的和，求 82
19、 的值。5. 假定 m n 表示 m的 3 倍减去 n 的 2 倍，即m n=3m-2n 。（2）已知 x（41）=7，求 x 的值。7. 对于任意的两个数 P， Q，规定 PQ=（PQ ）4。例如： 28=（28）4。已知x（85）=10，求 x的值。8. 定义： a b=ab-3b，ab=4a-b/a 。计算： （43） （2b） 。9. 已知： 23=234，45=45678，求（44）（33）的值。第 4 讲 定义新运算（二）例 1 已知 ab=（a+b）-（a-b），求 92 的值。分析与解 ：这是一道很简单的题，把a=9，b=2 代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则
20、，我们可以先把新运算“”化简，再求结果。ab= （a+b） -（a-b ）=a+b-a+b=2b。所以，92=22=4。由例 1 可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。例 2 定义运算： ab=3a+5ab+kb ，其中 a，b 为任意两个数， k 为常数。比如：27=32+527+7k。（1）已知 52=73。问：85 与 58 的值相等吗？（2）当 k 取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有 ab=ba，即新运算“”符合交换律？分析与解 ：（1）首先应当确定新运算中的常数 k。
21、因为 52=35+552+k2 =65+2k，所以由已知 5 2=73，得 65+2k=73，求得 k=（73-65）2=4。定义的新运算是： ab=3a+5ab+4b 。85=38+585+45=244，58=35+558+48=247。因为 244247，所以 8558。（2）要使 ab=ba，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka ，3a+kb-3b-ka=0 ，3(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数 a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即 k=3。当新运算是 ab=3a+5ab+3b时，具有交换律，即ab=ba。例 3 对两个自然数
22、a 和 b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为 ab，即 ab=a，b- （a，b）。比如，10和 14 的最小公倍数是 70，最大公约数是 2，那么 1014=70-2=68。（1）求 1221 的值；（2）已知 6x=27，求 x 的值。分析与解 ：（1）1221=12，21- （12，21）=84-3=81；（2）因为定义的新运算“”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。因为 6x=6 ，x-（6，x）=27，而 6 与 x的最大公约数（ 6，x）只能是 1，2，3，6。所以 6 与 x 的最小公倍数6 ，x 只能是 28， 29 ，30， 33 。
23、这四个数中只有 30 是 6 的倍数，所以 6 与 x 的最小公倍数和最大公约数分别是30和 3。因为 ab=a，b（a，b），所以 6x=303，由此求得 x=15。例 4 a 表示顺时针旋转 90，b 表示顺时针旋转 180，c 表示逆时针旋转 90，d 表示不转。定义运算“”表示“接着做”。求： ab；bc；ca。分析与解 ： a b 表示先顺时针转 90，再顺时针转 180，等于顺时针转 270，也等于逆时针转 90，所以 ab=c。bc 表示先顺时针转 180，再逆时针转90，等于顺时针转90，所以 bc=a。ca 表示先逆时针转 90，再顺时针转90，等于没转动，所以 ca=d。对
24、于 a，b，c，d 四种运动，可以做一个关于“”的运算表（见下表）。比如 cb，由c 所在的行和 b 所在的列，交叉处 a 就是 cb的结果。因为运算符合交换律，所以由c 所在的列和 b 所在的行也可得到相同的结果。例 5 对任意的数 a，b，定义： f （a）=2a+1，g（b）=bb。（1）求 f （5）-g（3）的值；（2）求 f （g（2）+g（f （2）的值；（3）已知 f（x+1）=21，求 x 的值。解：（1） f （5）-g（3）=（25+1）-（33）=2；（2）f （g（2）+g（f （2） =f （22）+g（22+1） =f （4）+g（5）=（24+1） + （55）
25、 =34；（3）f （x+1）=2（x+1）+1=2x+3，由 f（x+1）=21，知2x+3=21，解得 x=9。练习 4 2. 定义两种运算“”和“”如下：ab 表示 a， b 两数中较小的数的 3 倍，ab 表示 a， b 两数中较大的数的 2.5 倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5 。计算：(0.6 0.5)+(0.30.8) (1.2 0.7)-(0.640.2) 。4. 设 m ，n 是任意的自然数，A是常数，定义运算 m n=（Am-n）4，并且 23=0.75。 试确定常数 A，并计算： （57）（ 22）（ 32）。5. 用 a，b，c 表示一个等边三角形围
26、绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a 表示顺时针旋转240，b 表示顺时针旋转120，c 表示不旋转。运算“”表示“接着做”。试以 a，b，c为运算对象做运算表。6. 对任意两个不同的自然数 a 和 b， 较大的数除以较小的数，余数记为 ab。 比如 73=1，529=4，420=0。（1）计算：19982000，（519）19，5（195）；（2）已知 11x=4，x 小于 20，求 x 的值。7. 对于任意的自然数 a，b，定义： f （a）=aa-1， g （b） =b2+1。（1）求 f （g（6）-g（f （3）的值；（2）已知 f（g（x）=8，求 x 的值。第 5 讲 数的整
27、除性（一）三、四年级已经学习了能被 2，3，5 和 4，8，9，6 以及 11 整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被
28、这个数整除。灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。例 1 在里填上适当的数字，使得七位数7358能分别被 9，25 和 8 整除。分析与解 ：分别由能被 9，25 和 8 整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为 9， 25，8 两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被9258=1800整除，所以七位数的个位，十位都是 0； 再由能被 9 整除的数的特征，推知首位数应填 4。 这个七位数是4735800。例 2 由 2000个1 组成的数 11111 能否被41 和 271 这两个质数整除？分析与解 ：因为 41271=11111，所以由每5个 1 组成的数 11111能被 41
29、 和 271整除。按“11111”把 2000 个 1每五位分成一节， 20005=400，就有 400节，因为 2000个 1 组成的数 1111 能被 11111整除，而 11111能被 41和 271 整除，所以根据整除的性质（ 1）可知，由 2000 个 1 组成的数11111 能被 41 和 271整除。例 3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被 12 整除？分析与解 ：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积： 12=121=62=34。要从已知的四个数中找出两个，使其积能被 12整除，有以下三种情况：（1）找出一个数
30、能被 12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被 12 整除；（2）找出一个数能被 6 整除，另一个数能被 2 整除，那么它们的积就能被 12 整除；（3）找出一个数能被 4 整除，另一个数能被 3 整除，那么它们的积能被 12 整除。容易判断，这四个数都不能被 12 整除，所以第（1）种情况不存在。对于第（2）种情况，四个数中能被 6 整除的只有 76554，而 76550，76552是偶数，所以可以选 76554和76550， 76554和 76552。对于第（3）种情况，四个数中只有 76552能被 4 整除， 76551和76554都能被 3 整除，所以可以选 76552 和
31、76551，76552和 76554。综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被 12 整除的有以下三组数： 76550和76554， 76552 和 76554，76551和 76552。例 4 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被 11整除的数有哪些？分析与解 ：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：各数位上的数字之和等于 43；能被 11 整除。因为能被 11 整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择为突破口。有两种情况：（1）五位数由一个7和四个 9 组成；（2）五位数由两个8和三个 9 组成。上面两种情况中的五位数能不能被 11 整除？9
32、，8，7 如何摆放呢？根据被 11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是 27，偶数位数字之和是 16，那么差是11，就能被 11 整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979，98989。例 5 能不能将从 1到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？分析与解 ：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有 5 组，每组的两数之和都能被 3 整除，推知110的和也应能被 3整除。实际上，110 的和等于 55， 不能被 3 整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。练
33、习 51. 已知 4205和 2813都是 29 的倍数，1392和7018是不是 29的倍数？2. 如果两个数的和是 64，这两个数的积可以整除 4875，那么这两个数的差是多少？3.173是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的 3 个四位数，依次可以被9，11，6 整除。”问：数学老师先后填入的 3 个数字之和是多少？班有多少名学生？6. 能不能将从 1到 9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？第 6 讲 数的整除性（二）我们先看一个特殊的数 1001。因为1001=71113，所以凡是 1001 的整数倍的数都能被 7， 11 和 13 整除
34、。能被 7，11 和 13 整除的数的特征：如果数 A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被 7 或 11 或 13整除，那么数 A能被 7 或 11 或13 整除。否则，数A就不能被 7 或 11 或 13 整除。例 2 判断 306371能否被 7 整除？能否被 13整除？解：因为371-306=65， 65 是 13 的倍数，不是 7 的倍数，所以 306371能被 13 整除，不能被 7 整除。例 3 已知 108971能被 13 整除，求中的数。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的个位数是 7，若是 13 的倍数，则必是13
35、的 9 倍，由 139-37=80，推知中的数是 8。2 位数进行改写。根据十进制数的意义，有因为 100010001各数位上数字之和是3， 能够被 3 整除，所以这个12 位数能被 3 整除。根据能被 7（或 13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=） 100009要么都能被 7（或 13）整除，要么都不能被7（或 13）整除。同理， 100009 与（ 100-9= ） 91 要么都能被 7（或 13）整除，要么都不能被 7（或 13）整除。因为 91=713，所以 100010001能被 7 和13 整除，推知这个 12位数能被 7 和 13 整除。分析与解 ：根据
36、能被 7 整除的数的特征，555555与 999999都能被7 因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被 7 整除，所以等号右边第二个数也能被 7 整除，推知 5599 能被 7 整除。根据能被 7 整除的数的特征，99-55=44 也应能被7 整除。由 44 能被 7整除，易知内应是6。下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。判断一个数能否被27 或 37 整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被 27（或 37）整除，那么这个数一定能被27（或 37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。例 6 判断下列各
37、数能否被 27 或 37 整除：（1）2673135； （2）8990615496。解：（1）2673135=2，673，135，2+673+135=810 。因为 810能被 27 整除，不能被 37 整除，所以 2673135能被 27 整除，不能被 37 整除。（2）8990615496=8 ，990，615，496，8+990+615+496=2 ，109。2，109大于三位数，可以再对 2，109的各节求和，2+109=111 。因为 111能被 37 整除，不能被 27 整除，所以 2109能被 37 整除，不能被 27 整除，进一步推知 8990615496能被 37整除，不能被
38、 27 整除。由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。判断一个数能否被个位是 9 的数整除的方法：为了叙述方便，将个位是 9 的数记为 k9 （= 10k+9），其中 k 为自然数。对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于 k9，那么这个数能被 k9 整除； 否则，这个数就不能被k9 整除。例 7（1） 判断 18937能否被 29 整除；（2）判断 296416与 37289能否被 59 整除。解：（1）上述变换可以表示为：由此可知， 296416能被 59 整除，37289不能被 59 整除。一
39、般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。练习 6 1. 下列各数哪些能被 7 整除？哪些能被 13整除？88205， 167128，250894， 396500，675696， 796842，805532， 75778885。2. 六位数 17562是 13的倍数。中的数字是几？7. 九位数 87654321 能被 21整除，求中间中的数。8. 在下列各数中，哪些能被 27 整除？哪些能被 37 整除？1861026，1884924， 2175683，2560437，11159126，131313555，2661177
40、78。9. 在下列各数中，哪些能被 19 整除？哪些能被 79 整除？55119， 55537，62899， 71258，186637，872231，5381717。第 7 讲 奇偶性（一）整数按照能不能被2 整除，可以分为两类：（1）能被 2 整除的自然数叫偶数，例如0， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ，10， 12 ， 14 ， 16，（2）不能被 2 整除的自然数叫 奇数，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被 2 整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中 n 为整数；因为奇数不能被
41、2 整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中 n 为整数。每一个整数不是奇数就是偶数， 这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4） 若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇
42、数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。（6）偶数的平方能被 4 整除；奇数的平方除以 4 的余数是 1。因为（2n）2=4n2=4n2，所以（2n）2能被 4整除；因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4 （n2+n）+1，所以（ 2n+1）2除以4 余 1。（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这
43、个数一定不是平方数。整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+ +1997+1998 。分析与解 ：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（ 2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。11998 中共有999个奇数， 999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。例 2 能否在
44、下式的中填上“ +”或“-”，使得等式成立？123456789=66。分析与解 ：等号左端共有 9 个数参加加、减运算，其中有 5 个奇数，4 个偶数。 5 个奇数的和或差仍是奇数， 4 个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数 +偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。例 3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的 5 个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于 99999？分析与解 ：假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：其中组成两个加数的 5 个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于 9+9=18，竖式中和的个位数是9， 所以个位相加没有向上进位，即两
45、个个位数之和等于 9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于 9。 所以组成两个加数的 10 个数码之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇数。另一方面，因为组成两个加数的 5 个数码完全相同，所以组成两个加数的 10 个数码之和，等于组成第一个加数的 5 个数码之和的 2倍，是偶数。奇数偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于 99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于99999。例 4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。分析与解 ：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手 1 次，对于乙也是握手 1
46、 次，两人握手次数的和是 2。 所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。把聚会的人分成两类：A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。A类中每人握手的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以 B类人握手的总次数也是偶数。握奇数次手的那部分人即 B类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到 B类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾， 所以 B类人即握过奇数次手的人数是偶数。例 5 五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：
47、答对一道给 3 分，不答的题，每道给 1 分，答错一道扣 1 分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？分析与解 ：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有 50 道题，50 个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。练习 71. 能否从四个 3、 三个 5、 两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 22？2. 任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是 999。这位同学的
48、计算有没有错？3. 甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。4. 某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5.A 市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题 30 道，记分方法是：底分 15 分，每答对一道加 5 分，不答的题，每道加 1 分，答错一道扣 1
49、分。如果有 333 名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？6. 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。7. 红星影院有 1999个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有 1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？第 8 讲 奇偶性（二）例 1 用 09 这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？分析与解 ：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。这道题的几个要求中，满足“
50、和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放 5，6，7，8，9，而个位上放 0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是 1 和 3 的两个两位数。要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是 1，3 的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的