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1、2.3 变量间的相关关系三维目标1知识与技能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系2过程与方法明确事物间的相互联系认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系3情感、态度与价值观通过对事物之间相关关系的了解，让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想重点难点重点： (1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；(2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系难点： (1)变量之间相关关系的理解；(2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学
2、生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来通过对典型事例的分析，向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点通过学生讨论、交流，用TI 图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点教学建议结合本节课的教学内容和学生的认知水平，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性本节课宜采用探究式课
3、堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“散点图”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，通过例题和变式训练进一步巩固本节知识，将自己所学知识应用于对现实生活的深入探讨让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新教学流程创设问题情境引入问题：人体内脂肪的含量与年龄之间有何关系？?引导学生结合必修一中函数图象的画法将对应点在坐标系中描出，观察比较，分析这些点的特征?通过引导学生回答所提问题理解相关关系与散点图的概
4、念进一步探究这些点的特征给出求b，a的公式?通过例 1及变式训练使学生进一步理解和掌握线性相关的应用，及散点图与线性相关的关系? 通过例2 及其变式训练，使学生掌握线性回归方程的求法? 研究现实生活中的实际问题，应用本节知识完成例3 及变式能够对总体进行估计?归纳整理，进行课堂小结，整体把握本节知识?完成当堂双基达标，巩固所掌握的知识，并进行反馈矫正课标解读1.理解两个变量的相关关系的概念(难点 ) 2会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系(重点 ) 3会求回归直线方程(重点 ) 4相关关系与函数关系(易混点 )变量间的相关关系【问题导思】下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数
5、据：施化肥量15202530354045 水稻产量320330360410460470480 1.将上述数据制成散点图【提示】散点图如下：2施化肥量与水稻产量有关系吗？【提示】有关系1相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性2散点图：将样本中几个数据点(xi，yi)(i1,2， n)描在平面直角坐标系中得到的图形3正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关回归直线方程【问题导思】一台机器由于使用时间较长，生产的零件有
6、一些会有缺陷按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：转速 x(转/秒)1614128 每小时生产有缺陷的零件数y(件)11985 1.在平面直角坐标系中作出散点图【提示】2从散点图中判断x 和 y 之间是否具有相关关系？【提示】有3若转速为10 转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？【提示】可以根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测1回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程3最小二乘法求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小
7、的方法叫做最小二乘法4求回归方程若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x1，y1)， (x2，y2)， (xn，yn)，则所求的回归方程为ybx a，其中 a，b为待定的参数，由最小二乘法得：bi1nxi xyi yi1nxi x2i1nxiyin xyi1nx2in x2，a y bx .b是回归直线斜率，a是回归直线在y 轴上的截距线性相关关系的判断以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元 )和房屋面积x(单位： m2)的数据：房屋面积x(m2)11511080135105 销售价格y(万元 )24.821.619.429.222 (1)画出数据对应的散点图；(2)
8、判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？【思路探究】涉及两个变量房屋面积与销售价格，以房屋面积为自变量，考察销售价格的变化趋势从而做出判断【自主解答】(1)数据对应的散点图如图所示：(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关两个随机变量x 和 y 相关关系的确定方法：1散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断2表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断3经验法：借助积累的经验进行分析判断5 个学生的数学和物理成绩如下表：学生成绩学科A B C D E数学807570656
9、0 物理7066686462 画出散点图，并判断它们是否具有线性相关关系【解】以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示，由散点图可知，两者之间具有线性相关关系，且是正相关求回归直线方程一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10 次试验，收集数据如下：零件数 x(个)102030405060708090100 加工时间y(分)626875818995102108115122 (1)y 与 x 是否具有线性相关关系？(2)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求y 关于 x 的回归直线方程【思路探究】画散点图 确定相关关系求回归直线系数写回归直
10、线方程【自主解答】(1)画散点图如下：由上图可知y 与 x 具有线性相关关系(2)列表、计算：i 12345678910 xi102030405060708090100 yi626875818995102108115122 xiyi62016025034044505007408 40105012200 x 55， y 91.7，i110 x2i38 500，i110y2i 87 777，i110 xiyi55 950 bi110 xiyi10 xyi110 x2i 10 x255 9501055 91.738 500105520.668，a y bx 91.70.6685554.96. 即所求
11、的回归直线方程为：y0.668x54.96. 用公式求回归方程的一般步骤：1列表 xi，yi，xiyi；2计算x ， y ，ni1x2i，ni1xiyi；3代入公式计算b、a的值；4写出回归方程从某一行业随机抽取12 家企业，它们的生产产量与生产费用的数据如下表：企业编号123456789101112 产量 x/台40425055857884100116125130140 费用 y/万元130150155140150154165170167180175185 (1)绘制生产产量x 和生产费用y 的散点图；(2)如果两个变量之间是线性相关关系，请用最小二乘法求出其回归直线方程【解】(1)两个变量
12、 x 和 y 之间的关系的散点图如图所示(2)根据散点图可知，两个变量x 和 y 之间的关系是线性相关关系下面用最小二乘法求回归直线方程l 123456789101112合计xi404250558578841001161251301401 045 yi1301501551401501541651701671801751851 921 xiyi52006300775077001275012012138601700019372225002275025900173094 x2i1600176425003257225608470561000013456156251690019600104835 x 8
13、7.08， y 160.1，n xy 167 298.096，n x290 995.116 8 设所求的回归直线方程是y bx a，所以 bi1nxiyi n xyi1nx2in x2173 094167 298.096104 835 90 995.116 85 795.90413 839.883 2 0.42 ，a y bx 160.10.42 87.08 123.53.所求的回归直线方程是y0.42x 123.53. 利用回归方程对总体进行估计(12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤 )的几组对照数据：x 3456 y 2.
14、5344.5 (1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程ybxa；(3)已知该厂技改前100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤 试根据 (2)求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【思路探究】(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b，a的值； (3)实际上就是求当x100 时，对应的y 的值【自主解答】(1)散点图，如图所示(2)由题意，得i14xiyi32.54354 64.566.5，x 345644.5，y 2.5344.543
15、.5，i14x2i3242526286， b66.544.53.5864 4.5266.56386810.7，a y bx 3.5 0.74.50.35，故线性回归方程为y0.7x0.35. (3)根据回归方程的预测，现在生产100 吨产品消耗的标准煤为0.7100 0.35 70.35(吨)，故耗能减少了9070.3519.65(吨标准煤 )1回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性2只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的炼钢是一个氧化降碳的过
16、程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系如果已测得炉料熔化完毕时，钢水含碳量x 与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的几种对应数据如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121 y(分)10020021185155135170205235125 (1)作出散点图，判断冶炼时间y 对钢水含碳量x 是否线性相关；(2)求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为160 个 0.01%时应冶炼多少分钟【解】(1)以 x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线
17、性相关(2)列表如下：i 12345678910 xi104180190177147134150191204121 yi100200210185155135170205235125 xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125 x 159.8， y 172，i110 x2i265 448，i110 xiyi287 640 设所求的回归直线方程为ybxa. bi110 xiyi10 xyi110 x2i 10 x2287 64010159.8 172265 44810159.821.27，a y bx 1721.27159.830.
18、95，即所求的回归直线方程为y1.27x 30.95. (3)当 x160 时， y1.2716030.95172(分)，即大约冶炼172 分钟 . 数形结合在线性相关性中的应用(12 分)下表数据是退水温度x()对黄硐延长性y(%)效应的试验结果，y 是以延长度计算的，且对于给定的x， y 为正态变量，其方差与 x 无关x()300400500600700800 y(%)405055606770 (1)画出散点图；(2)指出 x，y 是否线性相关；(3)若线性相关，求y 关于 x 的线性回归方程；(4)估计退水温度是1 000 时，黄硐延长性的情况【思路点拨】根据所给数据画出散点图，然后可借
19、助函数的思想分析【规范解答】(1)散点图如图所示4 分(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y 与 x 线性相关 . 5 分(3)列出下表，并用科学计算器进行有关计算i 123456 xi300400500600700800 yi405055606770 xiyi120002000027500360004690056000 x2i90000160000250000360000490000640000 x 550， y 57，i16x2i1 990 000，i16xiyi198 400 于是可得：bi16xiyi6 xyi16x2i6 x2198 4006550 571 990
20、000655020.058 857，8 分a y bx 570.058 85755024.628 65.9 分因此所求的线性回归方程为y0.058 857x24.628 65. 10 分(4)将 x1 000 代入回归方程得y 0.058 8571 00024.628 6583.486，即退水温度是1 000 时，黄硐延长性大约是83.486%. 12 分1在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量
21、之间具有相关关系；(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系2利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系，体现了数形结合思想的作用，而用回归直线方程进行估计又体现了函数与方程思想的应用1判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关2求回归直线方程时应注意的问题(1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量
22、也是不可信的(2)用公式计算 a，b的值时，要先算出b，然后才能算出a. 3利用回归方程，我们可以进行估计和预测若回归直线方程为ybxa，则 xx0处的估计值为y0bx0a. 由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸，所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用1下列变量之间的关系是相关关系的是() A正方体的表面积与体积B光照时间与果树产量C匀速行驶车辆的行驶距离与时间D中国足球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩【解析】A、C 是函数关系，D 无相关关系【答案】B 2设一个回归方程y31.2x，则变量x 增加一个单位时() Ay 平均增加1.2 个单位By 平均增加3 个单位Cy
23、平均减少1.2 个单位Dy 平均减少3 个单位【解析】由 b 1.20，故选 A. 【答案】A 3若施化肥量x(千克 /亩)与水稻产量y(千克 /亩)的回归方程为y5x250，当施化肥量为80 千克 /亩时，预计水稻产量为亩产_千克左右【解析】当 x80 时， y400250 650. 【答案】650 4某公司利润y(单位：千万元 )与销售总额x(单位：千万元)之间有如下表对应数据：x 10151720252832 y 11.31.822.62.73.3 (1)画出散点图；(2)判断 y 与 x 是否具有线性相关关系【解】(1)散点图如下：(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y
24、与 x 有线性相关关系，且为正相关. 一、选择题1判断下列图形中具有相关关系的两个变量是() 【解析】A、B 为函数关系，D 无相关关系【答案】C 2(2013 广州高一检测 )已知 x 与 y之间的一组数据：x 01234 y 13579 则 y 与 x 的线性回归方程ybxa 必过点 () A(1,2)B(5,2) C(2,5) D(2.5,5) 【解析】线性回归方程一定过样本中心( x ， y )由 x 012 3452， y 13 57955. 故必过点 (2,5)【答案】C 3(2013 长沙高一检测 )某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)呈负相关，其回归方程可能是() A.y
25、 10 x200 B.y10 x200 C.y 10 x200 D.y10 x200 【解析】由于 y 与 x 呈负相关， x 的系数为负，又 y 不能为负值，常数必须是正值【答案】A 4两个相关变量满足如下关系：x 1015202530 y 1 0031 0051 0101 0111 014 两变量的回归直线方程为() A.y0.56x997.4 B.y0.63x231.2 C.y50.2x501.4 D.y60.4x400.7 【解析】x 15(1015202530)20，y 15(1 0031 005 1 0101 0111 014)1 008.6，代入所给选项A 符合【答案】A 5(2
26、012 湖南高考 )设某大学的女生体重y(单位： kg)与身高x(单位： cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2， n)，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是 () Ay 与 x 具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心( x ， y ) C若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 【解析】由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此 y 与 x 具有正的线性相关关系，故A 正确又线性回归方程必过样本中心点( x ， y )，因此 B正
27、确由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加 1 cm，其体重约增加0.85 kg，故 C 正确当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D 不正确【答案】D 二、填空题6调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元 )和年饮食支出y(单位：万元 )，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程：y0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1 万元，年饮食支出平均增加_万元【解析】由于 y0.254x0.321 知，当 x 增加 1 万元时，年饮食支出y 增加 0.254 万元【答案】0
28、.254 7某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x()之间的关系，随机统计了某4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x()171382 月销售量y(件)24234055 由表中数据算出线性回归方程中的b 2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为_件【解析】样本中心点是(10,35.5)，则a ybx35.5(2)1055.5，故线性回归方程为y 2x 55.5，将 x6 代入得y 2655.5 43.544. 【答案】44 8某公司的广告费支出x 与销售额y(单位：万元 )之间有下列对应数据(由资料显示y 与 x 呈线
29、性相关关系)：x 24568 y 3040605070 根据上表提供的数据得到回归方程y bxa中的 b6.5，预测销售额为115 万元时约需 _万元广告费【解析】x 15(2 4568)5，y 15(3040605070)50，由b 6.5 知， a y b x 50 6.5517.5， y17.56.5x，当 y115 时，解得x15. 【答案】15 三、解答题9某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量 x(千件 )2356 成本 y(万元 )78912 (1)画出散点图；(2)求成本 y 与产量 x 之间的线性回归方程(结果保留两位小数) 【解】(1)散点图如图所示(2)设
30、 y 与产量 x 的线性回归方程为y bxa，x 235644， y 7891249，bi1nxiyin xyi1nx2in x2x1y1x2y2x3y3x4y44 xyx21x22x23x244 x211101.10，a y bx 91.104 4.60. 回归方程为： y1.10 x 4.60. 10高三 (1)班的 10 名学生每周用于数学学习的时间x(h)与数学成绩y(分)之间有如下对应数据：x 24152319161120161713 y 92799789644783687159 如果 y 与 x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程(保留 2 位小数 ) 【解】列出下表，并用科学计
31、算器进行有关计算i 12345678910 xi24152319161120161713 yi92799789644783687159 xiyi2 2081 1852 2311 6911 0245171 6601 0881 207767 x 17.4，y 74.9，i110 x2i3 182，i110 xiyi13 578 bi110 xiyi10 x yi110 x2i10 x2545.4154.43.53，a y bx 74.93.5317.4 13.48，所求的回归方程是y3.53x13.48. 11某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份2004200620082010
32、2012 需求量 (万吨 )236246257276286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y b x a ；(2)利用 (1)中所求出的直线方程预测该地2014 年的粮食需求量【解】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：年份 200842024 需求量 257211101929 对预处理的数据，容易算得x 0， y 3.2，b4 21 2 11 21942942222242260406.5，a y bx 3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y 257b(x2 006)a6.5(x2 006)3.2. 即
33、y 6.5(x2 006)260.2. (2)利用所求得的回归方程，可预测2014 年的粮食需求量为65(2 0142 006)260.26.5 8260.2312.2(万吨 )一般地，一个人的身高越高，他的手就越大为了调查这一问题，对10 名高三男生的身高与右手一拃长测量得如下数据(单位： cm)：身高168170171172174176178178180181 一拃长19.020.021.021.521.022.024.023.022.523.0 (1)根据上述数据制作散点图，能发现两者有何近似关系吗？(2)如果两个变量近似成线性关系，求线性回归方程；(3)如果一个学生身高185 cm，估
34、计他的右手一拃长【思路探究】作散点图 判断 求a，b得回归方程 估计【自主解答】(1)以横轴表示身高，以纵轴表示一拃长，作散点图由散点图可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关(2)设线性回归方程为ybxa. 用计算器计算可得b 0.303，a31.246，回归方程为 y0.303x31.246. (3)当 x185 时， y24.809. 即一个学生身高185 cm，估计他的右手一拃长 24.809 cm. 在 10 年间，某城市居民的年收入x(万元 )与某种商品的销售额y(万元 )之间的关系有如下数据：12345678910 城市居民年收入32.231.132.935.837.13
35、8.039.043.044.646.0 某商品销售额25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0 (1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与 x 之间的回归直线方程【解】(1)散点图如图所示：(2)列表如下：i 12345678910 xi32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0 yi25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0 xiyi8059331118.61324.61446.915581 63818922140.82346 x37.97， y39.1，i110 x2i14 663.67，i110 xiyi 15 202.9 bi110 xiyi10 xyi110 x2i10 x215 202.91037.9739.114 663.67 1037.972356.63246.4611.447，a ybx39.11.44737.9715.843，因此所求的回归直线方程是ybxa1.447x15.843.